Геометрия. 5 класс. 1933. rus-kom-koi-udm

rus_geometria_1933	kom_geometria_5_1933_М. Молодцова	koi_geometria_1933_Исакова М. И., Мехоношин Д. В.	udm_geometria_1933_И. Иванов, М. Русских
Ю. О. ГУРВИЦ И Р. В. ГАНГНУС	Ю. О. ГУРВИЦ да Р. В. ГАНГНУС	Й. О. ГУРВИЦ да Р. В. ГАНГНУС	Ю. О. ГУРВИЦ но Р. В. ГАНГНУС
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ	МЕДВОДДЗА СВЕДЕННЬӦЯС ГЕОМЕТРИЯЫСЬ	ГЕОМЕТРИЯ ЙЫЛІСЬ МЕДОДЗЗА СВЕДЕННЁЭЗ	ГЕОМЕТРИ
УЧЕБНИК ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ. ПЯТЫЙ ГОД ОБУЧЕНИЯ	ШӦР ШКОЛАЛЫ ВЕЛӦДЧАН КНИГА. 5-ӧд ВЕЛӦДЧАН ВО	ШӦРӦТ ШКОЛА ПОНДА ВЕЛӦТЧАН КНИГА. ВИТӦТ ВЕЛӦТЧАН ВО	ШОР ЁЗО ШКОЛАЫН ВИТЕТӤ АРАЗ ДЫШЕТОН КНИГА
Утверждено Коллегией Наркомпроса РСФСР	Вынсьӧдӧма РСФСР НКП колегияӧн	Висьталіс лэдзны РСФСР Наркомпрослӧн Коллегия	РСФСР НКП-лэн коллегиеныз юнматэмын
abu	Велӧдысьяслы тӧд вылӧ.	abu	abu
СПИСОК НЕОБХОДИМЫХ ПОСОБИЙ.	КОЛАН ПОСОБЙӦЯСЛӦН СПИСОК	КОЛАН ПОСОБИЕЭЗЛӦН СПИСОК.	abu
1. Набор циркульных ножек;	1. Ученическӧй циркульяс набор;	1. Ӧктӧс циркуль коккез;	abu
« масштабных линеек;	Масштабнӧй линейкаяс „	„ масштаба линейкаэз;	abu
« чертежных треугольников (30° и 45°);	Чертёжнӧй куимпельӧсаяс „	„ чертитчан куимпельӧссэз (30° да 45°-ӧсь);	abu
« транспортиров (и процентных транспортиров).	Транспортиръяс (да процентнӧй транспортиръяс) набор.	abu	abu
2. Классные: циркуль, угольник, линейка и транспортир.	2. Класснӧй предметъяс: циркуль, угольник да транспортир.	2. Велӧтчан жырьяэзісь: циркуль, угольник, линейка да транспортир.	abu
3. Модели: 1) куб, развертка куба, кубический дециметр; деленный на кубические сантиметры;	3. Модельяс: 1) куб, кублӧн павтыртас, кубическӧй дециметр, кодӧс юклӧма кубическӧй сантиметръяс вылӧ;	3. Моделлез: 1) куб, кублӧн развёртка, куба дециметр, юкалӧм куба сантиметррез вылӧ;	abu
2) прямоугольный параллелепипед или брус, брус с диагональным сечением;	2) Веськыдпельӧса параллелепипед либӧ брус, диагональӧд вундӧм брус;	2) веськытпельӧса параллелепипед либо брус, диагональӧт вундыштӧм брус;	abu
3) прямая треугольная призма, рассеченная по высотам оснований, многоугольная призма с диагональными сечениями;	3) Подувтас судтаясӧд вундӧм куимпельӧса веськыд призма, диагональясӧд вундӧм унапельӧса призма;	3) куимпельӧса веськыт призма, вундыштӧм под сувдаэз кузя, диагоналлезӧт вундыштӧм куимпельӧса призма;	abu
4) прямой, круговой цилиндр, развертка его;	4) Веськыд гӧгрӧс цилиндр, сылӧн павтыртас;	4) веськыт, гӧгыля цилиндра, сылӧн развёртка;	abu
5) шар и конус;	5) Шар да конус;	5) шар да конус;	abu
6) шарнирный угол;	6) Дзиръя (шарнирнӧй) пельӧс;	6) шавнерлӧн пельӧс;	abu
7) смежные углы (шарнирные);	7) Смежнӧй пельӧсъяс (дзиръяӧсь жӧ);	7) оча локтӧм пельӧссэз (шавнернӧйез);	abu
8) противоположные углы (шарнирные);	8) Паныда пельӧсъяс (дзиръяӧсь жӧ);	8) ӧтмӧдӧрӧ мунӧм пельӧссэз (шавнернӧйез);
9) круг, разделенный на 12 или 24 равных сектора.	9) 16 либӧ 32 ӧтыджда сектор вылӧ юкӧм круг.	9) гӧгыль, торйӧтӧм 12 либо 24 сектор вылӧ.	abu
4. Миллиметровая бумага.	4. Миллиметрӧвӧй бумага.	4. Миллиметра гумага.	abu
I. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ.	I. ГЕОМЕТРИЧЕСКӦЙ ОСНОВНӦЙ ВЕЖӦРТАСЪЯС.	I. ГЕОМЕТРИЯ ВЕЖӦРТАССЭЗ.	I. ГЕОМЕТРИЕЗ НЫРИСЕТӤ ВАЛАНЪЁС.
§ 1. Физическое и геометрическое тело.	1 §. Физическӧй да геометрическӧй телӧ.	§ 1. Физика да геометрия вывтыррез.	§ 1. Физика но геометри мугор.
1. Нас окружает множество разнообразных предметов, или тел; каждое из них занимает определенную часть пространства.	1. Миян гӧгӧр зэв уна быдсяма предметъяс, либӧ телӧяс; быдӧн найӧ занимайтӧны кутшӧмкӧ определённӧй юкӧн пространстволысь.	1. Миян гӧгӧр пантасьӧны быдкодь предметтэз, либо вывтыррез. Быд вывтырлӧн эм пространствоын кытшӧмкӧ места.	1. Асьмедыс уно пӧртэм-пӧртэм арбериос, яке мугоръёс котырто; котькудӥз но соос пространстволэсь ас люкет интызэс басьто.
Тела отличаются друг от друга признаками, зависящими от материала, из которого тела сделаны: весом, твердостью, цветом, непроницаемостью, упругостью и т. д.	Телӧяс торъялӧны мӧда-мӧдсьыныс материал сикасъяс серті, кодысь вӧчӧма телӧяссӧ: сьӧктаӧн, чорыдлунӧн, рӧмӧн, упругосьтӧн да с. в.	Вывтыррез абу ӧткодьӧсь ӧтамӧдкӧт признаккезӧн: сьӧкытаӧн, чорытаӧн, рӧмӧн, пружинитӧмӧн и с. одз. Эна признаккес лоӧны сы сьӧрті, кытшӧм материалісь вывтыррес керӧмӧсь.	Со мугоръёс огзылэсь огзы кыӵе материаллэсь лэсьтэмзы бордысен герӟаськыса пӧртэмъясько: секытэн, чурытэн, буен, пыӵантэмен, сётъяськемен но мукет тодметъёсын.
Но тела обладают еще признаками, не зависящими от материала, из которого они сделаны, — это их величина и форма;	Но телӧяслӧн эмӧсь нӧшта тӧдчӧсъяс (признакъяс), найӧ оз лоны материалсянь, кодысь телӧяссӧ вӧчӧма — сійӧ налӧн ыдждаыс да формаыс.	Но вывтыррезлӧн эмӧсь эшӧ мӧдік признаккез, кӧдна оз вежсьӧ сы сьӧрті, кытшӧм материалісь вывтыррес керӧмӧсь, — эта нылӧн ыжда да форма.	Мугоръёслэн мукет тодметъёссы но вань, нош со тодметъёс мугоръёсыз лэсьтэм материалэн герӟаськымтэ, — со соослэн быдӟалазы но туссы луэ;
последние два признака зависят исключительно от того, какую часть пространства занимают тела.	Тайӧ бӧръя кык тӧдчӧсыс лоӧны сӧмын сы сайын, кутшӧм юкӧн пространствоыслысь босьтӧны (занимайтӧны) телӧясыс.	Эна кык признакыс лоӧны токо сысянь, мымда пространствоын вывтыррезлӧн места.	берло кык тодметъёс мугорен пространстволэсь кыӵе люкетсэ басьтэмен гинэ пӧртэмъясько.
2. Тело со всеми его признаками, зависящими от материала, из которого оно сделано, называется физическим телом;	2. Телӧыс став тӧдчӧсъяснас (признакъяснас), кодъяс петӧны материалысь, мыйысь вӧчӧма сійӧ, шусьӧ физическӧй телӧӧн;	2. Вывтырыс быдӧс аслас признаккезӧн, кӧдна вежсьӧны сы сьӧрті, кытшӧм материаллэзісь сія керӧм, шусьӧ физика вывтырӧн.	2. Вань ас тодметъёсыныз мугор, сое лэсьтэм материалэныз герӟаськон дыръя, физика мугор шуыса нимаське.
изучением физического тела занимаются естественные науки: физика, химия и др.	физическӧй телӧяссӧ изучайтӧны естественнӧй наукаяс: физика, химия да мук.	Физика вывтырресӧ велӧтӧны естественнӧй наукаэз: физика, химия да мӧдіккез.	Физика мугорез тодонэн естественной наукаос: физика, хими но мукетъёсыз ужало.
Геометрия же занимается изучением формы и размера тела независимо от того, из какого материала оно сделано.	Геометрия жӧ изучайтӧ телӧяслысь ыдждасӧ да формасӧ, материалсӧ, мыйысь вӧчӧма сійӧ, тӧд вылӧ босьттӧг.	Геометрия велӧтӧ токо вывтыррезлісь формаэз да ыждаэз.	Нош геометри, мугорез котькыӵе материаллэсь лэсьтэмын мед луоз, мугорлэсь туссэ но бадӟымлыксэ эскерыны дышетэ.
С точки зрения геометрии безразлично, будет ли тело, имеющее, скажем, форму куба, выпилено из дерева, высечено из камня, слеплено из глины или сделано из какого-нибудь иного материала; для нее важны только форма и размеры тела, а поэтому, занимаясь геометрией, необходимо научиться и уметь по ряду внешних признаков тела судить о его форме.	Геометриялы веськодь, лоӧ-ӧ, шуам, куб формаа телӧ пилитӧма пуысь, вӧчӧма изйысь, сёйысь либӧ кутшӧмкӧ мукӧд сикас материалысь; сылы колӧны сӧмын формаыс да ыдждаыс телӧыслӧн; сідзкӧ геометрия изучайтігӧн колӧ велӧдчыны да кужны ортсыса тӧдчӧсъяс серти тӧдмавны телӧыслысь формасӧ.	Сылӧ ӧткодь, мыйись бы эз вӧв керӧм вывтырыс, кӧть пуись, кӧть кӧртісь, кӧть мӧдік торись. Сылӧ колӧ токо тӧдны вывтырлісь форма да ыжда. Кӧдна велӧтӧны геометриясӧ, колӧ кужны вевдӧр признаккез сьӧрті висьтавны, кытшӧм сылӧн форма.	Геометри ласянь учкыса, кылсярысь куб тусъем мугор пулэсь-а вандэмын, сюйлэсь-а, излэсь-а, яке кыӵе ке мукет материаллэсь-а лэсьтэмын луоз, пӧртэмез чик ӧвӧл; солы мугорлэн тусэз но бадӟымлыкез гинэ кулэ, соин ик геометриен тодматскыса мугорлэн куд педпал тодметъёсызъя солэн ик тусэз сярысь вераськыны, дышыны но быгатыны кулэ.
3. Форма есть неотъемлемое качество всякого тела.	3. Форма эм быд телӧлӧн.	3. Быд вывтырлӧн формаыс лоӧ пырся качествоӧн.	3. Тус котькыӵе мугорлэн висъянтэм ӟечлыкез (качество) луэ.
Нет в природе тела без формы.	Форматӧм телӧ природаын абу.	Абуӧсь природаын форматӧм вывтыррез.	Тустэм мугор инкуазьын ӧвӧл.
Если иногда пользуются выражением «бесформенное тело", то этим хотят отметить, что форма тела такова, что нет возможности определить, на какое известное по своей форме тело оно похоже.	Шулывлӧны кӧ корсюрӧ «форматӧм телӧ пӧ», сійӧн кӧсйӧны висьтавны сӧмын, телӧыслӧн пӧ формаыс сэтшӧм, мый весиг он вермы урчитны, кутшӧм тӧдса формаа телӧ вылӧ сійӧ мунӧ.	Мукӧд кадӧ и шуӧны кӧ «вывтырыс форматӧм», сідз шуӧны токо сэк, кӧр сьӧкыт висьтавны кытшӧм формалань вачкисьӧ вывтырыс.	Куддыръя «тустэм мугор» шуыса верасько ке, соин мугорлэсь кыӵе тодмо тусо мугорлы кельшемзэ тодытыны луымтэез валатыны туртто.
4. В геометрии мы будем рассматривать тела, не обращая внимания на их физические свойства, а потому мы будем иметь дело не с каким-нибудь физическим телом, а с телом, как бы лишенным всех своих физических свойств, но вместе с тем, — что особенно важно, — сохранившим свою форму; такое тело называется геометрическим телом; оно есть ограниченная со всех сторон часть пространства, занимаемая физическим телом.	4. Геометрияын ми кутам видлавны телӧяс, налысь физическӧй тӧдчӧсъяссӧ тӧд вылӧ босьттӧг, а сідзкӧ ми пондам тӧдмавны ог кутшӧмкӧ физическӧй телӧ, а сэтшӧм телӧ, кодлӧн быттьӧкӧ некутшӧм физическӧй свойствояс абуӧсь, но такӧд ӧттшӧтш, тайӧ колӧ торйӧн урчитны, сылӧн эм форма; татшӧм телӧыс шусьӧ геометрическӧй телӧӧн; сійӧ эм быд боксянь ограничитӧм пространство юкӧн, кодӧс занимайтӧма физическӧй телӧӧн.	4. Геометрияын ми пондам велӧтны токо вывтыррез, ог кутӧ видзӧтны мыйись нія керӧмась, кытшӧм материалісь да кытшӧмӧсь нылӧн физика свойствоэз, а кутам велӧтны токо сылісь формасӧ. Сэтшӧм вывтыррез шусьӧны геометрия вывтыррезӧн. Сія лоӧ физика вывтыр граничитӧм пространствоӧн.	4. Геометриын асьмеос мугоръёсыз, физико аслыксэс чаклатэк учком, соин ик асьмеос кыӵе ке физика мугорен ум ужалэ. Асьмеос нош физико аслыксэс ыштэм кадь мугоръёсын но соин ӵош ик туссэс возись мугоръёсын (со тужгес ик кулэ) ужалом; сыӵе мугор геометри мугор шуыса нимаське. Со — котырак котыртэм но физика мугорен басьтэм пространство люкет луэ.
Итак, геометрическое тело есть ограниченная со всех сторон часть пространства, независимо от вещества, его заполняющего.	Сідзкӧ геометрическӧй телӧ эм быд боксянь ограничитӧм пространство юкӧн, сійӧс тыртысь веществоысь зависиттӧг.	Геометрия вывтырӧн шусьӧ сэтшӧм вывтыр, кӧдалӧн эм кытшӧмкӧ ыжда места пространствоын, мыйись бы сія эз вӧв керӧм.	Озьы, котырак котыртэм но кыӵе ке веществоен тырмытэм пространство люкетаз геометри мугор шуо.
5. Во всяком теле различают три главных направления или измерения: длину, ширину и высоту.	5. Быд телӧын лоӧ куим главнӧй муртас: кузьта, пасьта да судта.	5. Быд вывтырсӧ тӧдмалӧны куим медыджыт иньдӧт сьӧрті: кузя, пасьта и сувда меряйтӧм сьӧрті.	5. Котькыӵе мугорын куинь пӧртэм мертанэз висъяло: кузьдалазэ, пасьталазэ но ӝуждалазэ.
Некоторые из этих измерений носят иногда и другие названия; так, говорят о глубине колодца, о толщине доски, а не об их высоте.	Корсюрӧ тайӧ муртасъяс костсьыс ӧткымынӧс шулывлӧны и мӧд ногӧн: шуӧны юкмӧс джуджда, пӧв кызта, а оз шуны судта.	Мукӧд меряйтӧммесӧ шуӧны и мӧднёж, сідз: колодеч пыдына, пӧв кыза, а не сувда.	Кудӥз та мертаськонъёс мукет нимаськон но нулло; озьы ӝуждалаосыз вератэк, колодча мурдала, пул зӧктала сярысь верасько.
Всякое тело можно делить на части.	Быд телӧ позьӧ торйӧдлыны юкӧнъяс вылӧ.	Быд вывтыр туйӧ янсӧтны торрез вылӧ.	Котькыӵе мугорез люкетъёслы люкылыны луэ.
Рассматривая каждую часть тела отдельно, мы видим, что и она занимает определенную часть пространства, а поэтому является также телом.	Телӧыслысь быд юкӧн торйӧн видлалігӧн ми аддзам, сійӧ сідзжӧ занимайтӧ кутшӧмкӧ определённӧй пространство юкӧн, а сідзкӧ сійӧ лоӧ телӧ жӧ.	Кутам кӧ видзӧтны быд торсӧ янын, мийӧ адззам, нылӧн эм определённӧй места пространствоын, эта сьӧрті нія сідз жӧ лоӧны вывтыррезӧн.	Мугорлэсь котькуд люкетсэ нимаз эскерыса асьмеос солэсь пространствоысь ог люкетсэ басьтэмен адӟиськом, соин ик со но мугор луэ.
Часть геометрического тела есть также геометрическое тело.	Геометрическӧй телӧлӧн юкӧныс сідзжӧ эм геометрическӧй телӧ.	Геометрия вывтырлӧн быд тор тожӧ лоӧ геометрия вывтыр.	Геометри мугорлэн люкетэз но озьы ик геометри мугор луэ.
6. Рассмотрим одно из простейших геометрических тел — куб (рис. 1).	6. Видзӧдлам ӧти медся прӧстӧй геометрическӧй телӧ — куб (1-ой серпас).	6. Видзӧтам ӧтік медпростӧй геометрия вывтыр — куб (1 рис.).	6. Огшоры геометри мугоръёс пӧлысь кубез (1 сур.) эскером.
Куб, как и всякое тело, отделяется от всего остального пространства своими границами, своей поверхностью.	Куб, кыдзи и быд телӧ, торйӧдсьӧ став мукӧд пространствосьыс аслас граничаяснас, аслас веркӧсӧн.	Куб, кыдз и мукӧд вывтыр, пространствосянь торьясьӧ аслас граннезӧн, вевдӧрӧн.	Куб, мукет мугоръёс кадь ик, пространстволэсь аслаз но вылтыреныз (поверхность) люкиське.
Граница тела есть поверхность.	Телӧлӧн граничаыс эм веркӧс (поверхносьт).	Вывтырлӧн границаыс лоӧ вевдӧр.	Мугорлэн границаез вылтыр луэ.
Поверхность куба состоит из шести отдельных частей, или граней, а потому куб может быть назван шестигранником;	Кублӧн веркӧсыс артмӧ торъя квайт юкӧнысь, либӧ граньясысь, а та вӧсна кубӧс позьӧ шуны квайтгранникӧн;	Куб вевдӧрыс сулалӧ квать гранись и сійӧн шусьӧ кватьграняӧн.	Кублэн вылтырез куать нимаз люкетъёслэсь яке граньёслэсь луэ, соин ик кубез куать граньем шуыны луэ.
каждая грань куба представляет собою плоскую поверхность, или просто плоскость.	быд грань кублӧн лоӧ плоскӧй веркӧс, либӧ прӧста плоскосьт.	Быд куб грань эм волькыт вевдӧр либо плоскость.	Кублэн кажной гранез ӵошкес вылтыр яке огшоры ӵошкес кадь возьматэ.
Плоскость мы можем себе мыслить простирающейся безгранично во все стороны; грань куба есть только часть плоскости.	Плоскосьтӧс ми вермам мӧвпавны быд боклань помтӧг муніг; кублӧн граньыс лоӧ сӧмын плоскосьтлӧн юкӧн.	Сія миян думаӧн вермӧ нюжавны ӧтмӧдӧрӧ мымда колӧ; куб грань эм токо тор плоскостьлӧн.	Асьмеос ӵошкесэз котькуд палэ вӧлмисен чакланы но валаны быгатском; кублэн гранез ӵошкеслэн люкетэз гинэ луэ.
Свойство плоскости состоит в том, что с нею всегда полностью совпадает прямая линия — ребро линейки, в каком бы направлении ни передвигать ее по плоскости (рис. 2).	Плоскосьтлӧн свойствоыс лоӧ со мыйын: сы вылӧ век стӧч водӧ веськыд визь — линейка дорыш, кӧть кодарланьӧ сійӧс эн бергӧдлы плоскосьт вывтіыс (2-ӧд серпас).	Плоскостьлӧн свойство сэтшӧм веськыт визьыскӧт линейка дор ӧтлаасьӧ быднёжӧн (2 рис.).	Ӵошкеслэн аслыкез со луэ: ӵошкес вылэ шонер гож — линейкалэн урдэз котькызьы поныса но нуллыса соослэн кусыпсы котьку лач-лач луоз (2 сур.).
Иной вид имеет поверхность шара (рис. 3).	Дзик мӧд сикаса лоӧ веркӧсыс сярлӧн (3-ӧд серпас).	Мукӧд вевдӧррез шар кодьӧсь (3 рис.).	Нош шарлэн вылтырез мукет адӟиське (3 сур.).
Его поверхность есть кривая поверхность; с кривой поверхностью прямая линия — ребро линейки — не совпадает.	Сылӧн веркӧсыс лоӧ шыгыра, абу плоскосьт, шыгыра веркӧскӧд веськыд визь — линейка дорыш — оз ӧтлаась.	Сылӧн вевдӧрыс лоӧ чукыля вевдӧр. Чукыля вевдӧркӧт веськыт визь — линейка дор — оз вермы ӧтлаасьны.	Солэн вылтырез кырыж вылтыр луэ; кырыж вылтыр вылэ шонер гож линейка лач уг пуксьы.
7. Поверхность имеет два измерения: длину и ширину.	7. Веркӧслӧн кык муртас: кузьта да пасьта.	7. Меряйтӧны вевдӧрсӧ кык нёж: кузя да пасьта.	7. Вылтырлэн кык мертанэз: кузьдала но пасьтала луэ.
Поверхность, как и тело, можно делить на части; часть поверхности есть также поверхность и имеет те же два измерения: длину и ширину.	Веркӧссӧ, телӧӧс моз жӧ, позьӧ торйӧдны юкӧнъяс вылӧ; веркӧслӧн юкӧныс лоӧ веркӧс жӧ, сылӧн лоӧ сідзжӧ кык муртас: кузьта да пасьта.	Вевдӧрсӧ, кыдз и вывтыр, туйӧ торйӧтны. Вевдӧр тор эм тожӧ вевдӧр и сійӧ кык нёж меряйтӧны: кузя да пасьта.	Вылтырез, мугорез кадь ик, люкетъёслы люкыны луэ; вылтырлэн люкетэз сыӵе ик вылтыр луыса, солэн но кузьдала но пасьтала мертанъёсыз луо.
Каждая грань куба пересекается со всеми остальными гранями, кроме противолежащей.	Кублӧн быд грань вомӧнассьӧ (пересекайтчӧ) став мукӧд граньясыскӧд, паныда граньсьыс ӧтдор.	Быд куб граннез ӧтамӧдкӧт крестасьӧны, токо паныта гранькӧт оз вермӧ крестасьны.	Кублэн кажной гранез, ваче пумит граньёс сяна, вань кылем граньёсыныз вожвылско.
Так, верхняя грань куба (рис. 1) пересекается с четырьмя боковыми гранями и не пересекается только с одной — с нижней гранью.	Сідз, вылысса граньыс кублӧн (1-ой серпас) вомӧнасьӧ бокъясса нёль граньыскӧд, сӧмын сійӧ оз вомӧнась ӧти гранькӧд — улысса граньыскӧд.	Вевдӧрись куб грань (1 рис.) крестасьӧ нёльнан бокись граннезкӧт и оз крестась токо ӧтік увдӧрись гранькӧт.	Со сямен ик кублэн вылысь гранез (1 сур.), одӥг улӥ гранен сяна, вань ньыль урдэс граньёсын вожвылске.
8. Каждые две грани пересекаются по прямой линии; она называется стороной грани, или ребром куба.	8. Быд кык грань вомӧнасьӧны веськыд визьӧд; сійӧ шусьӧ грань дорӧн либӧ куб дорышӧн.	8. Кык куб грань крестасьӧны веськыт визь кузя; сія визьыс шусьӧ куб дорышӧн.	8. Котькудӥз кык граньёс шонер гож кузя вожвылско; со грань дур яке куб урд шуыса нимаське.
Сторона грани служит границей, отделяющей одну грань от другой, одну поверхность от другой поверхности.	Грань дорыш лоӧ граничаӧн, сійӧ торйӧдӧ ӧти грань мӧд граньысь, ӧти веркӧс мӧд веркӧсысь.	Дорыш янсӧтӧ ӧтамӧдсянь граннез да ӧтамӧдсянь жӧ вевдӧррез.	Граньлэн дурез — гранез граньлэсь, вылтырез вылтырлэсь висъясь грань луэ.
Границей поверхности является линия.	Веркӧслӧн граничаыс лоӧ визь.	Вевдӧрлӧн границаыс лоӧ веськыт визь.	Вылтырлэн гранез гож луэ.
Линии бывают прямые и кривые.	Визьяс овлӧны веськыдӧсь да чукляӧсь.	Виззез овлӧны веськытӧсь да чукыляӧсь.	Гожъёс шонересь но кырыжесь луо.
Ребро куба есть прямая линия; любая линия, проведенная на поверхности шара, может служить примером кривой линии.	Куб дорыш лоӧ веськыд визь, сяр веркӧс вывті нуӧдӧм любӧй визь лоӧ чукля визь.	Кублӧн дорыш лоӧ веськыт визь; кытшӧм бы визь ми шар вылӧт эг нуӧтӧ пыр лоас чукыля визь.	Кублэн урдэз шонер луэ; шар вылтыретӥ котькыӵе ортчытэм гож кырыж гожез возьматӥсен луыны быгатэ.
Линия имеет только одно измерение — длину.	Визьлӧн сӧмын ӧти муртас — кузьта.	Визьлӧн токо ӧтік мера — кузя.	Гожлэн мертанэз одӥг — кузьдала гинэ.
9. Место пересечения ребер куба есть точка; эта точка называется вершиной куба.	9. Куб дорышъяслӧн вомӧнасяніныс лоӧ чут; тайӧ чутыс шусьӧ куб йылӧн (вершина).	9. Дорышшез крестасьӧны ӧтік чутын; эта чутыс шусьӧ куб йылӧн.	9. Куб урдъёслэн вожвылскон интызы точка луэ. Со точка куб йылэн нимаське.
Граница линии есть точка; точка не имеет ни одного измерения.	Визьлӧн граничаыс эм чут; чутлӧн абу ньӧти муртас.	Визьлӧн границаыс лоӧ чут; чутлӧн некытшӧм абу мера.	Гожлэн границаез точка луэ; точкалэн одӥг мертанэз но уг луы.
Граница тела — поверхность, граница поверхности — линия, граница линии — точка.	Телӧлӧн граничаыс — веркӧс, веркӧслӧн граничаыс — визь, визьлӧн граничаыс — чут.	Вывтырлӧн граница — вевдӧр, вевдӧрлӧн граница — визь, визьлӧн граница — чут.	Мугорлэн границаез — вылтыр, вылтырлэн границаез — гож, гожлэн границаея — точка.
Точки, линии и поверхности принадлежат только телам.	Чутъяс, визьяс да веркӧсъяс лоӧны сӧмын телӧяслӧн.	Чуттэз, виззез да вевдӧррез эмӧсь токо вывтырлӧн.	Точкаос, гожъёс но вылтыръёс мугоръёслэн гинэ луо.
Однако мы можем представить себе точки, линии и поверхности как бы снятыми с тел и рассматривать их отдельно от тел, независимо от них.	Но ми вермам мӧвпавны чутъяссӧ, визьяссӧ да веркӧсъяссӧ телӧяссьыс быттьӧкӧ босьтӧмӧн да видлавны найӧс телӧястӧгыс, торйӧн, аскежаныс.	Но ми нійӧ думаӧн вермам видзӧтны кыдз бы вывтыррез дынісь янын	Нош точкаосыз гожъёсыз но вылтыръёсыз мугор вылысь суредэз кадь чакласа, соосыз мугоръёслэсь нимаз эскерыны луэ.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Что называется физическим телом?	1. Мый шусьӧ физическӧй телӧӧн?	1. Мый шусьӧ физика вывтырӧн?	1. Мае физика мугор шуо?
2. Что называется геометрическим телом?	2. Мый шусьӧ геометрическӧй телӧӧн?	2. Мый шусьӧ геометрия вывтырӧн?	2. Мае геометри мугор шуо?
3. Что называется поверхностью, линией, точкой?	3. Мый шусьӧ веркӧсӧн, визьӧн, чутӧн?	3. Мый шусьӧ вевдӧрӧн, визьӧн, чутӧн?	3. Точкаен, гожен, вылтырен мар нимаське?
4. Какими свойствами тела занимается геометрия?	4. Кутшӧм свойствояс телӧлысь изучайтӧ геометрия?	4. Кытшӧм вывтыр свойствоэз велӧтӧ геометрия?	4. Мугорлэсь кыӵе аслыкъёссэ геометри эскере но дышетэ?
5. Чем отличается кривая поверхность от плоской поверхности?	5. Мыйӧн торъялӧ шыгыра веркӧс плоскӧй веркӧсысь?	5. Мыйӧн неӧткодь чукыля вевдӧркӧт волькыт вевдӧр?	5. Кырыж вылтыр ӵошкес вылтырлэсь маен пӧртэм луэ?
§ 2. Куб, прямоугольный параллелепипед, прямая призма.	2§. Куб, веськыдпельӧса параллелепипед, веськыд призма.	§ 2. Куб, веськытпельӧса параллелепипед, веськыт призма.	§ 2. Куб, шонер сэрегъем параллелепипед, шонер призма.
1. Куб.	1. Куб.	1. Куб.	1. Куб.
Признаки куба.	Кублӧн тӧдчӧсъяс (признакъяс).	Кублӧн признаккез.	Кублэн тодметъёсыз.
У куба (рис. 1) следующие признаки, выделяющие его среди тел другой формы:	Кублӧн (1-ой серпас) со кутшӧм тӧдчӧсъяс, кодъяс торйӧдӧны сійӧс мукӧд формаа телӧясысь:	Кублӧн (1 рис.) то кытшӧм признаккез, кӧдна сьӧрті сійӧ туйӧ тӧдны:	Кублэн (1 сур.) мукет мугоръёслэн туссылэсь таӵе пӧртэм тодметъёсыз луэ:
1) он отделен от всего остального пространства с шести сторон шестью гранями;	1) сійӧс торйӧдӧма став мукӧд пространствосьыс квайт бокӧн, квайт граньӧн;	1) Пространствоас сія квать боксянь янсӧтчӧ квать граньӧн;	1) со вань кылем пространстволэсь куать дур ласянь ик куать гранен висъямын;
2) любые две его противолежащие грани не сходятся;	2) любӧй кык паныда граньяс сылӧн оз ӧтлаасьны;	2) Быд паныта граннез сылӧн некӧр оз ӧтлаасьӧ;	2) котькудӥз но солэн ваче пумит кыллись граньёсыз уг огазеясько;
3) все грани куба равны между собою, и каждая грань есть плоская поверхность, или просто плоскость;	3) став граньясыс кублӧн мӧда-мӧдыскӧд ӧтыдждаӧсь, быд грань лоӧ плоскӧй веркӧс, либӧ прӧстӧ плоскосьт;	3) Кублӧн быд грань ӧтыждаӧсь и быд грань эм волькыт вевдӧр либо плоскость;	3) кублэн вань граньёсыз ас куспазы ӵошало но котькуд гранез ӵошкес вылтыр яке ӵошкес луэ;
4) линия пересечения двух граней есть прямая линия — ребро куба, или сторона грани; у куба 12 ребер; у грани 4 стороны;	4) кык граньлӧн вомӧнасян визьыс лоӧ веськыд визь — куб дорыш, либӧ грань дор; кублӧн 12 дорыш; граньлӧн 4 дор;	4) Кык грань крестасьӧны веськыт визь кузя — куб дорыш либо мӧднёж, грань кублӧн 12 дорыс; граньлӧн 4 бок;	4) кык граньёсыз вожвылтӥсь гож, шонер гож луэ — куб урд, яке грань дур; кублэн 12 урдэз; граньлэн 4 дурез;
5) грань куба ограничена замкнутой линией, составленной из четырех разных сторон; каждые две пересекающиеся стороны грани образуют прямой угол; такая замкнутая линия есть геометрическая фигура и называется квадратом;	5) кублӧн граньыс ограничитӧма тупкӧса (замкнутӧй) визьӧн, коді артмӧ торъя нёль ӧткодь дорысь; граньлӧн быд кык вомӧнасьысь доръясыс вӧчӧны веськыд пельӧс; татшӧм тупкӧса визьыс лоӧ геометрическӧй фигура, шусьӧ квадратӧн;	5) Куб грань нёльнан боксянь гӧгӧртӧм ӧтлаасян визьӧн, кӧдія керӧм ӧтыжда нёль бокись; кык бок граньлӧн аркмӧтӧны веськыт пельӧс; сэтшӧм ӧтлаасьӧм визьыс керӧ геометрия фигура, кӧда шусьӧ квадратӧн;	5) кублэн гранез ньыль ог кадь дуръёсын луэм гожен котыртэмын; котькудӥз кык вожвылскись грань дуръёс шонер сэрег кылдыто; сыӵе котырскем гож геометриё фигура луэ но квадрат шуыса нимаське;
6) у куба восемь вершин; в каждой вершине пересекаются три грани куба, а также три ребра куба.	6) кублӧн кӧкъямыс йыв; быд йылын вомӧнасьӧны куим грань, а сідзжӧ кублӧн куим дорыш.	6) Кублӧн кыкьямыс йыв; быд йылын крестасьӧны кублӧн куим дорыш да куим грань.	6) кублэн тямыс йылэз; котькуд йылаз кублэн куинь гранез но озьы ик куинь урдэз вожвылско.
Нижняя грань куба, которая совпадает с плоскостью, на которую куб поставлен, называется нижним основанием куба, а противолежащая ей грань — верхним основанием;	Улысса граньыс кублӧн шусьӧ куб улыс подувтасӧн, а сыкӧд паныда граньыс — вылыс подувтасӧн.	Кублӧн улісь грань, кӧдаӧн сія сулалӧ плоскость вылын, шусьӧ увдӧрись под; эталӧ паныта грань — вевдӧрись под;	Ӵошкес вылэ пуктэм кублэн ӵошкесэн лач усись улӥ гранез кублэн улӥ пыдэсэз шуыса нимаське, нош солы пумит луись грань — вылысь пыдэс луэ;
остальные четыре грани куба называются боковыми гранями; они составляют боковую поверхность куба.	Кублӧн мукӧд нёль граньыс шусьӧны бокъясса граньясӧн; найӧ артмӧдӧны кублысь бокса веркӧссӧ.	кублӧн мӧдік граннез шусьӧны бокись граннезӧн; ныись лоӧ кублӧн бокись вевдӧр.	отӥез кублэн ньыль гранез урдэс гранен нимасько; соос кублэсь урдэс вылтырзэ лэсьто.
Если к боковой поверхности куба прибавить поверхность его верхнего и нижнего оснований, то получится полная поверхность куба.	Бокса веркӧс дінас кӧ содтыны кублысь улыс да вылыс подувтасъяссӧ, сэки лоӧ кублӧн тыр веркӧс.	Бокись вевдӧр дынӧ кӧ содтам вевдӧрись да увдӧрись под, сэк лоас кублӧн быдса вевдӧр.	Кублэн урдэс вылтыр вылаз, солэсь улӥ но вылӥ пыдэс вылтырзэ ватсад ке, соку кублэн быдэсак вылтырез потоз.
В кубе все три его измерения — длина, ширина и высота — равны между собою.	Кубын сылӧн куимнан муртасыс — кузьта, пасьта да судта — ӧтыдждаӧсь мӧда-мӧдныскӧд:	Кублӧн кузяыс, пасьтаыс да сувдаыс ӧтыждаӧсь.	Кубын вань куинь мертанъёс — кузьдала, пасьтала но ӝуждала ас куспазы ог кадесь, ӵошало.
Длина = ширине = высоте.	кузьта = пасьталы = судталы.	Кузя = пасьтакӧт = сувдакӧт.	Кузьдала — пасьталалы — ӝуждалалы.
Форма куба встречается у многих предметов;	Куб формаӧн овлӧны уна предметъяс.	Куб формаыс эм уна предметтэзлӧн	Кублэн тусэз уно арбериослэн луэ;
сооружения всякого рода, их части, ящики, игральные кости и т. п. имеют форму куба.	Быдсяма стрӧйбаяс, налӧн юкӧнъяс, ящикъяс, ворсан кубикъяс да с. в.	ящик, керки и сідз одз.	ящикъёс, шудон лыос но пӧртэм лэсьтӥськонъёс но куб тусъем луо.
2. Прямоугольный параллелепипед.	2. Веськыдпельӧса параллелепипед.	2. Веськытпельӧса параллелепипед.	2. Шонер сэрегъем параллелепипед.
Поставим в ряд несколько одинаковых кубов вплотную друг к другу, затем приставим вплотную к этому ряду еще один ряд таких же по величине кубов (рис. 4), тогда получим тело, форма которого будет отличаться от куба.	Сувтӧдам ӧти радӧ мӧда-мӧд бердас кымынкӧ ӧткодь куб, сэсся тайӧ рад бердас нӧшта содтам сы гырся кубъясысь жӧ тэчӧм рад (4-ӧд серпас), лоӧ сэтшӧм телӧ, кодлӧн формаыс мӧдас торъявны куб формаысь.	Пуктам ордчӧн кынымкӧ ӧтыжда куб зэв ӧтамӧдкӧт, сія ряд бердӧ жӧ пуктам мӧдік куб ряд (4 рис) миян лоас вывтыр, кӧдіялӧн формаыс не куб кодь.	Ог кадь кубъёсыз огзылы огзы лач-лач артэ пуктылом. Соос вӧзэ нош ик одӥг рад сыӵе ик кубъёсыз пуктылӥм ке (4 сур.), соку кублэсь пӧртэм тусо луись мугор шедьтом.
Оно также ограничено шестью гранями, но грани его не квадраты, а прямоугольники; такое тело называется прямоугольным параллелепипедом, или брусом.	Сійӧ сідзжӧ лоӧ ограничитӧма квайт граньӧн, но граньясыс сылӧн оз лоны квадратъяс, а лоӧны веськыдпельӧсаяс; татшӧм телӧыс шусьӧ веськыдпельӧса параллелепипедӧн, либӧ брусӧн.	Эта вывтырлӧн, кыдз и кублӧн эм квать грань, но эна граннез абу ни квадрат кодьӧсь, а веськытпельӧса кодьӧсь; сэтшӧм вывтырыс шусьӧ веськытпельӧса параллелепипедӧн, мӧднёж брусӧн.	Со озьы ик куать гранен котыртэмын, нош солэн граньёсыз квадратъёс ӧвӧл — прямоугольникъёс луо; таӵе мугор шонер сэрегъем параллелепипед яке брус шуиське.
Прямоугольник есть геометрическая фигура, которая ограничена замкнутой линией, состоящей из четырех сторон; стороны прямоугольника пересекаются под прямым углом, и противолежащие стороны равны между собой.	Веськыдпельӧса (прямоугольник) — сійӧ геометрическӧй фигура, кодӧс ограничитӧма нёльнан дорсяньыс гӧгӧртысь тупкӧса веськыд визьӧн; веськыдпельӧсалӧн доръясыс вомӧнасигас вӧчӧны веськыд пельӧс; мӧда-мӧдлы паныда доръясыс сылӧн ӧткодьӧсь (ӧтыдждаӧсь).	Веськытпельӧсаӧн шусьӧ геометрия фигура, кӧдія нёльнан боксянь гӧгӧртӧм ӧтлаасьӧм визьӧн; веськытпельӧсалӧн боккез крестасикас аркмӧтӧны веськыт пельӧс, а панытса боккез ӧтыждаӧсь.	Прямоугольник — геометри фигура луэ, нош со фигура ньыль пал дуртӥз ик вискын гожен котыртэмын; прямоугольниклэн дуръёсыз шонер сэрег кылдытыса вожвылско но, ваче пумит кыллись дуръёссы ог кадесь луо.
Не все боковые грани прямоугольного параллелепипеда равны между собою; попарно равны противолежащие боковые грани; равны также его верхнее и нижнее основания.	Веськыдпельӧса параллелепипедлӧн бокъясса граньясыс абу ставныс ӧтыдждаӧсь мӧда-мӧдныскӧд; ӧтыдждаӧсь гозйӧн-гозйӧн мӧда-мӧдкӧд паныда граньясыс; ӧтыдждаӧсь сылӧн лоӧны сідзжӧ и улыс да вылыс подувтасъясыс.	Веськытпельӧса параллелепипедлӧн ӧтыжда токо панытса бокись граннез; ӧтыждаӧсь сідзжӧ увтісь и вевдӧрись поддэз. Быдӧс бок дорышшез ӧтыждаӧсь и увтісь и вевдӧрись, подлӧн токо панытся дорышшез ӧтыждаӧсь.	Шонер сэрегъем параллелепипедлэн ваньмыз ик урдэс дуръёсыз ог кадесь ӧвӧл; ваче пумит кыллись урдэс граньёс кузэн ог кадесь; озьы ик улӥ но вылӥ пыдэсъёссы ӵошало.
Что касается ребер прямоугольного параллелепипеда, то попарно равны между собою все противоположные ребра обоих оснований и все боковые ребра.	Веськыдпельӧса параллелепипедлӧн дорышъясыс лоӧны со кутшӧмӧсь: гозйӧн-гозйӧн лоӧны ӧткузяӧсь кыкнан подувтасыслӧн мӧда-мӧдлы став паныда дорышъясыс да став бокъясса дорышъясыс.	abu	Шонер сэрегъем параллелепипедлэн урдъёсыз сярысь ке верано, кыкез ик пыдэсъёслэн ваньмыз ваче пумит луись урдъёссы но вань урдэс урдъёссы ас куспазы кузэн ӵошало.
У прямоугольного параллелепипеда три его измерения различны.	Веськыдпельӧса параллелепипедлӧн куимнан муртасыс мӧда-мӧдыскӧд абу ӧтыдждаӧсь.	Веськытпельӧса параллелепипедлӧн куим мера и нія абу ӧтыждаӧсь.	Шонер сэрегъем параллелепипедлэн куинез ик мертанъёсыз пӧртэмесь.
Сооружения всякого рода и их части, детали машин, вагоны железных дорог, ящики, комнаты, балки и т. п. имеют форму прямоугольного параллелепипеда.	Кӧрт туй вагонъяслӧн, ящикъяслӧн, комнатаяслӧн, балкаяслӧн да с. в. формаясыс веськыдпельӧса параллелепипед формааӧсь.	Быд постройка, кӧрт туй вылісь вагоннэзлӧн, ящиккезлӧн, зыррезлӧн, балкаэзлӧн формаыс веськытпельӧса параллелепипед кодь.	Котькыӵе лэсьтӥськонъёс, соослэн люкетъёссы, машина, гур, чугун сюрес, вагон, ящик, лусъем балка но мукетъёсызлэн детальёссы шонер сэрегъем параллелепипед тусо луо.
3. Прямая правильная четырехугольная призма.	3. Правильнӧй нёльпельӧса веськыд призма.	3. Веськытпельӧса призма.	3. Ньыль сэрегъем пырак шонер призма.
Тело, ограниченное шестью гранями, из которых два основания — квадраты, а боковые грани — равные между собою прямоугольники, называется прямой правильной четырехугольной призмой (рис. 5).	Квайт граня телӧ, кодлӧн кык подувтасыс — квадратъяс, а бокъясса граньясыс мӧда-мӧдыскӧд ӧтыджда веськыдпельӧсаяс, шусьӧ правильнӧй нёльпельӧса веськыд призмаӧн (5-ӧд серпас).	Кватьграня вывтыр, кӧдіялӧн кык подыс квадраттэз, а бокись граннес — ӧтыжда веськытпельӧссэз, шусьӧ веськыт нёльпельӧса призмаӧн. (5 рис.).	Куать гранен котыртэм мугор, соос пӧлысь кык пыдэсъёсыз квадратъёс, нош урдэс граньёсыз ог кадесь прямоугольникъёс ке, ньыль сэрегъем пырак шонер призма шуыса нимаське (5 сур.).
Прямоугольный параллелепипед, две противолежащие грани которого квадраты, есть прямая правильная призма.	Веськыдпельӧса параллелепипед, кодлӧн мӧда-мӧдлы паныда кык граньыс квадратъяс, эм правильнӧй веськыд призма.	Веськытпельӧса параллелепипед, кӧдіялӧн кык панытся грань квадраттэз — лоас сідз жӧ веськыт правильнӧй призма.	Шонер сэрего параллелепипед, кудӥзлэн ке кык ваче пумит кыллись граньёсыз квадратъёс ке, со пырак шонер призма луоз.
У прямой правильной призмы из трех ее измерений два измерения равны.	Правильнӧй веськыд призмалӧн сійӧ куим муртасысь кык муртасыс ӧтыдждаӧсь.	Веськыт правильнӧй призмалӧн — куим мера, кытӧн кык мераыс ӧтыждаӧсь.	Пырак шонер призмалэн куинь мертанъёсыз пӧлысь кыкез ог кадесь.
Если поставить призму так, чтобы в ее основании лежал квадрат, то длина и ширина ее будут одинаковы, а высота иная (рис. 5);	Сувтӧдны кӧ призмасӧ сідзи, медым подувтасас лоӧ квадратыс, сэки кузьтаыс да пасьтаыс сылӧн (призмалӧн) лоӧны ӧткодьӧсь, а судтаыс лоӧ мӧд (5-ӧд серпас);	Сувтӧтам кӧ призмасӧ квадрат бок вылӧ, то кузяыс и пасьтаыс сылӧн лоасӧ ӧткодьӧсь, а сувдаыс мӧдкодь (5 рис.);	Призмаез пыдэсэныз квадрат карыса пуктӥм ке, соку пасьталаез но кузьдалаез ог кадесь луозы, нош ӝуждалаез мызон луоз.
если же призму поставить так, что ее основанием будет боковая грань — прямоугольник, то равными будут у нее ширина и высота, длина же — иная (рис. 6).	сувтӧдны кӧ призмасӧ сідзи, медым подувтаснас сылӧн лоӧ бокса граньыс — веськыдпельӧса, сэки ӧтыдждаӧсь лоӧны сылӧн пасьтаыс да судтаыс, а кузьтаыс лоӧ мӧд (6-ӧд серпас).	призмасӧ сувтӧтам кӧ сідз, кӧр сылӧн подыс лоас бокись грань — веськытпельӧса, то ӧткодьӧсь лоасӧ пасьта и сувда, а кузяыс лоас мӧдкодь (6 рис.).	Призмалэсь урдэс граньзэ пыдэс карыса пуктӥд ке, соку ӝуждалаез но пасьталаез ог кадесь луозы, нош кузьдалаез мызон луоз (6 сур.).
4. Если основание призмы не квадрат, а геометрическая фигура, состоящая из трех, пяти, шести или большего числа сторон, боковые же грани — прямоугольники, то такая призма, в зависимости от числа сторон основания, называется прямой треугольной, пятиугольной, шестиугольной (рис. 7) или многоугольной призмой.	4. Призмалӧн кӧ подувтасыс абу квадрат, а куим, вит, квайт либӧ унджык дора геометрическӧй фигура, бокӧвӧй граньясыс жӧ сылӧн — веськыдпельӧсаяс, сэки сійӧ шусьӧ, подувтас дор лыд сертиыс, куимпельӧса, витпельӧса, квайтпельӧса (7-ӧд серпас) либӧ унапельӧса веськыд призмаӧн.	4. Кӧр призмалӧн подыс не квадрат, а геометрия фигура, кӧдалӧн куим, вит, квать, либо унажык бок и бок граннез — веськытпельӧсаэз, то сэтшӧм призмаыс шусьӧ либо веськыт куимпельӧса, витпельӧса, кватьпельӧса (7 рис.) либо уна пельӧса призмаӧн.	4. Призмалэн пыдэсэз квадрат ӧвӧл ке, куинь, вить, куать но уно дур геометри фигура ке, урдэс граньёсыз нош прямоугольникъёс ке, сыӵе призма пыдэсъёсызлэн лыдэзъя, шонер куиньсэрегъем, витьсэрегъем, куатьсэрегъем (7 сур.) яке уно сэрегъем призма шуыса нимаське.
Примерами многоугольной призмы служат граненый карандаш, ячейки пчелиных сотов и т. п.	Уна пельӧса призмаӧн лоӧны: граня карандаш да с. в.	Примерӧн вермас лоны грання карандаш нетӧ ма соттез и с. одз.	Кылсярысь, сэрего карандаш, муш сюсь гопъёс но уно сыӵе пӧртэм макеос уно сэрегъем призмалы кельшо.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс:	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Сколько ребер и сколько граней пересекаются в вершине куба?	1. Кымын дорыс да кымын грань вомӧнасьӧны куб йылын?	1. Кыным дорыш да кыным грань крестасьӧны куб йылын?	1. Кублэн йылаз кӧня урдъёс но кӧня граньёс вожвылско?
2. Какую фигуру представляет собою грань куба?	2. Кутшӧм фигура лоӧ (представляйтӧ) кублӧн граньыс?	2. Кытшӧм фигура кодь кублӧн грань?	2. Кублэн гранез кыӵе фигура кадь луэ?
3. Перечислить все внешние признаки куба.	3. Висьтавны ортсыса став тӧдчӧсъяссӧ кублысь.	3. Висьталӧ куб вывтісь быд признак?	3. Кублэсь вань педпал тодметъёссэ верано.
4. Какое тело называется прямоугольным параллелепипедом?	4. Кутшӧм телӧ шусьӧ веськыдпельӧса параллелепипедӧн?	4. Кытшӧм вывтыр шусьӧ веськытпельӧса параллелепипедӧн?	4. Кыӵе мугор шонер сэрегъем параллелепипед шуиське?
В чем его сходство и в чем его различие с кубом?	Мыйӧн сійӧ ӧтсяма кубкӧд да мыйӧн сыысь торъялӧ?	Мыйӧн сія ӧткодь и мыйӧн абу ӧткодь кубкӧт?	Кыӵе солэн кубен пӧртэмез но кыӵе ог кадез?
5. В чем отличие прямоугольника от квадрата?	5. Мыйӧн торъялӧ квадратысь веськыдпельӧса?	5. Мыйӧн оз вачкись веськытпельӧсаыс квадратлань?	5 Прямоугольниклэн квадратлэсь кыӵе пӧртэмез?
6. Какое тело называется прямой правильной четырехугольной призмой?	6. Кутшӧм телӧ шусьӧ правильнӧй нёльпельӧса веськыд призмаӧн?	6. Кытшӧм вывтыр шусьӧ веськыт правильнӧй нёльпельӧса призмаӧн?	6. Пырак шонер ньыльсэрегъем призма шуыса кыӵе мугор нимаське?
Какую фигуру представляют собой ее боковые грани, ее основания?	Кутшӧм фигураӧн лоӧны сылӧн бокъясса граньясыс, сылӧн подувтасъясыс?	Кытшӧм фигура кодь сылӧн граннес да подыс?	Солэн урдэс граньёсыз но пыдэсъёсыз кыӵе фигураез возьмато?
7. Можно ли куб и брус назвать призмами?	7. Позьӧ-ӧ куб да брус шуны призмаясӧн?	7. Позьӧ я кубсӧ да бруссӧ шуны призмаэзӧн?	7. Кубез но брусэз призма шуыны луэ-а?
8. Какая призма называется прямой многоугольной призмой?	8. Кутшӧм призма шусьӧ унапельӧса веськыд призмаӧн?	8. Кытшӧм призма шусьӧ веськыт унапельӧса призмаӧн?	8. Уносэрегъем шонер призма шуыса кыӵе призма нимаське?
9. Сколько граней, ребер и вершин у прямой шестиугольной призмы?	9. Кымын грань, дорыш да йыв квайтпельӧса веськыд призмалӧн?	9. Кыным грань, дорыш да йыв веськыт кватьпельӧса призмалӧн.	9. Куать сэрегъем шонер призмалэн кӧня гранез, урдэз но йылэз?
II. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.	II. ВЕСЬКЫД ВИЗЬ.	II. ВЕСЬКЫТ ВИЗЬ.	II. ШОНЕР ГОЖ
§ 1. Прямая линия.	1 §. Веськыд визь.	§ 1. Веськыт визь.	§ 1. Шонер гож.
Луч.	Луч.	Югӧр.	Луч.
Отрезок.	Вундӧг.	Орӧток.	Вандэт.
Ломаная.	Чегласьӧм визь.	Чегласьӧм.	Тӥяськем гож.
1. Из всех линий наиболее часто встречается прямая линия.	1. Став сикас визьяс костысь медтшӧкыда паныдасьлӧ веськыд визь.	1. Быд виззес коласын унажык пантасьӧ веськыт визь.	1. Вань гожъёс пӧлысь ужпумын ӵемгес ик шонер гож пумиське.
Туго натянутая нить дает наглядное представление о прямой линии.	Зэлыда нюжӧдӧм сунис медся бура петкӧдлӧ веськыд визьтӧ.	Ёна нюжӧтӧм сунис лоӧ веськыт визь.	Зол кыскем сӥньыс шонер гожлэсь туссэ син азьын возьматэ.
Ребра куба — прямые линии.	Кублӧн дорышъясыс — веськыд визьяс.	Кублӧн дорышшес веськыт виззез.	Кублэн урдъёсыз шонер гож луо.
2. В практической жизни весьма часто приходится проводить прямые линии.	2. Практическӧй олӧмын вель тшӧкыда лолывлӧ нуӧдлыны веськыд визьястӧ.	2. Уджалік кадӧ часто ковсьӧ нуӧтны веськыт виззез.	2. Ужась муртлы уж удысаз ӵем дыръя шонер гож ортчытъяно луэ.
Когда плотнику или столяру нужно обтесать край доски по прямой линии, то для получения прямой они пользуются шнуром.	Кор плӧтниклы либӧ столярлы колӧ лӧсавны пӧв дор веськыд визьӧд, найӧ пӧльзуйтчӧны шнурӧн.	Плотниккез да пызан кериссез уджалік кадын медбы веськыта лӧсйыны пу, пользуйтчӧны шнурӧн.	Плотниклы яке столярлы пуллэсь дурзэ шонер гож кузя лусйыны кулэ ке, соку со сӥньысэн пул вылаз шонер гож шукке.
Применение шнура показано на рисунке.	Шнурӧн пӧльзуйтчӧм петкӧдлӧма 8-ӧд серпас вылын.	Кыдзи уджавны шнурӧн, мыччалӧм 8 рисунокын.	Сӥньысэн шонер гож шукконэз 8 суредын возьматэмын.
8. При землемерных работах приходится прокладывать, или, как говорят, провешивать на местности прямые линии.	Муяс мурталігӧн лоӧ нуӧдлывлыны места вылас веськыд визьяс.	Му меряйтікӧ колӧ нуӧтны веськыт виззез.	Музъем мертан ужын интыосэтӥ мертэтэн мертано яке шонер гожъёс векъяно луэ.
Как это делается, поясняет рисунок 9.	Кыдзи сійӧ вӧчсьӧ, петкӧдлӧма 9-ӧд серпас вылын.	Кыдз этӧ керны мыччалӧ 9 рисунок.	Кызьы со лэсьтӥське, со сярысь 9 суред валэктэ.
Работу выполняют двое.	Уджсӧ вӧчӧны кыкӧн.	Уджсӧ нуӧны кыкӧн.	Ужзэ кык кузя быдэсто.
Сперва отмечают вехами те две точки A и B, между которыми надо проложить прямую; затем один из участников работы становится у вехи А, другой же с набором вех идет по направлению к вехе В и втыкает по указанию первого между точками А и В веху С так, чтобы она находилась на прямой АВ.	Войдӧр пасйӧны ёсьяс сутшкӧмӧн (вехаясӧн) кык чут A да B, кодъяс костын колӧ нуӧдны веськыд визьсӧ; сэсся ӧти уджалысьыс сувтӧ A майӧг дорас, а мӧдыс ёсьяснас мунӧ B майӧгланьыс да первойя уджалысь индӧм серти сутшкӧ А да B чутъяс костас ёсь C сідзи, медым сійӧ лои AB веськыд визь вылас,	Вехаэзӧн перво тэчӧны, кык чут A да B, кӧдна коласын колӧ нуӧтны веськыт визь, сыбӧрын ӧтік уджалісьыс сувтӧ A веха дынӧ, мӧдікыс вехаэзӧн мунӧ B чутланьӧ и мӧртӧ A да B коласын C вехасӧ сідз, медбы сія вӧлі AB коласын веськыт визь кузя.	Нырись ик одӥг точкаысь мызон точкае шонер гож поттон дыръя майыген А но В точкаосыз тодмо каро: собере одӥгез ужась мурт А майыг доре султэ, мукетэз мукет майыгъёс кутыса В майыг палэ мынэ но, нырисезлэн верамезъя А но В майыгъёс вискы С майыгез пуктэ. Со майыгез АВ шонер гож шоре со тупатэ.
Это достигается тем, что веха С покрывает веху В, когда из точки А смотрят на веху В.	а тайӧ артмас, кор A чутсяньыс B ёсь вылас видзӧдігӧн C ёсьыс сайӧдас B ёсьсӧ.	Этӧ позьӧ керны сідз, кӧр C веха вевттяс B вехасӧ, кӧр мийӧ кутам видзӧтны A вехасянь B веха вылӧ.	Со майыг дорысен А майыгез учкыку С майыг В майыгез ӵоктаса шонер гож луэ.
Так же устанавливаются затем и другие промежуточные вехи.	Тадзи жӧ сэсся кык чут костас сутшкалӧны мукӧд ёсьяссӧ (вехаяссӧ).	Сідз жӧ сувтӧтлӧны и мӧдік вехаэз A да B коласын.	Озьы ик собере мукетъёсыз но кусып майыгъёс пуктылӥсько.
3. В чертежных работах прямые линии проводятся при помощи чертежной линейки.	3. Чертёжнӧй уджъяс дырйи веськыд визьяссӧ нуӧдӧны чертёжнӧй линейка отсӧгӧн.	3. Чертёжнӧй удж дырни веськыт виззесӧ нуӧтӧны чертёжнӧй линейка сьӧрті.	3. Чертёж ужъёсын шонер гожъёс лэсьтон чертёж линейкаосын ортчыто.
При выполнении чертежей приходится проводить линии, прямые и кривые, и отмечать ряд точек.	Чертёжъяс вӧчигӧн лолывлӧ нуӧдавны визьяссӧ веськыдъясӧс и чукляясӧс да пасъявны чутъяс.	Чертёжнӧй удж дырни часто ковлӧ нуӧтны веськыт и чукыля виззез да тэчны чуттэз.	Чертёжъёсыз быдэстыку шонересь но кырыжесь гожъёс ортчытоно но трос точкаос пусйылоно луэ.
Чтобы знать, о какой линии или точке идет речь, их обозначают большими буквами латинского алфавита.	Медым тӧдны, кутшӧм визь йылысь либӧ чут йылысь мунӧ сёрниыс, найӧс пасйӧны латинскӧй алфавит ыджыд шыпасъясӧн.	Медбы тӧдны, кытшӧм визь йылісь нето чут йылісь мунӧ сёрни, нійӧ пасъялӧны латин алфавитісь ыджыт шыпассэзӧн.	Кыӵе гож сярысь вераськонэз тодон понна, гожез латин алфавитысь бадӟымесь букваосын пусйыло.
Точка отмечается одной буквой, которая проставляется около нее.	Чутыс пасйыссьӧ ӧти шыпасӧн, сійӧ пуктыссьӧ чут бердас.	Чутсӧ пасъялӧны ӧтік шыпасӧн, кӧдія сувтӧтсьӧ сы дынӧ.	Точка нош со доре пуктӥськись одӥг букваен гинэ тодмо кариське.
На рисунке 10 отмечены точки А, В и С. Прямая линия обозначается двумя буквами, которые ставятся на некотором расстоянии друг от друга (рис. 11).	10-ӧд серпас вылын пасйӧма чутъяс — A, B да C. Веськыд визь пасйыссьӧ кык шыпасӧн, найӧс пуктӧны мӧда-мӧдсяньыс мыйкӧмында костӧн (11-ӧд серпас).	10 рисунок вылын пасъялӧмась A, B да C чуттэз. Веськыт визьсӧ пасъялӧны кык шыпасӧн, кӧдна сувтӧтсьӧны ӧтамӧдсянь неыджыт коласӧн (11 рис.).	10 суредын А, В но С точкаос тодмо каремын, шонер гож огез бордысь мукетсэ вис кельтыса пуктэм кык букваосын тодмояське (11 сур.).
4. Прямая обладает рядом свойств.	4. Веськыд визьлӧн эм аслас свойствояс.	4. То кытшӧм свойствоэз веськыт визьлӧн.	4. Шонер гожлэн трос аслыкъёсыз вань.
Через одну точку, положим А, можно провести бесконечное множество прямых (рис. 12); все они имеют различное направление.	Ӧти чут пыр, шуам A чут пыр, позьӧ нуӧдны помтӧм лыда веськыд визьяс (12-ӧд серпас); ставныс найӧ мунӧны разнӧй вожъясӧд.	Ӧтік чут пыр, шуам A, туйӧ нуӧтны уна веськыт виззез (12 рис.); быдӧнныслӧн нылӧн эм не ӧткодь иньдӧт.	Одӥг точка пыр, кылсярысь А точка пыр, пуктэм шонер гож ортчытъяны луэ (12 сур.); соос ваньзы ик олокуд палэ но кошко.
Если дана еще одна точка, положим точка В, то из всех прямых, проходящих через точку А, только одна пройдет через точку В, а именно — прямая АВ.	Сетӧма кӧ нӧшта ӧти чут, шуам B чут, сэки став веськыд визьяссьыс, кодъяс мунӧны A чут пыр, сӧмын ӧти веськыд визь мунас B чут пыр — AB визь.	Сетам кӧ эшӧ мӧдік чут, шуам B, то быдӧс веськыт виззез коласісь кӧдна мунӧны A чут пыр токо ӧтік визь мунас B чут пыр, эта — AB веськыт визь.	Со сяна но мызон точка сётэмын на ке, кылсярысь В точка шуом, соку ваньмыз А точка пыр потэм гожъёсмы пӧлысь одӥгез гинэ В точка пыр потоз, со АВ шонер гож луоз.
Если прибить деревянную планку гвоздем А к стене, то планке можно дать любое направление (рис. 13).	Векньыдик пӧвтор кӧ тувъявны стенӧ A тувйӧн, сэки пӧвйыслы позьӧ сетны кӧть кутшӧм направленньӧ (13-ӧд серпас).	Вартны кӧ стена бердӧ ӧтік кӧрттулӧн A планка, то сылӧ позьӧ сетны быд иньдӧт (13 рис.).	Пу планкаез борд бордэ A кортӵоген шуккыса планкамес котькуд палэ берыктэммы луоз (13 сур.).
Однако стоит только закрепить планку на стене еще в одном месте гвоздем В, как уже нельзя будет изменить положение планки.	Но тувъялан кӧ пӧвторсӧ стенас нӧшта ӧти местаті B тувйӧн, сэки оз нин позь пӧвторйыслысь вежны направленньӧсӧ.	Вартны кӧ эшӧ сійӧ мӧдік B кӧрттулӧн — сэк огӧ ни вермӧ вежны планкалісь иньдӧтсӧ.	Планкаез со сяна мукет интыетӥ борд бордэ нош ик мукет В кортӵоген шукким на ке, планкаез солань-талань берыкъяммы уз лу ни.
Два гвоздя А и В, которыми на стене прибита планка, определяют ее положение.	Кык тув — A да B, кодъясӧн тувъялӧма пӧвторсӧ стенас, урчитӧны (определяйтӧны) сылысь положенньӧсӧ.	A да B кык кӧрттув сьӧрті позьӧ тӧдны планкалісь иньдӧт.	А но В шуккем кортӵогъёсын планкалэсь положенизэ возьмато.
Итак, опыт показывает, что через две точки А и В можно провести только одну прямую.	Сідзкӧ опыт петкӧдлӧ, мый кык чут пыр — A да B пыр — позьӧ нуӧдны сӧмын ӧти веськыд визь.	Сідзкӧ, позьӧ висьтавны: кык A да B чут пыр позьӧ нуӧтны токо ӧтік веськыт визь.	Озьы ик эскерон (опыт) возьматэ, кык А но В точкаос пыр одӥг шонер гож гинэ ортчытыны луэ.
Это — основное свойство прямой; из него вытекают другие:	Тайӧ веськыд визьлӧн основнӧй свойство; тасянь петӧны мукӧдъясыс:	Эта лоӧ веськыт визьлӧн основнӧй свойство: сысянь лоӧны и мӧдіккез:	Со вераммы — шонер гожлэн бадӟым аслыкез луэ; со бордысен мукетъёсыз но пото:
1) Если две прямые проходят через одни и те же две точки, то они совпадают всеми своими точками.	1) Кык веськыд визь кӧ мунӧны кык ӧти чутъяс пыр (шуам, кыкнаныс A да B пыр), сэки найӧ вевсясьӧны асланыс став чутъяснаныс.	1) Кӧр кык веськыт визь мунӧны кык чут пыр, то нія топ ӧтлаасьӧны ӧтамӧдкӧт быдлаын и лоӧ ӧтік визь.	1) Кык шонер гожъёс кык огъя точкаос пыр пото ке, соку соос вань асьсэ точкаосынызы лач усё.
2) Если две прямые имеют только одну общую точку, то они пересекаются.	2) Кык веськыд визьлӧн кӧ эм сӧмын ӧти ӧтувъя чут, сэки найӧ вомӧнасьӧны.	2) Кӧр кык веськыт визьлӧн токо ӧтік ӧтласа чут, то нія крестасьӧны.	2) Кык шонер гожъёслэн огъя точказы одӥг гинэ ке, соку соос вожвылало.
Действительно, если бы две прямые пересекались не в одной точке, а в двух точках, то это означало бы, что через две точки проходят две различные прямые, что невозможно, так как из опыта, проверенного в течение многих веков человечеством, мы знаем, что через две точки нельзя провести две различные прямые и можно провести только одну прямую.	Збыльысь ӧд, кык веськыд визь кӧ эськӧ вомӧнасисны не ӧти чутын, а кык чутын, сійӧ эськӧ петкӧдліс, мый кык чут пыр мунӧны кык разнӧй веськыд визьяс, а тайӧ оз вермы лоны; уна морт нэм чӧжся опытысь ми тӧдам, мый кык чут пыр оз позь нуӧдны кык разнӧй веськыд визь, а позьӧ нуӧдны сӧмын ӧти веськыд визь.	Сідз и овлӧ, кӧр кык веськыт визь крестасьӧны не ӧтік чутын, а кыкын, то сэк позис бы кык чут пыр нуӧтны не ӧтік веськыт визь, а уна. Опыттэзісь ми адззылім: сідз керны оз туй, кык чут пыр туйӧ нуӧтны токо ӧтік веськыт визь.	Зэмзэ ик кык шонер гожъёс одӥг точкаын вожвылскытэк кык точкаын ке вожвылскысалзы, соку со кык точкаос пыр кык шонер гожъёслэсь ортчытыны луэмез возьматысал, нош со озьы луыны быгатонтэм. Ужъёсысь трос аръёс ӵоже эскерыса асьмеос кык точка пыр кык пӧртэм шонер гож ортчытыны луоно ӧвӧл, нош одӥг шонер гож гинэ ортчытыны луэмез тодӥськом.
Точка, в которой пересекаются две прямые, называется их точкой пересечения.	Чутыс, кӧні вомӧнасьӧны кык веськыд визь, шусьӧ найӧ вомӧнасян чутӧн.	Чутыс, кӧдіяын крестасьӧны кык веськыт визь, шусьӧ крестасян чутӧн.	Кык шонер гожъёслэн вожвылскон точказы вожвылскон точка шуыса нимаське.
3) Прямую можно неограниченно продолжить в обе стороны.	3) Веськыд визьӧс позьӧ помтӧг нюжӧдны кыкнанладорас.	3) Ӧтмӧдӧрӧ мымда колӧ веськыт визьсӧ туйӧ нюжӧтны.	3) Шонер гожез кык палаз ик пумтэм ортчытыны луэ.
5. Если на прямой линии взять где-либо точку, то она разделит прямую на две части; каждая из этих частей называется лучом.	5. Веськыд визь вылын кӧ босьтны кӧнкӧ-нибудь чут, сійӧ торйӧдас веськыд визьсӧ кык пельӧ, кык юкӧнӧ, быд торъя юкӧн шусьӧ лучӧн.	5. Кӧр веськыт визь вылын босьтам кытшӧмкӧ чут, то сія янсӧтас веськыт визьсӧ кык торлӧ; быд торыс шусьӧ югӧрӧн.	5. Шонер гож вылэ точка басьтӥськом ке, со точка шонер гожез кык люкетлы люке; та люкетъёс пӧлысь котькудӥз луч шуыса нимаське.
Луч есть прямая, ограниченная с одной стороны.	Луч лоӧ ӧтар дорсяньыс ограничитӧм веськыд визь.	Югӧр эм веськыт визь, кӧдія ӧтладорсяняс граничитӧм.	Луч ог палэтӥз пумъям шонер гож луэ.
Луч обозначается двумя буквами, и при записи на первом месте ставится буква, стоящая у точки, из которой луч выходит.	Луч пасйыссьӧ кык шыпасӧн, гижигӧн воддза местаас пуктӧны шыпассӧ чут бердас, кытысь лучыс петӧ.	Югӧрсӧ пасъялӧны кык шыпасӧн и гижикас сувтӧтӧны перво сійӧ шыпассӧ, кӧдаись пета югӧрыс.	Луч кык букваен пусйиське, пусйыку нырысетӥ интые лучлэн потон точкаез дорын сылӥсь буква пусйиське.
На рисунке 14 лучи АВ, АС, АЕ и АF выходят из точки А.	14-ӧд серпас вылын AB, AC, AE да AF лучьясыс петӧны A чутысь.	14 рисунокын югӧррез AB, AC, AE, AF петӧны A чутісь.	14 суред вылын AB, AC, АЕ но AF лучъёс А точкаысь пото.
6. Если прямая ограничена с двух сторон, то она называется отрезком.	6. Веськыд визьсӧ кӧ ограничитӧма кыкнанладорсяньыс, сэки сійӧ шусьӧ вундӧгӧн (отрезок).	6. Кӧр веськыт визь граничитӧм кык боксянь, то сія шусьӧ орӧтокӧн.	8. Кык палэтӥз ик пумъям шонер юж вандэт шуыса нимаське.
АВ — отрезок прямой MN (рис. 15).	AB лоӧ MN веськыд визьлӧн вундӧг (15-ӧд серпас).	AB — MN веськыт визьлӧн орӧток (15 рис.).	AB — MN шонер гожлэн вандэтэз луэ (15 сур.).
Отрезок есть часть прямой, ограниченная с двух сторон.	Вундӧг эм кыкнанладорсяньыс ограничитӧм веськыд визьлӧн юкӧн.	Орӧток эм токо веськыт визьлӧн тор, кӧдія кыкнан ладорсяняс граничитӧм.	Вандэт — кык палэтӥз ик пумъям шонер гожлэн люкетэз луэ.
Отрезок прямой обозначается двумя большими буквами, которые ставятся у его концов, например отрезок АВ.	Веськыд визьлӧн вундӧг пасйыссьӧ кык ыджыд шыпасӧн, шыпасъясыс пуктыссьӧны вундӧг помъясас, шуам, AB вундӧг.	Веськыт визьлісь орӧток пасъялӧны кык ыджыт шыпасӧн, кӧднӧ сувтӧтӧны ӧтмӧдӧр помас, шуам орӧток AB.	Шонерлэн вандэтэз кык бадӟымесь букваосын пусйиське, нош соос вандэтлэн пумъёсаз пуктӥсько, кылсярысь АВ вандэт.
Часто отрезок прямой обозначается одной малой буквой (рис. 16), которая вместе с тем обозначает его длину, измеренную в определенных единицах мер длины; малая буква обычно ставится над отрезком или под ним, примерно, на середине.	Веськыд визь вундӧг тшӧкыда пасйыссьывлӧ и ӧти ичӧт шыпасӧн (16-ӧд серпасын), сійӧ жӧ ӧттшӧтш петкӧдлӧ вундӧгыслысь кузьтасӧ, кодӧс мурталӧма кузьта мурталан единицаясӧн; ичӧт шыпас унджыкысьсӧ пуктыссьӧ вундӧг вевдорас либӧ увдорас, шӧрас кымын.	Мукӧд кадас пасъялӧны орӧток и ӧтік учӧт шыпасӧн, кӧдія пасъялӧ сылісь и кузясӧ, сэк сія сувтӧтчӧ шӧрас улӧ либо вылӧ.	Шонер вандэт ӵем дыръя одӥг пичи букваен гинэ пусйиське (16 сур.), со буква ик гожлэсь кыӵе ке одӥг мертэт одӥгоен (единицаен) мертам кузьдалазэ но возьматэ; пичи буква вандэтлэн вылӥяз яке солэн улаз шор вадьсазгес пуктӥське.
7. Линия, составленная из отрезков прямой, которые не составляют одной прямой, называется ломаной.	7. Сэтшӧм визь, коді артмӧ веськыд визь вундӧгъясысь, но кодъяс оз вӧчны ӧти веськыд визь, шусьӧ чегласьӧм визьӧн.	7. Визь, кӧдія ӧтлаӧтӧма веськыт визь торрезісь, но ачыс абу веськыт визь, шусьӧ чегласьӧм визьӧн.	7. Шонер вандэтъёсыз итылэм гож, одӥг шонер гож уг ке кылдыты, тӥяськем гож шуыса нимаське.
Квадрат и прямоугольник являются примерами замкнутой ломаной линии.	Квадратӧс да веськыдпельӧсаӧс ограничитӧма тупкӧса чегласьӧм визьӧн.	Квадрат да веськытпельӧса лоӧны ӧтлаасьӧм чегласьӧм виззезісь.	Квадрат но прямоугольник пумтэм (замкнутой) тӥяськем гожез возьматӥсь луо.
На рисунке 17 АВ — отрезок прямой MN; ACDEFB — ломаная; отдельные отрезки ломаной: AC, CD, DE и т. д., из которых она составлена, называются ее частями, или звеньями.	17-ӧд серпас вылын AB лоӧ MN веськыд визьлӧн вундӧг; ACDEFB — чегласьӧм визь; торъя вундӧгъясыс — чегласьӧм визьыслӧн: AC, CD, DE да с. в., кодъясысь артмӧма сійӧ, лоӧны сылӧн юкӧнъяс либӧ звенояс.	17 рисунокын мыччалӧм AB — орӧток MN веськыт визьлӧн; АCDEFB — чегласьӧм визь; чегласьӧм визьлӧн торья орӧтоккез: AC, CD, DE и с. одз., кӧдаись керӧм чегласьӧм визь, шусьӧны сы торрезӧн, нето звеноэзӧн.	17 суредын АВ — MN шонер гожлэн вандэтэз луэ; ACDEFB — тӥяськем гож; тӥяськем гожлэн нимаз люкетъёсыз: AC, CD, DE но мукет, малэсь ке соос быдэстэмын, соослэн люкетсы яке звенозы шуыса нимасько.
Так, ломаная ACDEFB состоит из пяти частей, или звеньев.	Сідзкӧ ACDEFB чегласьӧм визь артмӧма вит юкӧнысь, либӧ звеноысь.	Шуам АCDEFB чегласьӧм визь ӧтлаӧтӧма вит торись нето звеноись.	Озьы ACDEFB тӥяськем гож вить люкетлэсь, яке звенолэсь пӧрме.
8. Отрезок прямой есть кратчайшее расстояние между двумя точками прямой.	8. Веськыд визьлӧн вундӧг лоӧ медся дженьыд ылна веськыд визьса кык чут костын.	8. Веськыт визь эм меддженыт визь кык чут коласын.	8. Шонер гожлэн вандэтэз — кык точкаос вискысь самой вакчи кусыпез луэ.
Чтобы определить расстояние между какими-либо двумя точками, надо провести через них прямую и измерить отрезок, концами которого являются данные точки.	Медым тӧдмавны ылнасӧ кутшӧмкӧ кык чут костын, колӧ нуӧдны найӧ пыр веськыд визь да муртавны вундӧгсӧ, помъяснас кодлы лоӧны босьтӧм чутъясыс.	Кӧр колӧ тӧдны ылын я ӧтамӧд дынсянь кык чут, сэк ны пыр нуӧтӧны веськыт визь и меряйтӧны сылісь кузясӧ.	Кык кыӵе ке точка кусыпъёсыз тодыны понна, точкаос пыр шонер гож ортчытоно но, со кусыпез мертано.
9. Проверка линейки.	9. Линейка прӧверитӧм.	9. Линейка проверитӧм.	9. Линейкаез эскерон.
Проверить линейку — значит выяснить, является ли ее ребро прямой линией.	Прӧверитны линейка — сійӧ лоӧ тӧдмавны, лоӧ-ӧ сылӧн дорышыс веськыд визьӧн.	Линейка проверитӧм — тӧдны, лоӧ я веськыт визь кодь сылӧн дорыс.	Линейкаез эскерон — урдэз шонер-а шуыса тодон луэ.
Проверяют линейку так: проводят через две точки А и В по ребру линейки линию, а затем, не сдвигая линейки, поворачивают ее вокруг ребра АВ на другую сторону и снова проводят через те же точки А и В линию.	Линейка прӧверайтӧны тадзи: кык чут костын, A да B костын, линейка дорышӧд нуӧдӧны визь, а сэсся, линейкасӧ вешйӧдтӧг, бергӧдӧны сійӧс AB дорыш гӧгӧрыс мӧдарладорас да бара жӧ нуӧдӧны сійӧ A да B чутъясыс пыр визь.	Проверитӧны линейкасӧ сідз: дорыш пыр кык чут A да B коласӧт нуӧтӧны веськыт визь, а сыбӧрын линейкасӧ бергӧтӧны AB дорыш гӧгӧр и вились нуӧтӧны A да B чут коласӧт визь.	Линейкаез тазьы эскеро: А но В точкаос пыртӥ линейка урдэс кузя шонер гож гожто, собере линейкалэсь урдзэ бумага вылысь басьтытэк сое АВ урд котыртӥз мукет пала берыкто но вильысь со А но В точкаос пыр ог гож ортчыто.
Если при этом обе линии совпадают, то линейка правильна.	Кыкнан визьыс кӧ вевсясясны, линейкаыс правильнӧй.	Кыкнан визьыс кӧ ӧтлаасясӧ, то линейкаыс веськыт, а оз кӧ ӧтлаасьӧ, линейкаыс чукыля.	Озьы лэсьтыку гожъёсмы кыкез ик одӥг шонер гожен лач ке усизы, линейка шонер луоз.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Как отбить прямую линию на стене?	1. Кыдзи кучкыны стенӧ веськыд визь?	1. Кыдз стена вылӧт пасъявны веськыт визь.	1. Шонер гожез борд вылэ кызьы шукконо?
2. Почему две прямые не могут пересечься в двух точках?	2. Мыйла кык веськыд визь оз вермыны вомӧнасьны кык чутын?	2. Мыля кык веськыт визь оз вермӧ крестасьны кык чутын?	2. Малы кык точкаын кык шонер гожъёслэн вожвылскемзы уг луы?
3. Какое различие между прямой и отрезком, между отрезком и лучом, между прямой и лучом?	3. Кутшӧм торъялӧм веськыд визь да вундӧг, вундӧг да луч, веськыд визь да луч костын?	3. Мыйӧн неӧткодьӧсь веськыт визь да орӧток, орӧток и югӧр, веськыт визь да югӧр?	3. Шонер гожлэн но вандэтлэн, вандэтлэн но лучлэн, шонер гожъёслэн но лучлэн кыӵе пӧртэмъёссы?
4. Что называется ломаной?	4. Мый шусьӧ чегласьӧм визьӧн?	4. Кытшӧм визь шусьӧ чегласьӧм визьӧн?	4. Мае тӥям гож шуо?
Чем являются ее части?	Мыйӧн лоӧны сылӧн юкӧнъясыс?	Кыдз шусьӧны чукыля визьлӧн торрез.	Солэн люкетъёсыз мар луыса кошко?
5. Как провести три взаимно пересекающиеся прямые, чтобы получить: 1) шесть лучей и 2) замкнутую ломаную линию?	5. Кыдзи нуӧдны мӧда-мӧдныскӧд вомӧнасьысь куим веськыд визь, медым лоӧ: 1) квайт луч да 2) тупкӧса чегласьӧм визь?	5. Кыдз нуӧтны ӧтамӧдкӧт крестасьӧм куим веськыт визь, медбы лоис: 1) квать югӧр да 2) ӧтлаӧтӧм чегласьӧм визь?	5. 1) Куать луч ло 2) пумтэм тӥяськем гож шедьтон понна огез огзэ вожвылтӥсь шонер гожъёс кызьы ортчыто?
§ 2. Измерение отрезков.	2 §. Вундӧгъяс мурталӧм.	§ 2. Орӧток меряйтӧм.	§ 2. Вандэтъёсыз мертан.
Масштабная линейка.	Масштабнӧй линейка.	Масштаба линейка.	Масштабо линейка.
1. Измерить отрезок — значит узнать, сколько раз взятая единица меры длины укладывается в данном отрезке.	1. Муртавны вундӧг — сійӧ лоӧ тӧдмавны, кымын пӧв муртӧс единица кузяыс тӧрӧ босьтӧм вундӧгас.	1. Меряйтны орӧток — колӧ тӧдны, кынымись босьтӧм кузя мераыс эта орӧтокын.	1. Вандэтэз мертан — сётэм вандэтэ кузьдалаез мертан басьтэм единицалэсь кӧня пол тэремзэ тодон луэ.
При измерении небольших отрезков пользуются масштабной линейкой; масштабная линейка разделена на сантиметры и миллиметры.	Негырысь вундӧгъяс мурталігӧн пӧльзуйтчӧны масштабнӧй линейкаӧн, масштабнӧй линейкасӧ юклӧма сантиметръяс да миллиметръяс вылӧ.	Неыджыт орӧток меряйтӧны масштаба линейкаӧн; масштаба линейкаыс юкӧм сантиметррезӧ да миллиметррезӧ.	Пичигес вандэтъёсыз мертан дыръя масштабо линейкаен ужало; масштабо линейка сантиметръёслы но миллиметръёслы люкемын.
Длину отрезка можно измерить двумя способами: 1) одной только масштабной линейкой или 2) используя сперва циркуль, а затем масштабную линейку.	Вундӧглысь кузьтасӧ позьӧ муртавны кык ногӧн: 1) сӧмын ӧти масштабнӧй линейкаӧн, либӧ 2) войдӧр используйтны циркуль, сы бӧрти сэсся масштабнӧй линейка.	Орӧтоклісь кузясӧ туйӧ меряйтны кыкнёж: 1) ӧтнёж кӧ, позьӧ меряйтны токо масштаба линейкаӧн, 2) мӧднёж кӧ — перво циркульӧн, а сыбӧрын масштаба линейкаӧн.	Вандэтлэсь кузьдалазэ, кык амалэн мертаны луоз: 1) одӥг масштабо линейкаен гинэ, яке 2) азьло циркулен ужаса, собере масштабо линейкаен.
2. Первый способ.	2. Первой ногыс.	2. Ӧтік способ.	2. Нырысетӥ амал.
Чтобы измерить отрезок АВ (рис. 18), прикладывают к нему масштабную линейку так, чтобы левый его конец приходился против нулевого деления, и отмечают, против какого деления линейки находится второй, правый конец отрезка; тогда проставленная на линейке метка указывает, скольким сантиметрам и миллиметрам равна длина измеряемого отрезка АВ;	Медым муртавны AB вундӧг (18-ӧд серпас), сы бердӧ пуктӧны масштабнӧй линейка сідзи, медым сылӧн шуйга помыс вӧлі нуля юкӧн весьтас, сэсся пасйӧны, кутшӧм линейкавывса деленньӧ весьтын лоӧ мӧдыс, вундӧгыслӧн веськыд помыс, сэки линейка вылас вӧчӧм пасторйыс петкӧдлас, кымын сантиметр да миллиметр лоӧ мурталан AB вундӧглӧн кузьтаыс;	Медбы меряйтны орӧток AB (18 рис.) масштаба линейкаӧн керӧны сідз: босьтӧны орӧток и ӧт дорнас пуктӧны нулевӧй деленнё весьтӧ и видзӧтӧны кытшӧм деленнё весьтын сылӧн мӧд дорыс и сувтӧтӧны пас; линейка вылын пасыс мыччалӧ кыным сантиметр и кыным миллиметр кузя меряйтӧм AB орӧток.	АВ вандэтэз (18 сур.) мертан понна со вылэ масштабо линейкаез понӥськом, соку солэн паллян пал пумез нуль люкет вадесэ мед тупалоз, собере вандэтлэсь бур пал пумезлэсь кыӵе линейка люкет вадесэ тупамзэ тодмо каро; соку линейкае пусъем тодмосъёс мертано АВ вандэтлэсь кӧня сантиметрлы но миллиметрлы ӵошамзэ возьмато,
на рисунке 18 изображен отрезок АВ длиною в 6 см 3 мм, или 63 мм.	18-ӧд серпас вылын петкӧдлӧма AB вундӧг 6 см да 3 мм, либӧ 63 мм кузьта.	18 рисунок вылын мыччалӧм AB орӧток, кӧдіялӧн кузяыс 6 см, 3 мм, нето 63 мм.	18 суред вылын кузьдалаез 6 см но 3 мм, яке 63 мм АВ вандэт возьматэмын.
3. Второй способ.	3. Мӧд ногыс.	3. Мӧдік способ.	3. Кыкетӥ амал.
Чтобы измерить отрезок АВ при помощи циркуля, поступают так: ставят острия ножек циркуля в точки А и В отрезка (рис. 19), и, не сдвигая ножек циркуля, переносят его на масштабную линейку; отсчет на линейке даст длину отрезка АВ.	Медым муртавны AB вундӧг циркульӧн, вӧчӧны тадзи: циркуль кокъяслысь ёсь йывъяссӧ пуктӧны вундӧг A да B чутъясӧ (19-ӧд серпас), сэсся циркуль кокъяссӧ вӧрзьӧдтӧг (топӧдтӧг, паськӧдтӧг) пуктӧны сійӧс масштабнӧй линейка вылӧ; линейкавывса лыдыс петкӧдлас AB вундӧгыслысь кузьтасӧ.	Медбы AB орӧток меряйтны циркульӧн, керӧны сідз: босьтӧны циркуль да поммесӧ сувтӧтӧны A да B чуттэз вылӧ (19 рис.). Сыбӧрын абу вӧрзьӧтӧм циркуль коккесӧ сувтӧтӧны масштаба линейка вылӧ; кытшӧм деленнёӧ сувтас циркульыс, сы кузя и эм AB орӧток (19 рис.).	АВ вандэтэз циркулен мертан понна тазьы ужало; циркульлэсь йылъёссэ вандэтлэн А но В точкаосаз пукто (19 сур.) но, отысь выртытэк басьтыса циркулез масштабо линейка вылэ пукто. Линейка вылын лыдъям — АВ вандэтлэсь кузьдалазэ сётоз.
При измерении длины мы непосредственно сравниваем измеряемый отрезок с единицей меры длины; такое измерение называется непосредственным измерением.	Кузьта мурталігӧн ми непосредственнӧя ӧтластитам мурталан вундӧгсӧ кузьта мурталан единицакӧд; татшӧм мурталӧмыс шусьӧ непосредственнӧй мурталӧмӧн.	abu	Кузьдалаез мертан дыръя асьмеос мертам вандэтэз кузьдалаез мертан единицаен ӵошатӥськом: сыӵе мертан — вылаз ӵошатыса мертан шуыса нимаське.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс:	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Что значит измерить длину отрезка?	1. Кыдзи позьӧ муртавны вундӧглысь кузьта?	1. Мый лоӧ орӧтоклісь кузя меряйтны?	1. Мар со вандэтлэсь кузьдалазэ мертан?
2. Как устроена масштабная линейка?	2. Кыдзи вӧчӧма масштабнӧй линейка?	2. Кыдз керӧм масштаба линейка?	2. Кызьы масштабо линейка лэсьтэмын?
Какие доли единицы длины нанесены на нее?	Кутшӧм доляяс кузьта единицалысь пасйӧма сы вылын?	Кытшӧм юкӧммез сы вылын эмӧсь?	Со вылэ кузьдала мертан единицалэн кыӵе доляосыз тодмо каремын?
Как проверить, правильна ли масштабная линейка?	Кыдзи прӧверитны, правильнӧ-ӧ масштабнӧй линейкаыс?	Кыдз проверитны, правильнӧй я масштаба линейка?	Масштабо линейка шонер-а шуыса кызьы эскероно?
3. Измерить при помощи циркуля и масштабной линейки длину, ширину и высоту спичечной коробки, размер заглавных букв наименования книги, расстояние между строчками в тетради.	3. Муртавны циркульӧн да масштабнӧй линейкаӧн кузьтасӧ, пасьтасӧ да судтасӧ истӧг кӧрӧблысь, ыдждасӧ — книга нимысь ыджыд шыпасъяслысь, пасьтасӧ — тетрадь визьяс костысь.	3. Меряйтӧ масштаба линейкаӧн да циркульӧн истӧг коробкалісь кузя, пасьта да сувда, меряйтӧ ыджытӧсь я ыджыт шыпассэз книгаын да тетрадяныт строка колассэз.	3. Циркулен но масштабо линейкаен ужаса спичка коробкалэсь кузьдалазэ, пасьталазэ но ӝуждалазэ, книга нимъёслэн бадӟым букваоссылэсь быдӟалазэс, тетрадьысьтыды чуръёсызлэсь кусыпсэс мерталэ.
4. Измерить масштабной линейкой длину целого карандаша, длину и ширину тетради.	4. Муртавны масштабнӧй линейкаӧн дзонь карандашлысь кузьтасӧ, кузьтасӧ да пасьтасӧ тетрадьлысь.	4. Меряйтӧ масштаба линейкаӧн быдса карандашлісь кузя да тетрадьлісь кузя и пасьта.	4. Масштабо линейкаен быдэс карандашлэсь кузьдалазэ, тетрадьлэсь пасьталазэ но кузьдалазэ мертано.
5. Изготовить самому масштабную линейку в 10 см, нанеся на нее сантиметры и разделив длину 1 см на миллиметры.	5. Вӧчны аслыд 20 см кузьта масштабнӧй линейка, пасйыны сы вылын сантиметръяс, 1 см-лысь кузьтасӧ юкны миллиметръяс вылӧ.	5. Керӧ асьныт 10 см кузя масштаба линейка да пасйӧ ӧтік сантиметра кузя юкӧммез. Янсӧтӧ ӧтік сантиметрсӧ миллиметррезлӧ.	5. 10 сантиметр кузя масштабо линейка асьтэос лэсьтэ но сантиметрлы люкылэ, 1 сантиметрзэ миллиметрлы люкылэ.
6. Провести в тетради прямую, отложить на ней на-глаз отрезок АВ длиною в 4 см, а затем при помощи циркуля выяснить, на сколько отрезок АВ меньше или больше 4 см.	6. Нуӧдны тетрадьын веськыд визь, торйӧдны сы вылын син серті, ылӧсас, 4 см кузьта AB вундӧг, сэсся циркульӧн тӧдмавны, унаӧн-ӧ AB вундӧгыс дженьыдджык либӧ кузьджык 4 см-сьыс.	6. Асланыт тетрадьын нуӧтӧ веськыт визь да нёль сантиметра кузя AB орӧток, а сыбӧрын циркульӧн меряйтӧ унаӧн я сія кузьжык либо дженытжык нёль сантиметрся.	6. Тетрадь вылады шонер гож ортчытыса со вылэ синмыныды гинэ учкыса 4 см кузьдала АВ вандэт пусъе, собере АВ юдэс 4 см-лэсь кӧнялы пичи-а бадӟым-а, сое циркулен тодэ.
§ 3. Сравнение отрезков.	3§. Вундӧгъясӧс ӧтластитӧм.	§ 3. Орӧтоккез ордчӧн сувтӧтӧм.	§ 3. Вандэтъёсыз ӵошатон.
1. Сравнить два отрезка — значит узнать, равны ли они, или узнать, который из них больше.	1. Ӧтластитны кык вундӧг — сійӧ лоӧ тӧдмавны, ӧтыдждаӧсь-ӧ найӧ, либӧ тӧдмавны, кодыс на пиысь ыджыдджык.	1. Тшӧтш вайӧтны кык орӧток — лоӧ тӧдны, ӧткузяӧсь я нія либо кӧда ныись кузьжык.	1. Кык вандэтъёсыз ӵошатон — соослэсь огкадьзэс яке соос пӧлысь куд бадӟымзэ тодон.
Два отрезка равны, если при наложении одного из них на другой концы их совпадают.	Кык вундӧг лоӧны ӧтыдждаӧсь, ӧтисӧ мӧд вылас пуктігӧн кӧ помъясыс налӧн ӧтлаасясны.	Пуктам кӧ орӧтоккесӧ ӧтамӧд вылӧ и кӧр поммес нылӧн ӧтлаасясӧ, то нія лоасӧ ӧткузяӧсь.	Кык вандэтъёсыз огзэс вылэ поныса, соослэн пумъёссы лач-лач ке, соку кык вандэтъёс ог кадесь.
При сравнении отрезков между собою приходится переносить их с одной прямой на другую.	Вундӧгъясӧс мӧда-мӧдыскӧд ӧтластитігӧн лоӧ вуджӧдны найӧс ӧти веськыд визь вылысь мӧд веськыд визь вылӧ.	Орӧтоккез тшӧтшӧт кадӧ пуктӧны нійӧ ӧтік веськыт визьсянь мӧд веськыт визь вылӧ.	Вандэтъёсыз ӵошатыку ас куспазы одӥг шонер гож вылысь мукетэз вылэ выжтоно луэ.
Это делается при помощи циркуля.	Тайӧ вӧчсьӧ циркуль отсӧгӧн.	Этӧ керӧны циркульӧн.	Та уж циркулен быдэстӥське.
2. Дан отрезок АВ; требуется перенести его, или, как говорят, отложить на прямой MN (рис. 19).	2. Сетӧма вундӧг AB; колӧ вуджӧдны сійӧс, либӧ, кыдз шуӧны, пуктыны MN веськыд визь вылӧ (19-ӧд серпас).	2. Миян эм орӧток AB; колӧ сійӧ вуджӧтны веськыт визь MN вылӧ (19 рис.).	2. АВ вандэт сётэмын; сое MN шонер гож вылэ пусйыны кулэ (19 сур.).
Для этого берут в циркуль отрезок АВ и, не меняя расстояния между ножками циркуля, откладывают на прямой MN от некоторой точки A₁ отрезок А₁В₁, равный данному отрезку АВ.	Сы могысь босьтӧны циркульӧ вундӧг AB да циркуль кок костсӧ вежлытӧг пуктӧны MN веськыд визь вылӧ кутшӧмкӧ чутсянь A₁B₁ вундӧг, коді равнӧй AB вундӧгкӧд.	Этӧ керӧны то кыдз: циркульӧн меряйтӧны веськыт визь MN вылын орӧток AB и сы кузя жӧ тэчалӧны А₁ чутсянь A₁B₁ орӧток.	Со понна АВ вандэтэз циркулен басьто но циркульлэсь кусыпсэ воштытэк MN шонер гожлэн A₁ точкаысеныз АВ вандэтлы ӵошась A₁B₁ вандэт пусъё.
Записывается это так: А₁В₁ = АВ.	Гижсьӧ тайӧ тадзи: A₁B₁ = AB.	Гижӧны этӧ сідз: A₁B₁ = AB.	Со тазьы гожтӥське: А₁В₁ = АВ.
3. Даны два отрезка АВ и CD; требуется сравнить их между собою (рис. 20).	3. Сетӧма кык вундӧг AB да CD; колӧ ӧтластитны найӧс мӧда-мӧдыскӧд (20-ӧд серпас).	3. Сетӧм кык орӧток AB да CD; колӧ тӧдны, ӧтыждаӧсь я нія? (20 рис.).	3. AB но CD кык вандэтъёс сётэмын; соосыз ваче куспазы ӵошатыны кулэ (20 сур.).
Для этого наложим отрезок АВ на отрезок CD так, чтобы точка А упала в точку С и прямая АВ пошла по прямой CD.	Та могысь вундӧг AB пуктам CD вундӧг вылӧ сідзи, медым A чутыс веськалі C чутӧ да веськыд визь AB медым муніс CD веськыд визьӧд.	Этӧ керӧны сідз: AB орӧток пуктӧны CD орӧток вылӧ сідз, медбы A чут ӧтлаасис C чуткӧт, а веськыт визь AB муніс бы CD веськыт визь кузя.	Ӵошатон понна АВ вандэтэз CD вандэт вылэ, А точка С вылэ усьыса, собере АВ шонер гож CD шонер гож вылтӥ мынон вылысь поном.
Если точка В совпадет с точкой D, то отрезок АВ равен отрезку CD.	B чутыс кӧ ӧтлаасяс D чуткӧд, AB вундӧгыс ӧтыджда CD вундӧгкӧд.	Кӧр B чут ӧтлаасяс D чуткӧт лоӧ мый AB орӧток ӧтыжда CD-кӧт.	В точка D точкаен лачаз ке, соку АВ гож CD гожлы ӵошалоз.
Запись: АВ =CD.	Гижсьӧ тадзи: AB = CD.	Гижӧны этӧ сідз: AB = CD.	Гожтонэз АВ = CD.
Если же при наложении АВ на CD точка В упадет в некоторую точку Е, лежащую между точками С и D (рис. 21), то АВ меньше CD.	AB вундӧгсӧ CD вылас пуктігӧн кӧ B чутыс веськалӧ кутшӧмкӧ E чутӧ, коді лоӧ C да D чутъяс костас (21-ӧд серпас), сэки AB-ыс ичӧтджык CD-сьыс.	Ӧтамӧд вылӧ пуктікӧ AB CD вылӧ чут B инмас кытшӧмкӧ Е чут вылӧ, кӧда куйлӧ C да D коласын (21 рис.), то сэк AB учӧтжык CD-ся.	АВ-эз CD вылэ поныкумы В точка С но D куспын кыллись Е точка вылэ ке усиз (21 сур.), соку AB CD-лэсь пичигес луоз.
Это записывается при помощи знака неравенства так: AB < CD; знак неравенства обращен своим острием к меньшей величине.	Тайӧ гижсьӧ неравенство пасӧн тадзи: AB < CD; неравенство пасыс ёсьладорнас бергӧдчӧ ичӧтджык вундӧгланьыс.	Этӧ гижӧны неравенство пасӧн то кыдз: AB < CD; неравенство пасыс ёся пельӧснас куйлӧ учӧтжык орӧтоклань.	Со ӵошамтэез возьматӥсь пусэн тазьы гожтӥське: AB < CD; ӵошамтэ пус аслаз йылсо палэныз пичи лыд палэ берыктэтын.
Наконец, возможен случай, когда при наложении АВ на CD точка В упадет в точку Е, которая лежит на продолжении CD за точкой D (рис. 22); тогда отрезок АВ больше CD, что записывается так: AB>CD.	Медбӧрын AB-сӧ CD вылас пуктігӧн B чутыс вермас веськавны, шуам, E чутӧ, коді лоӧ CD визьӧд D чут сайын (22-ӧд серпас); сэки AB вундӧгыс ыджыдджык CD-сьыс, гижсьӧ тайӧ тадзи: AB > CD.	Вермас лоны и сідз, кӧр B чут усяс E чут вылӧ, кӧда куйлӧ ылынжык D-ся (22 рис.), сэк AB лоӧ ыджытжык CD-ся и этӧ гижӧны сідз: AB > CD.	Со сяна, АВ гожез CD гож вылэ поныку, В точка CD сюрес вылын D точка сьӧрын сылӥсь Е точка вылэ усён учыр но луоз. Соку АВ вандэт CD вандэтлэсь бадӟым. Сое тазьы гожто: АВ > CD.
Вопросы а упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс:	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Что означает запись: 1) а > с, 2) b < d, 3) m = n, где а, b, с, d, m и n — отрезки?	1. Мый петкӧдлӧ татшӧм гижӧд: 1) a > c, 2) b < d, 5) m = n, кӧні a, b, c, d, m да n — вундӧгъяс?	1. Мый лоӧ то эта гижӧмыс: 1) а > c, 2) b < d, 3) m = n, кытӧн а, b, c, d, m, n — орӧтоккез.	1. Мар возьматэ таӵе гожъям: 1) a > с, 2) b < d, 3) m = n? Татын a, b, с, d, m но n — вандэтъёс.
2. Начертить в разных направлениях на-глаз два равных отрезка к проверить, действительно ли они равны.	2. Нуӧдны разнӧй бокланьӧ син серти кык ӧтыджда вундӧг да прӧверитны, збыль-ӧ найӧ ӧтыдждаӧсь.	2. Чертитӧ кык ӧтыжда орӧток, а сыбӧрын меряйтӧ, ӧткузяӧсь я нія.	2. Синмыныды учкыса гинэ пӧртэм палъёсы кошкись кык ог кадесь вандэтъёс гожтыса, зэм ик-а соос кыкез но ог кадесь шуыса, эскероно.
3. Начертить отрезки длиною в 3,5 см; 6,6 см; 53 мм; 1 дм; 2 см 7 мм.	3. Нуӧдны вундӧгъяс татшӧм кузьтаӧн: 3,5 см, 6,6 см, 53 мм, 1 дм, 2 см, 7 мм.	3. Чертитӧ орӧтоккез кузянас: 3,5 см; 6,5 см; 53 мм; 1 дм; 2 см 7 мм.	3. Кузьдалаен 3,5 см; 6,6 см; 53 мм; 1 дм; 2 см 7 мм вандэтъёс суредано.
4. При рассмотрении рисунка 23 отрезок а кажется длиннее отрезка b и отрезок m кажется длиннее отрезка n.	4. 23-ӧд серпас вылӧ видзӧдігӧн a вундӧг кажитчӧ кузьджык b вундӧгысь, а m вундӧг кажитчӧ кузьджык n вундӧгысь.	4. Кӧр ми видзӧтам 23 рисунок вылӧ миянлӧ кажитчӧ: a орӧток кузьжык b орӧтокся, а орӧток m — кузьжык n орӧтокся.	4. 23 суредэз учкыку а вандэт b вандэтлэсь но m вандэт n вандэтлэсь кузьгес кадь адӟисько.
Проверить, действительно ли это так и нет ли здесь обмана зрения.	Прӧверитӧй, збыльысь-ӧ тайӧ сідзи, абу-ӧ тані син пӧръялӧм.	Проверитӧ, сідз я, либо миянлӧ токо сідз кажитчис. (23 рис).	Зэм-а со озьы луэ яке отын син алданэз ӧвӧл-а, сое эскероно.
§ 4. Сложение отрезков.	4 §. Вундӧгъясӧс содтӧм.	§ 4. Орӧтоккез содтӧм.	§ 4. Вандэтъёсыз огазеян.
1. Действия над отрезками можно выполнять двояко: арифметически или геометрически.	1. Вундӧгъяс вылын действийӧяссӧ позьӧ вӧчавны кык ногӧн: арифметическӧя либӧ геометрическӧя.	1. Действиеэз орӧтоккез вылын туйӧ керны кык нёж, ӧтнёж кыдз арифметикаын, мӧднёж геометрияын.	1. Вандэтъёсын лыдъяськонэз кык пумо быдэстыны луоз: арифметика яке геометри амалэн.
В первом случае надо измерить данные отрезки, а затем выполнить над числами, выражающими их длину, указанные действия; во втором случае мы выполняем действия непосредственно над отрезками, не измеряя предварительно их длины.	Первой ногыс войдӧр колӧ муртавны сетӧм вундӧгъяссӧ, а сэсся налысь кузьтаяссӧ петкӧдлысь лыдъяс вылын вӧчавны индӧм действийӧяс; мӧд ногыс действийӧяссӧ ми вӧчам вундӧгъяс вылас непосредственнӧ, кузьтаяссӧ налысь войдӧр муртавтӧг.	Ӧтыс сьӧрті, колӧ одзжык орӧтоккез меряйтны, а сыбӧрын лыддьӧссэз вылын, кӧдна мыччалӧны нылісь кузясӧ; меряйттӧг случаяс ми действуйтам орӧтоккез вылын.	Нырысетӥ учыраз сётэм вандэтъёсыз мертано, собере соослэсь кузьдалазэс возьматӥсь лыдъёсын возьматэм действиез ортчытоно; кыкетӥ учырын асьмеос кузьдалазэ мертатэк гинэ пырак действи ортчытӥськом.
2. Сложить несколько отрезков — значит найти такой новый отрезок, длина которого равнялась бы сумме длин данных отрезков.	2. Содтыны некымын вундӧг — сійӧ лоӧ босьтны сэтшӧм выль вундӧг, кодлӧн кузьтаыс медым вӧлі ӧтыджда сетӧм вундӧг кузьтаяс суммакӧд.	2. Содтыны кынымкӧ орӧток лоӧ адззыны виль орӧток, кузяыс кӧдалӧн вӧлі бы ны ӧтлас ыжда.	2. Кӧня ке вандэтъёсыз огазеян — сётэм вандэтъёслэн вань кузьдалазылэн суммазылы ӵошась виль вандэт шедьтон луэ.
3. Задача. Сложить три отрезка а, b и с (рис. 24).	3. Задача. Содтыны куим вундӧг a, b да c (24-ӧд серпас).	3. Задача. Ӧтлаалӧ куим орӧток а, b и c. (24 рис.).	3. Задача. а, b но с куинь вандэтъёсыз огазеяно (24 сур.).
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Проводим прямую MN и, начиная от некоторой точки А, откладываем на ней последовательно, один за другим, данные отрезки а, b и с так, что АВ = а, ВС = b и CD = c; получим отрезок AD, который равен сумме данных трех отрезков.	Нуӧдам веськыд визь MN да кутшӧмкӧ A чутсянь заводитӧмӧн пукталам сы вылӧ ӧти мӧд бӧрся сетӧм вундӧгъяс a, b да c, тадзи: AB = a, BC = b, CD = c; лоӧ вундӧг AD, сійӧ лоӧ ӧтыджда куимнан сетӧм вундӧгъяс суммакӧд.	Нуӧтам веськыт визь MN. Кутам сы вылын A чут дынсянь ӧтамӧд бӧрсянь пуктавны орӧтоккез а, b, c сідз, медбы AB = а, BC = b и CD = c; лоас виль орӧток AD, кӧда эм ӧтлас куим орӧтоклӧн.	MN шонер гож ортчытӥськом но, кыӵе ке А точкаысен кутскыса огез бӧрсе огзэ сётэм а, b но с вандэтъёсыз тыриськом, сое тырыса тазьы мед луоз: АВ = а, ВС = b но CD = c; соку куинь сётэм вандэтъёслэн суммазылы ӵошась AD вандэт шедьтом.
Следует заметить, что при сложении конец одного отрезка есть начало следующего отрезка.	Колӧ шуны, мый содтігӧн ӧти вундӧглӧн бӧръя помыс лоӧ мӧд вундӧглы воддза помӧн.	Позьӧ казявны, эта орӧтоклӧн помыс лоас мӧд орӧтоклӧн пондӧтан,	Чакланы кулэ, одӥгезлэн вандэтлэн пумез, кыкетӥ вандэтлэн кутсконэз луэ.
Запись: а + b + с = АВ + ВС + CD = AD.	Тайӧ гижсьӧ тадзи: a + b + c = AB + BC + CD = AD.	гижӧны этӧ сідз: а + b + c = AB + BC+ CD = AD.	Гожтонэз: а + b + с = AB + BC + CD = AD.
4. Длина отрезка AD не изменилась бы, если производить сложение данных отрезков в ином порядке, а именно — сложить сперва отрезки а и с и к отрезку, составляющему их сумму, прибавить отрезок b, или сперва сложить отрезки b и с и к их сумме прибавить отрезок а.	4. AD вундӧглӧн кузьтаыс эз эськӧ вежсьы, содтавны кӧ сетӧм вундӧгъяссӧ мӧд ногӧн, шуам, содтыны войдӧр a да c вундӧгъяссӧ да налысь суммасӧ петкӧдлысь вундӧг дінас содтыны b вундӧг, либӧ войдӧр босьтны b да c вундӧгъяс да найӧ сумма бердӧ содтыны a вундӧг.	4. Содтам кӧ ми орӧтоккесӧ мӧднёж, кузяыс AD орӧтоклӧн оз вежсьы. Содтам одзжык а да c, а сыбӧрсянь содтам ны дынӧ b, либо содтам b да c, а сыбӧрын содтам а.	4. Сётэм вандэтъёслэсь огазеянзэс мукет сямен ке ортчытысалмы, AD вандэтлэн кузьдалаез ӧй вошкысал, со соку озьы луысал: нырись а но с вандэтъёсыз огазеяса со огазеям сумма бордэ b юдэсэз ке огазеясалмы яке нырись b но с вандэтъёсыз огазеяса соослэн суммаязы а юдэсэз ватсаса.
От изменения порядка слагаемых сумма не меняется.	Содтанлыдъяслысь пӧрадоксӧ вежӧм понда суммаыс оз вежсьы.	Кыдз бы ми содтаннэсӧ эг вежлӧ, ӧтласыс оз вежсьы.	Огазеян лыдъёслэсь радзэс воштыса сумма уг вошкы.
§ 5. Вычитание отрезков.	5 §. Вундӧгъясӧс чинтӧм.	§ 5. Орӧтоккез чинтӧм.	§ 5. Вандэтъёсыз кулэстон.
1. Вычесть один отрезок из другого — значит найти такой новый отрезок, который указывал бы, на сколько один из данных отрезков больше или меньше другого.	1. Чинтыны ӧти вундӧг мӧд вундӧгысь — сійӧ лоӧ корсьны сэтшӧм выль вундӧг, коді вӧлі медым петкӧдлӧ, унаӧн-ӧ сетӧм вундӧгъяс письыс ӧти вундӧгыс ыджыдджык либӧ ичӧтджык мӧдсьыс.	1. Чинтны ӧтік орӧтокись мӧд орӧток лоӧ адззыны сэтшӧм виль орӧток, кӧда бы мыччаліс, унаӧн я ӧтік орӧтокыс кузьжык либо дженытжык мӧдысся.	1. Одӥг вандэтэз мукетэзлэсь кулэстон — та сётэм вандэтъёс пӧлысь одӥгезлэсь мукетэз кӧнялы ке кузь-а, вакчи-а тодон луэ.
2. Задача.	2. Задача.	2. Задача.	2. Задача.
Из отрезка АВ = а вычесть отрезок CD = b.	AB = a вундӧгысь чинтыны CD = b вундӧг.	Орӧтокись AB = а чинтны орӧток CD = b.	АВ = а вандэтысь CD = b юдэсэз кулэстоно.
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Наложим меньший отрезок CD = b (рис. 25) на больший отрезок АВ = а так, чтобы конец D первого отрезка совпал с концом В второго и отрезок CD пошел по отрезку АВ в направлении от В к A;	Ичӧтджык вундӧгсӧ CD = b (25-ӧд серпас) пуктам ыджыдджык вундӧг AB = a вылас, сідзи, медым воддза вундӧгыслӧн D помыс веськалӧ мӧд вундӧгса B помас да CD вундӧгыс медым муніс AB вундӧг вывті B-сяньыс A-ланьыс;	Пуктам дженытжык CD = b (25 рис.) орӧтоксӧ кузьжык AB = а орӧток вылӧ, медбы медодзза орӧтоклӧн D помыс ӧтлаасис B помкӧт и мӧд CD орӧтокыс муніс бы AB орӧток вывті B-сянь A дынӧдз;	CD = b пичизэ вандэтэз (25 сур.) АВ = а бадӟым вандэт вылэ поном, соку нырысетӥ вандэтлэн D пумез кыкетӥ вандэтлэн В пумаз мед усёз, озьы CD вандэт АВ вандэт кузя В дорысен А доре мед мыноз;
конец С займет на отрезке АВ положение точки C₁, и оставшаяся на отрезке АВ часть его АC₁, равная отрезку m, есть разность данных отрезков АВ = а и CD = b.	C помыс AB вундӧг вылас веськалӧ C₁ чутӧ да AB вундӧг вылас сылӧн кольӧм юкӧныс — AC₁, коді m вундӧг кузьта, и петкӧдлӧ, унаӧн-ӧ ыджыдджык AB = a вундӧгыс CD = b вундӧгысь.	C помыс лоас кытшӧмкӧ чут вылын, и кольӧм орӧток тор AB вылын m ыжда лоӧ колян тор AB = а и CD = b сетӧм орӧтоккезлӧн.	С пум АВ вандэт вылын С₁ точкаез басьтоз, АВ вандэт вылэ кылем АС₁ люкетэз m вандэтлы ӵошась сётэм АВ = а но CD = b вандэтъёслэн кылемез луоз.
Запись: а − b = n или АВ − CD = AC₁.	Гижсьӧ тадзи: a − b = m, либӧ AB − CD = AC₁.	Гижсьӧ сідз: а − b = m либо AB − CD = AC₁.	Гожтонэз: а − b = m яке АВ − CD = AC₁.
Мы выполнили геометрическое вычитание двух отрезков АВ и CD и получили некоторый новый отрезок АС₁, равный разности данных отрезков. Этот отрезок AC₁ показывает, на сколько отрезок АВ больше отрезка CD.	Ми вӧчим геометрия ногӧн чинтӧм кык вундӧг вылын — AB да CD вундӧгъяс вылын, лои выль вундӧг AC₁, сійӧ петкӧдлӧ кык вундӧгыслысь мӧда-мӧдсьыс кузьтанас торъялӧмсӧ, либӧ разносьтсӧ.	Ми керим AB и CD кык орӧтоккезлісь чинтӧм и петіс AC₁ виль орӧток, кӧдія лоӧ кык орӧток коласын колян ыжда. Эта AC₁ орӧтокыс мыччалӧ унаӧн я AB орӧтокыс ыджытжык CD орӧтокся.	Асьмеос АВ но CD вандэтъёсын геометри кулэстон ортчытыса сётэм вандэтъёслэн кылемезлы ӵошась виль AC₁ вандэт шедьтӥм. Та АС вандэт CD вандэтлэсь АВ вандэт кӧнялы бадӟымзэ возьматэ.
Можно измерить длину отрезков АВ, CD к АС₁ и проверить вычислением правильность ответа, полученного построением.	Позьӧ муртавны AB, CD да AC₁ вундӧгъяслысь кузьтасӧ да арталӧмӧн прӧверитны вылыса пуктӧмӧн вӧчӧм ӧтветлысь веськыдлунсӧ.	AB CD и AC₁ орӧтоккезлісь позьӧ меряйтны кузясӧ и проверитны лыддьӧмӧн, верно я ми керим одзжык.	АВ, CD но AC₁ вандэтъёслэсь кузьдалаоссэс мертаса, лэсьтэмен шедьтэм ответэзлэсь шонерзэ лыдъяса эскероно.
§ 6. Умножение отрезка на целое число.	6 §. Вундӧгӧс тыр лыд вылӧ ӧктӧм.	§ 6. Быдса лыддьӧс вылӧ орӧтоккез босьтӧм.	§ 6. Вандэтэз быдэс лыдлы уноян.
1. Умножить отрезок на целое число — значит найти такой новый отрезок, который по длине равнялся бы данному отрезку, взятому слагаемым столько раз, сколько единиц в данном целом числе.	1. Вундӧгӧс тыр лыд вылӧ ӧктыны — сійӧ лоӧ корсьны сэтшӧм выль вундӧг, коді эськӧ аслас кузьтанас медым равняйтчис сетӧм вундӧглы, кодӧс содтанлыдӧн босьтӧма сы мында пӧв, кымын единица сетӧм тыр лыдас.	1. Босьтны орӧток быдса лыддьӧс вылӧ, мӧднёж: колӧ адззыны сэтшӧм виль орӧток, кузяыс кӧдіялӧн вӧлі бы кузьжык сетӧм орӧтокся сымдаись, кыным ӧтса быдса лыддьӧсын.	1. Вандэтэз быдэс лыдлы уноян — быдэс лыдын кӧня ке одӥго, со мында пол огазеяськисен басьтыса, кузьдалаеныз со вань огазеяськисьёслы ӵошась виль вандэт шедьтон луэ.
2. Задача.	2. Задача.	2. Задача.	2. Задача.
Умножить отрезок АВ = а на число 5 (рис. 26).	Вундӧг AB = a ӧктыны 5 вылӧ (26-ӧд серпас).	Босьтны орӧток AB = а 5 вылӧ (26 рис).	АВ = а вандэтэз 5-лы унояно (26 сур.).
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Умножение на целое число есть сложение одинаковых слагаемых, а потому а·5 = а + a + а + a + а; отсюда вытекает геометрическое решение задачи.	Тыр лыд вылӧ ӧктӧм лоӧ ӧткодь содтанлыдъясӧс содталӧм, сідзкӧ a · 5 = a + a + a + a + a; тасянь петӧ задачасӧ решитӧм.	Быдса лыддьӧс вылӧ босьтӧм эм ӧткодь содтаннэслӧн содтӧм, сідз а · 5 = а + а + а + а + а; эстісь лоӧ геометрия задача керӧм.	Быдэс лыдъёсыз уноян — ог кадесь огазеяськись лыдъёсыз огазеян луэ, соин ик а · 5 = а+а+а+а+а; татысь ик задачаез геометриё лыдъян потэ.
На прямой MN от некоторой точки А откладывают последовательно 5 раз один и тот же отрезок АВ = а; получается отрезок AF = 5AB = 5a.	MN веськыд визь вылӧ кутшӧмкӧ A чутсянь пукталӧны ӧти мӧд бӧрысь 5 пӧв сійӧ жӧ ӧти вундӧгсӧ AB = a; лоӧ вундӧг AF = 5 AB = 5a.	Веськыт визь MN вылын кытшӧмкӧ A чутсянь пукталӧны сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн 5-ись ӧтік орӧток AB = а; лоӧ орӧток AF = 5 AB = 5а.	MN шонер вылын кыӵе ке А точкаысен 5 пол одӥг АВ = а вандэтэз бӧрсе-бӧрсе тыроно, соку: AF = 5AB = 5a юдэс потэ.
§ 7. Деление отрезков.	7 §. Вундӧгъясӧс юкӧм.	§ 7. Орӧтоккез юкӧм.	§ 7. Вандэтъёсыз люкон.
1. Деление отрезка на 2, 4, 8 и т. д. равных частей.	1. 2, 4, 8 да с. в. ӧткодь юкӧнъяс вылӧ вундӧгӧс юкӧм.	1. Орӧток юкӧм 2, 4, 8 и сідз одз. ӧткодь торрез вылӧ.	1. Вандэтэз 2-лы, 4-лы, 8-лы но мукет ог кадесь люкетъёслы люкон.
Разделить отрезок на 2, 4, 8 и т. д. равных частей — значит найти построением такой новый отрезок, длина которого равна половине, четверти, одной восьмой и т. д. Данного отрезка.	Юкны вундӧг 2, 4, 8 да с. в. ӧткодь юкӧнъяс вылӧ — значит корсьны пукталӧмӧн (построенньӧӧн) сэтшӧм выль вундӧг, кодлӧн кузьтаыс лоӧ сетӧм вундӧг джын ыдждаыс, нёльӧд юкӧн ыдждаыс, кӧкъямысӧд юкӧн ыдждаыс да с. в.	Орӧтоксӧ юкны 2, 4, 8 и с. одз. ӧткодь торрез вылӧ — лоӧ адззыны сэтшӧм виль орӧток, кӧдіялӧн кузяыс вӧлі бы сетӧм орӧток сьӧрті джын кузя, нёльӧт тор кузя, кыкьямысӧт тор кузя и с. одз.	Вандэтэз 2-лы, 4-лы, 8-лы но мукет ог кадесь люкетъёслы люкон лэсьтыса, кузьдалаез ӝынылы, черыклы, тямысмослы но мукетлы ӵошась виль вандэт шедьтон луэ.
2. Задача.	2. Задача.	2. Задача.	2. Задача.
Разделить отрезок АВ = а пополам, т. е. на две равные части (рис. 27).	Юкны AB = a вундӧг шӧри, кык ӧткодь юкӧн вылӧ (27-ӧд серпас).	AB = а орӧток юкны шӧри — лоӧ адззыны кык ӧтыжда тор (27 рис.).	АВ = а вандэтэз шори люконо, мукет сямен, кык ог кадесь люкетлы люконо (27 сур.).
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Раствором циркуля, немногим больше половины отрезка АВ, проводим окружности, принимая за центры концы А и В отрезка АВ.	Циркульӧн — AB вундӧг джынйысь неуна паськыдджыка циркульсӧ восьтӧмӧн — нуӧдам кытшвизь (окружносьт), шӧрчут (центр) пыддиыс босьтам AB вундӧгыслысь A да B помъяссӧ.	Босьтам циркуль да невночка паськӧтам орӧток AB джынся паськытжыкӧ, нуӧтам кык гӧгрӧс орӧток A да B чуттэз вылісянь.	Циркулез АВ вандэтлэн ӝыныезлэсь ӧжыт гинэ бадӟымгес усьтыса, шор интые АВ вандэтлэсь А но В пумъёссэ басьтыса котыргожъёс ортчытӥськом.
Эти окружности пересекутся в точках М и N.	Тайӧ кытшвизьясыс вомӧнасясны M да N чутъясын.	Эна гӧгрӧссэз M и N чуттэзын крестасясӧ.	Та котыргожъёс M но N точкаосын ваче вожвылско.
Затем эти точки соединяем прямою MN; она пересечет данный отрезок АВ в точке С.	Сэсся тайӧ чутъяссӧ ӧтлаалам MN веськыд визьӧн; сійӧ вомӧналас сетӧм AB вундӧгсӧ C чутын.	Сы бӧрын энӧ чуттэсӧ ӧтлаалӧны MN веськыт визькӧт; сія орӧтоксӧ AB кресталас C чутын.	Собере со точкаосыз MN шонерен огазеяськом: со сётэм АВ вандэтэз С точкаын вожвылтоз.
Точка С лежит на середине отрезка АВ и, следовательно, АС = СВ, в чем можно убедиться проверкой при помощи циркуля.	C чутыс лоӧ AB вундӧг шӧрас, сідзкӧ AC = CB — тайӧ позьӧ прӧверитны циркульӧн.	Эта C чутыс куйлӧ AB орӧток шӧрын, лоас AB = CD, этӧ позьӧ проверитны циркульӧн.	С точка АВ вандэтлэн шораз кылле, озьы бере, АС = СВ, со озьы луэ шуыса циркулен эскерыса оскыны луоз.
Разделив таким же построением пополам отрезки АС и СВ, мы разделим отрезок АВ на 4 равные части.	AC да CB вундӧгъяссӧ тадзи жӧ шӧри юкӧмӧн ми юкам AB вундӧгсӧ 4 ӧтыджда юкӧн вылӧ.	Сідз жӧ AB и CB орӧтоккес янсӧтам шӧри, сэк AB орӧтокыс юксяс ӧтыжда нёль тор вылӧ.	Озьы ик лэсьтэмен АС но СВ вандэтъёсыз шори люкыса асьмеос АВ вандэтэз ог кадесь 4 люкетъёслы люкиськом.
Продолжая деление каждого полученного отрезка пополам, можно разделить данный отрезок АВ на 8, 16, 32 и т. д. равных частей.	Быд лоӧм вундӧг водзӧ шӧри юклӧмӧн ми юкам сетӧм AB вундӧгсӧ 8, 16, 32 да с. в. ӧтыджда юкӧнъяс вылӧ.	Кутам кӧ лоӧм быд орӧтоксӧ юкны шӧри, позьӧ AB сетӧм орӧтоксӧ юкны 8, 16, 32 и с. одз. ӧтыжда торрез вылӧ.	Котькудзэ шедьтэм вандэтъёсыз шори люконэз азьланьын но ортчытыса сётэм АВ вандэтэз 8-лы, 16-лы, 32-лы но мукет ог кадь люкетъёслы люкыны луоз.
3. Деление отрезка на отрезок.	3. Вундӧгӧс вундӧг вылӧ юкӧм.	3. Ӧтік орӧток мӧдік орӧток вылӧ юкӧм.	3. Вандэтэз вандэтлы люкон.
Разделить один отрезок на другой — значит узнать, сколько раз один отрезок содержится в другом или во сколько раз один отрезок больше или меньше другого.	Юкны ӧти вундӧг мӧд вылӧ — сійӧ лоӧ тӧдмавны, кымын пӧв ӧти вундӧгыс пырӧ мӧд вундӧгас, либӧ кымын пӧв ӧти вундӧгыс ыджыдджык либӧ ичӧтджык мӧд вундӧгсьыс.	Ӧтік орӧток мӧдік вылӧ юкӧм — лоӧ тӧдны, кыным орӧток ыджыт орӧтокын, либо мӧднёж: кынымись ӧтік орӧток ыджытжык либо учӧтжык мӧдік орӧтокся.	Одӥг вандэтэз мукет вандэтлы люкон — одӥг вандэтын мукет вандэтлэсь кӧня пол луэмзэ тодон, яке одӥг вандэтлэсь мукетэз сярысь кӧня пол бадӟым-а, пичи-а шуыса тодон луэ.
4. Задача.	4. Задача.	4. Задача.	4. Задача.
Узнать, сколько раз отрезок CD содержится в отрезке АВ (рис. 28).	Тӧдмавны, кымын пӧв CD вундӧг пырӧ AB вундӧгӧ (28-ӧд серпас).	Тӧдны, кыным CD кузя орӧток эм AB орӧтокын (28 рис.).	АВ вандэтын кӧня пол CD вандэтлэсь луэмзэ тодоно (28 сур.).
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Даны два отрезка АВ и CD.	Сетӧма кык вундӧг — AB да CD.	Сетӧм кык орӧток AB и CD.	АВ но CD кык вандэтъёс сётэмын.
Откладываем последовательно меньший отрезок CD на АВ несколько раз; пусть он уложится на отрезке АВ 4 раза, тогда результат деления отрезка АВ на CD, т. е. АВ/CD = 4.	Пукталам ӧти мӧд бӧрся ичӧтджык вундӧгсӧ — CD-сӧ — AB вундӧг вылас некымын пӧв; шуам, сійӧ водас AB вундӧг вылас 4 пӧв, сэки AB вундӧгӧс CD вундӧг вылӧ юкӧмысь результатыс лоӧ татшӧм: AB/CD = 4.	Учӧтжык орӧтоксӧ CD орӧток AB вылӧ унаиськодь пукталам; ась сія орӧток AB вылас пуктіссяс 4-ись, сэк орӧток AB CD орӧток вылӧ юкӧмсянь лоас результат AB/CD = 4.	Бӧрсе-бӧрсе пичи CD вандэтэз АВ вандэт вылэ кӧня ке пол тыриськом, со АВ вандэтэ 4 пол мед тэроз, шуом, соку АВ-эз CD-лы люкемлэн потэмез, мукет сямен АВ / CD = 4.
Значит, отрезок CD уложился в отрезке АВ 4 раза, или АВ в 4 раза больше CD, или CD в 4 раза меньше АВ.	Сідзкӧ CD вундӧг AB вундӧгӧ пырӧ 4 пӧв, либӧ AB 4 пӧв ыджыдджык CD-ысь, либӧ CD 4 пӧв ичӧтджык AB-ысь.	Лоӧ CD орӧток пуктіссьӧм AB орӧток вылын нёлись, либо AB орӧтокыс CD-ся нёлись ыджытжык, либо CD-ыс нёлись учӧтжык AB-ся.	Озьы бере, CD вандэт АВ вандэтэ 4 пол тэроз, яке АВ CD сярысь 4 пол бадӟым, яке CD АВ сярысь 4 пол пичи.
Рассмотрим случай, когда отрезок CD не укладывается целое число раз в отрезке АВ.	Видзӧдлам сэтшӧм случай, кор CD вундӧгыс оз тыр лыд пӧв пыр AB вундӧгас.	Видзӧтам сэтшӧм пример, кӧр CD орӧтокыс быдса лыддьӧсӧн вермӧ пуктіссьыны AB орӧток вылын.	CD вандэтлэсь АВ вандэтэ быдэс лыдын кӧня ке пол интыяськонтэм дыръяз учырез (случайзэ) эскером.
Пусть отрезок CD укладывается на отрезке АВ (рис. 29) З раза и получается остаток АЕ = m, т. е. AB = 3·CD + AE.	Шуам, CD водас AB вундӧг вылас (29-ӧд серпас) 3 пӧв да нӧшта кольӧ AE = m, сідзкӧ AB = 3 CD + AE.	Кӧр CD орӧтокыс AB орӧток вӧлас пуктіссяс куимись, лоас колян орӧток AE = m сія жӧ AB = 3 · CD + AE.	CD вандэт АВ вылэ (29 сур) 3 пол мед интыяськоз шуом, соку кылемез АЕ = m луэ, мукет сямен, АВ = 3 · CD + AE.
Затем делим отрезок CD на мелкие доли, положим, — на восьмые доли, и узнаем, сколько раз восьмая часть отрезка CD уложится в остатке АЕ; пусть она содержится в отрезке АЕ 5 раз, тогда	Сы бӧрти CD вундӧгсӧ юкам посни торъясӧ, шуам, кӧкъямысӧд юкӧнъяс вылӧ, да тӧдмалам, кымынысь CD вундӧгыслӧн кӧкъямысӧд юкӧныс водас AE колясас; мед, шуам, сійӧ пырӧ AE вундӧгас 5 пӧв (витысь), сэки	Сыбӧрын орӧток CD юкам учӧт торрез вылӧ, шуам, — кыкьямыс ӧтыжда торрез вылӧ да тӧдам, кынымись CD орӧтокись кыкьямысӧт торокыс пуктіссяс AE орӧток вылын; адззам, сія AE орӧток вылас пуктіссяс 5-ись, сэк	Собере CD вандэтэз пичи мосъёслы люкиськом, кылсярысь 8 мослы люкиськом но, CD вандэтлэн тямысэтӥ люкетэзлэсь АЕ кылеме кӧня пол интыяськемзэ тодӥськом; АЕ вандэтэ со люкет 5 пол мед интыяськоз, соку
АВ = 3CD + АЕ = 3CD + 5/8 CD = 3 5/8 CD.	AB = 3 CD + AE = 3 CD + 5⁄8 CD = 3 5⁄8 CD.	AB = 3CD + AE = 3CD + 5/8 CD 3 5/8 CD.	АВ = 3CD + АЕ = 3CD + 5/8 CD = 3 5/8 CD.
Получается, что отрезок АВ равен 3 5/8 CD, а это значит, что отрезок АВ больше отрезка CD в З 5/8 раза или, что то же самое, отрезок CD в отрезке АВ содержится 3 5/8 раза.	Сідзкӧ AB вундӧг лоӧ 3 5⁄8 CD вундӧг ыджда, а тайӧ лоӧ: AB вундӧг ыджыдджык CD вундӧгысь 3 5⁄8 пӧв, либӧ CD вундӧгын AB вундӧг содержитчӧ 3 5⁄8 пӧв.	Лоӧ AB орӧтокыс ӧтыжда 3 5/8 CD-кӧт, а эта лоӧ AB орӧтокыс лоӧ CD орӧтокся ыджытжык 3 5/8-ись, нето, мӧднёж шуны, CD орӧтокыс AB орӧтокас пуктіссьӧ 3 5/8-ись.	АВ вандэт 3 5/8 CD-лы ӵоша шуыса потэ, нош со АВ вандэт CD вандэтлэсь 3 5/8 пол бадӟым шуыса возьматэ, яке со CD вандэт АВ вандэтэ 3 5/8 пол интыяськем ик луэ.
Сравнение двух отрезков АВ и CD делением есть деление по содержанию; при этом деление сводится к последовательному вычитанию отрезка CD из отрезка АВ.	AB да CD кык вундӧгӧс юкӧмӧн ӧтластитӧм эм содержанньӧ серти юкӧм; тані юкӧмыс вӧчсьӧ CD вундӧгсӧ AB вундӧгысь дорвыв чинтӧмӧн.	AB и CD орӧтоккесӧ юкӧмӧн тшӧтшӧтӧмыс лоӧ пытшкӧс сьӧрті юкӧм; сэк юкӧмсӧ керӧны AB орӧтокись сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн CD орӧток чинталӧмӧн.	Кык АВ но CD вандэтъёсыз люкемен ӵошатэм — пушезъя (<rus>по содержанию</rus>) люкон луэ; таӵе дыръя люкон АВ вандэтысь CD вандэтэз бӧрсе-бӧрсе кулэсъянзы луэ.
Вопросы и упражнения к §§ 4-8.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс 4−8 §§-лы:	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ 4-8 §§ ДЫНӦ.	4-8 §§-ысь юанъёс но ужъёс.
1. Провести отрезок а = 4,7 см, отрезок b = 52 мм и найти построением их сумму.	1. Гижтыны вундӧг a = 4,7 см, вундӧг b = 52 мм да геометрия ног вӧчӧмӧн корсьны налысь суммасӧ.	1. Нуӧтӧ кык орӧток а = 4,7 см, b = 52 мм да адззӧ чертитӧмӧн нылісь ӧтлассӧ.	1. а = 4,7 см, b = 52 мм вандэтъёсыз ортчытоно но соослэсь суммазэс лэсьтэмен (<rus>построением</rus>) шедьтоно.
2. Провести отрезок а = 3,5 см и продолжить его с каждой стороны на b = 2,7 см; результат записать в виде суммы трех отрезков.	2. Гижтыны вундӧг a = 3,5 см да нюжӧдны сійӧс кыкнанладорсяньыс b = 2,7 см вундӧг вылӧ; результатсӧ гижны куим вундӧгысь лоан суммаӧн.	2. Нуӧтӧ орӧток а = 3,5 см да кыкнан боксянь содтӧ b = 2,7 см; результатсӧ гижӧ кыдзи куим орӧтоклӧн ӧтлас.	2. а = 3,5 см вандэт ортчытоно но сое ик кажной дурысеныз b = 2,1 см-лы нуйтоно; луэмзэ куинь вандэтъёслэн суммазы кадь гожтоно.
3. Начертить ломаную, состоящую из 4 звеньев и найти ее длину (спрямить ломаную).	3. Нуӧдны 4 торъя (звеноа) чегласьӧм визь да корсьны сылысь кузьтасӧ (веськӧдны чегласьӧмсӧ).	3. Чертитӧ 4 звеноа чегласьӧм визь да адззӧ сылісь кузясӧ (веськӧтны чегласьӧм визьсӧ).	3. 4 ёзъем тӥяськем гож суредано но, солэсь кузьдалазэ шедьтоно (тӥяськем гожез шонертоно).
4. Начертить отрезки а и b.	4. Гижтыны вундӧгъяс a да b.	4. Чертитӧ а и b кык орӧток.	4. а но в вандэтъёс гожтоно.
Найти построением отрезок х = 3а + 2b.	Корсьны геометрия ног вӧчӧмӧн вундӧг x = 3a + 2b.	Сыбӧрын адззӧ строитӧмӧн орӧток х = 3а + 2b.	Лэсьтонэн (построение) х = 3а + 2b шедьтоно.
5. Измерить высоту а спичечной коробки, а затем найти построением 5а.	5. Муртавны истӧг кӧрӧблысь a судтасӧ, а сэсся корсьны тэчӧмӧн 5a.	5. Истӧг коробкаись меряйтӧ а сувда, сыбӧрын строитӧмӧн адззӧ 5а.	5. Спичка коробкалэсь а ӝуждалазэ мертано, собере лэсьтэмен 5а шедьтоно.
6. Начертить два отрезка а и b и найти их разность.	6. Гижтыны кык вундӧг a да b да корсьны налысь разносьтсӧ.	6. Чертитӧ а и b кык орӧток да адззӧ нылісь колянсӧ.	6. Кык а но b вандэтъёс суредано но, соослэсь кылемзэ шедьтоно.
Результат записать.	Результатсӧ гижны.	Мый лоас, гижӧ.	Луэмзэ гожтоно.
7. Проверить построением, сколько раз уложится в отрезке а = 11 см отрезок 6 = 2,5 см.	7. Прӧверитны тэчӧмӧн, кымын пӧв водас a = 11 см вундӧгын b = 2,5 см вундӧг.	7. Проверитӧ строитӧмӧн, кынымись строитӧмӧн b = 2,5 см орӧтокыс пуктіссяс а = 11 см ыжда орӧток вылын.	7. а = 11 см ӵошась вандэтэ b = 2,5 см ӵошась вандэт кӧня пол интыяськемзэ лэсьтэмен эскероно.
8	8. Гижтыны вундӧгъяс: a, b да c.	8. Чертитӧ а, b и c орӧтоккез.	8. а, b но с вандэтъёсыз суредано.
Начертить отрезки а, b и с. Найти построением: 1) а + b − с;	Корсьны тэчӧмӧн: 1) a + b − c;	Строитӧмӧн адззӧ: 1) а + b − c;	Лэсьтэмен шедьтоно: 1) 1) а + b − с;
2) а + с − b.	2) a + c − b.	2) а + c − b.	2) а + с − b.
9. Начертить отрезки а и b.	9. Гижтыны вундӧгъяс a да b.	9. Чертитӧ а и b орӧтоккез.	9. а но b вандэтъёс суредано.
Найти построением отрезок 3b − 4а.	Корсьны тэчӧмӧн 3b − 4a вундӧг.	Строитӧмӧн адззӧ 3b − 4а орӧток.	3b − 4а вандэтэз лэсьтэмен шедьтоно.
10. Разделить построением пополам отрезок а = 5 см.	10. Геометрия ног вӧчӧмӧн юкны шӧри a вундӧг — прӧверитны, кор a = 5 см.	10. Шӧри юкӧ строитӧмӧн а = 5 см орӧток.	10. а = 5 см вандэтэз лэсьтэмен шори люконо.
11. Начертить отрезок а произвольной длины, разделить его на 8 равных частей и отложить на чертеже отрезки, равные ¾, 7/8, 7/4 данного отрезка.	11. Гижтыны произвольнӧй кузьтаа a вундӧг, сійӧс юкны 8 ӧтыджда юкӧн вылӧ да пасйыны чертёж вылын татшӧм вундӧгъяс: 3⁄4, 7⁄8, 7⁄4 сетӧм (a) вундӧгыслысь.	11. Мый кузя колӧ, чертитӧ а орӧток, юкӧ сійӧ 8 ӧтыжда торрез вылӧ и пукталӧ чертёж вылас 3/4, 7/8, 7/4 ыждаӧсь сетӧм орӧток сьӧрті.	11. Эркын (произвольной) кузьдалаё а вандэт суредано, сое 8 ог кадесь люкетъёслы люконо но, сётэм вандэтлы ¾, 7/8, 7/4 ӵошась вандэтъёс суред вылэ пусъёно.
12. Даны отрезки m и n.	12. Сетӧма вундӧгъяс m да n.	12. Сетӧм m и n орӧтоккез.	12. m но n вандэтъёс сётэмын.
Найти отрезки х = m/2 + n/2; y = 3m/4 + n/2.	Корсьны вундӧгъяс: x = m/2+n/2; y = m/4+n/2.	Адззӧ х = m/2 + n/2; y = 3m/4+ n/2 орӧтоккез.	х = m/2 + n/2; y = 3m/4 + n/2 вандэтъёссэ шедьтоно.
13. Отрезок АВ = n (рис. 30) равен сумме двух неизвестных отрезков а и b;	13. Вундӧг AB = n (30-ӧд серпас) ӧтыджда a да b вундӧгъясысь лоан суммакӧд;	13. AB = n орӧток (30 рис.) — а и b кык тӧдтӧм орӧтоккез ӧтлас ыжда;	13. АВ вандэт = n (30 суред) кык тодмотэм а но b вандэтъёслэн суммазылы ӵоша;
отрезок CD = m равен разности тех же отрезков а и b.	вундӧг CD = m ӧтыджда сійӧ жӧ a да b вундӧгъясысь лоан разносьткӧд.	CD = m орӧток — а и b орӧтоккез чинтӧм ыжда.	CD вандэт = m со кык тодмотэм а но b вандэтъёслэн кылемзылы ик ӵоша.
Найти сперва вычислением, а затем построением отрезки а и b.	Корсьны тэчӧмӧн a да b вундӧгъяссӧ.	Перво адззыны а и b орӧтоккесӧ чинтӧмӧн, а сы бӧрын строитӧмӧн.	Нырись лыдъямен, собере лэсьтэмен а но b вандэтъёсыз шедьтоно.
14. Найти построением, сколько раз отрезок CD = b содержится в отрезке АВ = а (рис. 31).	14. Корсьны тэчӧмӧн, кымын пӧв CD = b вундӧг пырӧ (содержитчӧ) AB = a вундӧгӧ (31-ӧд серпас).	14. Колӧ адззыны строитӧмӧн, мымдаись CD = b орӧтокыс пуктіссяс AB = а орӧток вылын (31 рис.).	14. CD = b вандэт АВ = а вандэтэ кӧня пол интыяське, лэсьтэмен шедьтоно.
III. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДИ КВАДРАТА И ПРЯМОУГОЛЬНИКА.	ІІІ. КВАДРАТЛЫСЬ ДА ВЕСЬКЫДПЕЛЬӦСАЛЫСЬ ПЛӦЩАДЬ МУРТАЛӦМ.	III. КВАДРАТЛІСЬ ДА ВЕСЬКЫТПЕЛЬӦСЛІСЬ ПЛОЩАДЬ МЕРЯЙТӦМ.	III. КВАДРАТЛЭСЬ НО ПРЯМОУГОЛЬНИКЛЭСЬ ПЛОЩАДЬЗЭС МЕРТАН.
§ 1. Измерение площадей.	1 §. Плӧщадьяс мурталӧм.	§ 1. Площадь меряйтӧм.	§ 1. Площадьёсыз мертан.
1. Измерить площадь — значит сравнить ее с другой известной площадью, принятой за единицу.	1. Муртавны плӧщадь — тайӧ лоӧ сійӧс ӧтластитны мӧд тӧдса плӧщадькӧд, кодӧс лоӧ босьтӧма муртас (мера) единица пыдди.	1. Меряйтны площадь лоӧ этӧ площадьсӧ ордчӧн сувтӧтны мӧд площадькӧт, кӧдія босьтӧм ӧтса туйӧ.	1. Одӥг площадез мукет тодмо одӥг лыдо басьтэм площаден ӵошатон — площадез мертан луэ.
За единицу меры площади принимается площадь квадрата, сторона которого равна какой-либо линейной единице, например — миллиметру, сантиметру, метру и т. д.; такая единица меры называется квадратной мерой.	Плӧщадь муртас единица пыдди босьтсьӧ плӧщадь квадратлӧн, кодлӧн дорыс лоӧ кутшӧмкӧ линейнӧй единица ыджда, шуам миллиметр, сантиметр, метр да с. в.; татшӧм муртас единицаыс шусьӧ квадратнӧй муртасӧн (мераӧн).	Ӧтса меряйтан площадь туйӧ босьтӧм квадрат, кӧдіялӧн ӧт бокыс визь ӧтса кузя, шуам сантиметр, метр и с. одз.; сэтшӧм ӧтса мераыс шусьӧ квадрата метрӧн.	Площадез одӥг мераен мертанлы квадратлэсь площадьзэ басьто, солэн дурез кыӵе ке мертаськон единицалы ӵоша, кылсярысь — миллиметрлы, сантиметрлы но мукетъёсызлы; сыӵе мера единица — квадрат мера шуыса нимаське.
В зависимости от длины стороны квадрата, принятой за единицу, квадратная единица меры площади называется квадратным миллиметром, квадратным сантиметром и т. д. (рис. 32).	Единица пыдди босьтӧм квадрат бок кузьта серти плӧщадь муртасыслӧн квадратнӧй единицаыс шусьӧ квадратнӧй миллиметрӧн, либӧ квадратнӧй сантиметрӧн да с. в. (32-ӧд серпас).	Квадрат бок кузясянь, кӧдія босьтӧм ӧтса туйӧ, площадьлӧн квадрата мера ӧтсаыс шусьӧ квадрата миллиметрӧн, квадрата сантиметрӧн и с. одз. (32 рис.).	Единицаен басьтэм квадрат дурлэн кузьдалаезъя площадьлэн квадрат единица мераез квадрато миллиметр, квадрато сантиметр шуыса но мукет нимаське (32 сур.).
Выбрав единицу меры площади, измеряют площадь фигуры, т. е. узнают, сколько квадратных единиц содержит измеряемая площадь.	Плӧщадь муртас единица босьтӧм бӧрын мурталӧны фигура плӧщадьсӧ, тӧдмалӧны, кымын квадратнӧй единица пырӧ мурталан плӧщадяс.	Босьтам ӧтса мераӧн фигуралісь площадь меряйтны, мӧднёж: тӧдны, кыным квадрат ӧтса эм меряйтан площадьын.	Площадь мера единицаез бырйыса, фигуралэсь площадьзэ мертано, мукет сямен, тодо, кӧня квадрато единица мертано площаде интыяське.
2. При непосредственном измерении площади фигуры надо измеряемую площадь заполнить площадками, принятыми за единицу, как это показано на рисунке 33.	2. Фигура плӧщадьсӧ непосредственнӧя мурталігтырйи мурталан плӧщадьсӧ колӧ тыртны единица пыдди босьтӧм плӧщадкаясӧн, кыдзи тайӧ петкӧдлӧма 33-ӧд серпас вылын.	2. Кыдз мыччалӧм 33 рисунок вылын, фигура площадь меряйтікӧ, площадьсӧ тыртӧны ӧтса туйӧ босьтӧм площадёкӧн.	2. Фигура площадьёсыз меӵак мертан дыръя, 33 суред вылын возьматэм сямен площадез мертано, единица лыдо басьтэм площадкаосын тырмытыны кулэ.
Такой способ измерения можно применить при измерении небольших прямоугольных площадок; при измерении больших прямоугольных площадей, а также площадей других фигур способ непосредственного измерения неудобен.	Татшӧм нога мурталӧм позьӧ применитны веськыд пельӧса негырысь плӧщадьяс мурталігӧн; гырысь веськыд пельӧса плӧщадьяс, а сідзжӧ мукӧд фигураа плӧщадьяс мурталігӧн непосредственнӧй мурталӧм нуӧдны абу удобнӧ.	Сідз позьӧ меряйтны токо неыджыт веськытпельӧса площаддез, эта способӧн меряйтны ыджыт веськытпельӧса оз лӧсяв.	Таӵе мертан амалэн пичи шонер сэрегъем площадкаосыз гинэ быдэстыны луэ; бадӟым шонер сэрегъем площадьёсыз но мукет площадьёсыз мертаны умойтэм луэ.
Обычно пользуются иным способом — косвенным измерением, который сводится к измерению длины отдельных отрезков фигуры, ее сторон и некоторых вспомогательных линий, проводимых в фигуре; измерив длину отдельных линий фигуры, находят величину ее площади вычислением.	Тані вӧчӧны мӧд ногӧн — косвеннӧй мурталӧмӧн: мурталӧны фигура вундӧгъяслысь кузьтаяссӧ, сылысь доръяссӧ да ӧткымын вспомогательнӧй визьяс, кодъяс гижтыссьӧны фигураас; фигураыслысь торъя визьяссӧ мурталӧм бӧрын арталӧмӧн (вычислитӧмӧн) корсьӧны сылысь плӧщадьсӧ.	Сэк керӧны мӧднёж, косвеннӧй меряйтӧмӧн. Меряйтӧны яна фигура орӧтоккезлісь кузясӧ, сы бокись виззесӧ, кӧдія эмӧсь фигураас; нылісь кузя меряйтӧм бӧрын лыддьӧмӧн адззӧны площадьлісь ыждасӧ.	Уно дыръя мукет — косвенной мертан амалэн мертало, со фигура вандэтъёслэсь дуръёсызлэсь но, фигура пушкысь куд-ог юрттэт гожъёслэсь кузьдалазэс мертан луэ; фигураослэсь куд-ог гожъёссылэсь кузьдалазэс мертаса, солэн площадезлэсь бадӟымлыксэ лыдъямен шедьто.
§ 2. Площадь прямоугольника и квадрата.	2 §. Веськыдпельӧсалӧн да квадратлӧн плӧщадь.	§ 2. Веськыт пельӧслӧн да квадратлӧн площадь.	§ 2. Квадратлэн но прямоугольниклэн площадез.
1. Дан прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 6 см и AD = 4 см; требуется вычислить его площадь (рис. 34).	1. Сетӧма веськыдпельӧса ABCD, доръясыс сылӧн AB = 6 см да AD = 4 см; колӧ артавны сылысь плӧщадьсӧ (34-ӧд серпас).	1. Сетӧм ABCD веськытпельӧс, боккес кӧдіялӧн AB = 6 см да AD = 4 см; колӧ лыддьыны мый ыжда сылӧн площадьыс (34 рис).	1 ABCD прямоугольник АВ = 6 см но AD = 4 см дуръёсыныз сётэмын; солэсь площадьзэ лыдъяны кулэ (34 сур.).
Если разделить прямоугольник на поперечные полосы шириною в 1 см, то таких полос получится 6.	Веськыдпельӧсасӧ кӧ юкны 1 см пасьтаа вомӧна полосаяс вылӧ, сэтшӧм полосаыс лоӧ 6.	Янсӧтам кӧ веськытпельӧссӧ 1 см пасьта поперешнӧй оттэзӧн, то лоасӧ 6 от.	Прямоугольникез ваменак, пасьталаен 1 см-лы люкылӥд ке, соку 6 сыӵе полоса луоз.
Если затем разделить прямоугольник на продольные полосы шириною в 1 см, то получится таких полос 4, причем каждая поперечная полоса рассечется на 6 квадратов, весь же прямоугольник на 6 · 4 = 24 квадрата, каждый со стороною в 1 см и площадью в 1 кв. см; площадь прямоугольника ABCD равна 24 кв. см.	Сы бӧрти кӧ юкны веськыдпельӧсасӧ 1 см пасьтаа кузьмӧса полосаяс вылӧ, сэтшӧм полосаыс лоӧ 4, такӧд ӧттшӧтш быд вомӧна полоса вундысяс 6 квадрат вылӧ, а веськыдпельӧсаыс ставнас — 6 · 4 = 24 квадрат вылӧ. Быд квадратлӧн дорыс лоӧ 1 см кузьта, а плӧщадьыс 1 кв. см; ABCD веськыдпельӧсалӧн плӧщадьыс лоӧ 24 кв. см.	Сы бӧрын янсӧтам сійӧ 1 см пасьта дольнӧй оттэзӧн, сэк лоасӧ 4 от. Быд поперешнӧй отын лоас 1 квадрат, а веськытпельӧсын — 6 · 4 = 24 квадрат кӧдалӧн боккес 1 см ыждаӧсь площадёкыс лоис 1 кв. см ыжда, а ABCD веськытпельӧслӧн площадьыс 24 кв. см ыжда.	Собере прямоугольникез кузьдалаезъя пасьталаен 1 см люкид ке, соку 4 ог кадесь полосаос луоз но, кажной вамен полоса ваменак 6 квадратлы вандӥськоз, быдэс прямоугольник 6 · 4 = 24 квадрат луоз, котькудӥзлэн дурез 1 см но площадез 1 кв. см; ABCD прямоугольниклэн площадез 24 кв. см-лы ӵоша.
Выполнять такого рода построение каждый раз, когда надо измерить площадь какого-либо прямоугольника, излишне;	Быдысьӧн тадзи вӧчны, кор колӧ муртавны веськыдпельӧсалысь плӧщадьсӧ, нинӧмла.	Веськытпельӧс меряйтӧм уджын дыр лоӧ сідз керны;	Кыӵе ке прямоугольниклэсь площадьзэ мертан понна, сыӵе лэсьтэмен мертан мултэс луэ;
поэтому поступают так: измеряют в одноименных линейных единицах меры обе смежные стороны прямоугольника ABCD, из которых одна — АВ — называется основанием, а другая — AD — высотою прямоугольника, а затем перемножают полученные при измерении числа;	Вӧчӧны тадзи: мурталӧны ӧткодь муртаса линейнӧй линейкаӧн ABCD веськыдпельӧсалысь кык смежнӧй доръяссӧ, ӧтиыс на пиысь — AB — шусьӧ подувтасӧн, а мӧдыс — AD — судтаӧн, сэсся мурталігас лоӧм лыдъяссӧ ӧктӧны мӧда-мӧд вылас;	сысянь керӧны мӧднёж ABCD веськытпельӧслісь кыкнан боксӧ меряйтӧны визь мера ӧтсаэзӧн, кӧдалӧн AB ӧт бокыс шусьӧ подӧн, а мӧдыс, AD — сувдаӧн. Сыбӧрын босьтӧны подлісь лыддьӧссӧ сымдаись, мымда ӧтсаэс сувдаын,	соин ик лэсьто тазьы: ABCD прямоугольниклэсь кыкназэ ик артэ дуръёссэ мертало. Соос одӥгез — АВ — пыдэс нимаське, нош мукетэз — AD — ӝуждала. Соосыз одӥг нимо линейной мера единицаен мертало но мертаку шедьтэм лыдъёсыз унояло;
произведение этих чисел и определяет размер площади прямоугольника в квадратных единицах того же наименования.	тайӧ лыдъясыслӧн произведенньӧыс и петкӧдлӧ веськыдпельӧса плӧщадьлысь ыдждасӧ сійӧ жӧ нима квадратнӧй единицаясӧн.	сэк эта ӧксяныс квадрат ӧтса мераэзын и лоас веськытпельӧслӧн площадь.	та лыдъёслэн произведенизы прямоугольник площадьлэсь бадӟымлыксэ квадрато единицаосын тодытэ.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину или произведению его основания на высоту.	Веськыдпельӧсалӧн плӧщадьыс равняйтчӧ сійӧ кузьтаӧс пасьтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы, либӧ сійӧ подувтасӧс судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.	Веськытпельӧслӧн площадьыс лоас кузя паськыта вылӧ ӧксян ыжда, либо под да сувдаись ӧксян ыжда.	Прямоугольниклэн площадез аслаз кузьдалаезлэн но пасьталаезлэн произведениезлы ӵоша, яке солэн ик пыдэсэзлэн но пасьталаезлэн произведениезлы.
2. Если обозначить основание прямоугольника буквою а, его высоту — буквою h, а площадь — буквою S, то полученное правило для вычисления площади прямоугольника запишется сокращенно в виде формулы так:	2. Пасйыны кӧ веськыдпельӧсалысь подувтассӧ a шыпасӧн, сылысь судтасӧ — h шыпасӧн, а плӧщадьсӧ — S шыпасӧн, сэки веськыдпельӧсалысь плӧщадь арталан правилӧыс дженьыда гижсяс татшӧм формулаӧн:	2. Кӧр ми веськытпельӧслісь подсӧ пасъялам а шыпасӧн, сувдасӧ h шыпасӧн, а площадьсӧ 5 шыпасӧн, то веськытпельӧс площадь лыддьӧмсӧ гижӧны то кытшӧм формулаӧн: S = аh квадрат ӧтсаэз.	2. Прямоугольниклэсь пыдэссэ а букваен, ӝуждалазэ — h букваен, нош площадьзэ S ке пусъёно, соку прямоугольниклэсь площадьзэ лыдъян понна шедьтэм правило вакчияк таӵе формулаен гожтӥське:
S = ah квадратных единиц, т. е. площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.	S = ah квадратнӧй единица, мӧд ногӧн кӧ, веськыдпельӧсалӧн плӧщадьыс равнӧй сылысь подувтассӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.	Эта формулаыс лыддисьӧ: веськытпельӧслӧн площадь, под сувда вылӧ ӧксян ыжда.	S = ah квадрато единицаос, мукет сямен, прямоугольниклэн площадез солэн пыдэсэзлэн но ӝуждалаезлэн произведениезлы ӵоша.
3. Пример.	3. Пример.	3. Пример.	3. Пример.
Найти площадь двух прямоугольников — одного со сторонами 6 см и 8 см, другого со сторонами 10 см и 4,8 см (рис. 35).	Корсьны плӧщадь кык веськыдпельӧсалысь — ӧтиыслӧн доръясыс 6 см да 8 см, мӧдыслӧн 10 см да 4,8 см (35-ӧд серпас).	Колӧ адззыны кык веськытпельӧслісь площадь — ӧтыслӧн боккес 6 см и 8 см, а мӧдыслӧн — 10 см и 4,8 см (35 рис.)	Одӥгез 6 см но 8 см дуръем, мукетэз 10 см но 4,8 см дуръем — кык прямоугольникъёслэсь площадьзэс шедьтоно (35 сур.).
S₁ = 6 · 8 = 48 кв. см;	S₁ = 6 · 8 = 48 кв. см;	S₁ = 6 · 8 = 48 кв. см;	S₁ = 6 · 8 = 48 кв. см;
S₂ = 10 · 4,8 = 48 кв. см.	S₂ = 10 · 4,8 = 48 кв. см.	S₂ = 10 · 4,8 = 48 кв. см.	S₂ = 10 · 4,8 = 48 кв. см.
У обоих прямоугольников ABCD и KLMN оказались равные площади, хотя сами прямоугольники и не равны, так как при наложении одного на другой они не совпадут.	Кыкнан веськыдпельӧсаыслӧн — ABCD-лӧн да KLMN-лӧн — вӧлӧмаӧсь ӧтыджда плӧщадьяс, кӧть асьныс веськыдпельӧсаясыс и абу ӧтыдждаӧсь, ӧтисӧ мӧд вылас пуктігӧн найӧ оз вевсясьны.	ABCD и KLMN кык веськытпельӧслӧн площаддес ӧтыждаӧсь, а асьныс нія не ӧткодьӧсь, ӧтамӧд вылӧ пуктікӧ нія оз ӧтлаасьӧ.	Кыкез ик — ABCD но KLMN прямоугольникъёслэн, асьсэос прямоугольникъёс ог кадесь ке но ӧй вал, площадьёссы ӵошазы, нош соосыз огзэсты огзы вылэ поныса уз ӵошалэ.
Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются равновеликими.	Ӧтыджда плӧщадя фигураяс шусьӧны равновеликӧйясӧн.	Фигураэс, кӧдналӧн площаддес ӧтыждаӧсь, шусьӧны ӧтыждакодь фигураэзӧн.	Площаденызы ог кадь луэм фигураосыз ог быдӟалаесь шуыса нимало.
abu	Фигураяс, кодъяс мӧда-мӧд выланыс вевсясьӧны, шусьӧны ӧткодьясӧн (равнӧйясӧн). Ӧткодь фигураяс тшӧтш и равновеликӧйӧсь.	abu	abu
4. Формула для вычисления площади квадрата получается из формулы площади прямоугольника, так как квадрат есть прямоугольник, у которого все стороны равны.	4. Квадратнӧй плӧщадь арталӧм вылӧ формулаыс петӧ веськыдпельӧса плӧщадь формулаысь сы вӧсна, мый квадрат эм веськыдпельӧса жӧ, кодлӧн став дорыс ӧтыджда.	4. Сысянь, мый квадратыс эм веськытпельӧс, кӧдіялӧн быд бок ӧтыждаӧсь, квадрата площадь лыддян понда формулаыс аркмӧ веськытпельӧс формулаись.	4. Квадрат — прямоугольник луэмен, квадратлэсь площадьзэ лыдъян формула прямоугольниклэн площадь формулаысьтыз потэ.
Ширина квадрата равна его длине или высота равна его основанию, следовательно, площадь S квадрата равна а · а = а², где а — основание.	Квадратлӧн пасьтаыс ӧтыджда кузьтаыскӧд, либӧ сылӧн судтаыс ӧтыджда сійӧ подувтаскӧд; сідзкӧ S квадратлӧн плӧщадь лоӧ a · a = a², кӧні a-ыс лоӧ подувтасӧн.	Квадратлӧн пасьтаыс ӧтыжда кузякӧт либо сувдаыс ӧтыжда подкӧт. Сысянь квадратлӧн площадьыс лоӧ а · а = а², кытӧн а — под.	Квадратлэн пасьталаез солэн кузьдалаезлы ик ӵоша яке ӝуждалаез аслаз пыдэсэзлы ӵоша, озьы бере квадратлэн S площадез тазьы ӵоша а · а = а² татын а — пыдэс луэ.
Итак, S = а² квадратных единиц.	Сідзкӧ S = a² квадратнӧй единица.	Гижсьӧ эта сідз: S = а² квадрат ӧтсаэз.	Озьы, S = а² квадрато единицаос.
Эта формула читается так: площадь квадрата равна квадрату его стороны.	Тайӧ формулаыс лыддьыссьӧ тадзи: квадратлӧн плӧщадьыс равнӧй сійӧ дор квадратлы.	Формулаыс лыддисьӧ то кыдз: Квадратлӧн площадьыс ӧтыжда сы бок квадраткӧт.	Та формула тазьы лыдӟиське: квадратлэн площадез аслэсьтыз дуръёссэ квадратлы басьтыса ӵоша.
5. Задача 1.	5. 1 задача.	5. Задача 1.	5. 1 задача.
Вычислить площадь прямоугольного участка земли со сторонами в 375 м и 280 м.	Артавны плӧщадь веськыдпельӧса му пластлысь, кодлӧн доръясыс лоӧны 375 м да 280 м.	Лыддьӧ площадь веськытпельӧса формаа му участоклісь, боккез кӧдалӧн 375 м и 280 м.	375 м но 280 м дуръем шонер сэрегъем музъем участоклэсь площадьзэ лыдъяно.
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
S = ah = 375 · 280 = 10500 кв. м = 105 а.	S = ah = 375 · 280 = 105 000 кв. м = 1050 а.	S = аh = 375 · 280 = 10 500 кв. м = 105 а.	S = ah = 375 · 280 = 10 500 кв. м = 105 а.
Задача 2.	2 задача.	Задача 2.	2 задача.
Определить площадь квадрата, периметр которого, т. е. сумма всех его сторон, составляет 22 м.	Корсьны плӧщадь квадратлысь, кодлӧн периметрыс, мӧд ног кӧ став доръясыслӧн суммаыс, лоӧ 22 м.	Лыддьӧ квадратлісь площадь, кӧдалӧн периметрыс (быд боклӧн ӧтлас) 22 м кузя.	Квадратлэн вань дуръёсызлэн суммаез, мукет сямен, периметрез 22 м. Квадратлэсь площадьзэ тодоно.
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Обозначим искомую сторону квадрата через х.	Пасъям корсян дорсӧ квадратлысь x-ӧн.	Пасъялам квадратлісь кошшан боксӧ х шыпасӧн.	Квадратлэсь утчано дурзэ х-эн пусъём.
По условию задачи периметр Р = 4х = 22 м, отсюда x = 22/4 = 5,5 м.	Задачаас индӧм серти периметрыс P = 4х, 4х = 22 м, татысь x = 22/4 = 5,5 м.	Задача условие сьӧрті периметра P = 4х = 22 м, сысянь х = 22/4 = 5,5 м.	Задачалэн условиезъя периметрез тазьы луэ: Р = 4 x = 22 м, татысен х = 22/4 = 5,5 м.
Зная сторону квадрата, определяем его площадь: S= x² = 5,5² = 30,25 м².	Квадратлысь дорсӧ тӧдмалӧм бӧрын, тӧдмалам сылысь плӧщадьсӧ: 5 = х² = 5,5² = 30,25 м².	Тӧдам кӧ квадратлісь боксӧ, вермам адззыны сылісь площадь: S= х² = 5,5² = 30,25 м².	Квадратлэсь дурзэ тодыса, солэсь площадьзэ тодӥськом: 5 = х² = 5,5² = 30,25 м².
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Что значит измерить площадь фигуры?	1. Мый сійӧ лоӧ муртавны фигуралысь плӧщадь?	1. Мый сія лоӧ фигуралісь площадь меряйтӧм?	1. Мар со фигура площадез мертан?
2. Какова длина стороны квадрата, площадь которого равна: 1) 1 а и 2) 1 га?	2. Ыджыд-ӧ лоӧ кузьтаыс квадрат дорлӧн, плӧщадьыс кӧ сылӧн: 1) 1 а да 2) 1 га?	2. Кузь я квадратлӧн бокыс, кӧдалӧн площадьыс: 1) 1 а и 2) 1 га ?	2. Квадратлэн площадез: 1) 1а но 2) 1 га ке, квадрат дурлэн кыӵе кузьдалаез?
3. В чем заключается непосредственное и косвенное измерение площади фигуры?	3. Мыйын заключайтчӧ фигура плӧщадьӧс непосредственнӧя да косвеннӧя мурталӧмыс?	3. Мый лоӧ веськыта и боксянь фигуралісь площадь меряйтӧм.	3. Мар со фигура площадьёсыз меӵак но косвенно мертан?
4. Как изменится площадь прямоугольника, если его основание а оставить без изменения, высоту же h: 1) увеличить в 2 раза, 2) уменьшить в 3 раза?	4. Кыдзи вежсяс веськыдпельӧсалӧн плӧщадьыс, a подувтассӧ кӧ сылысь кольны вежтӧг, а h судтасӧ: 1) ыдждӧдны 2 пӧв, 2) ичӧтмӧдны 3 пӧв?	4. Кыдз веськытпельӧслӧн вежсяс площадь, а подсӧ колям одззасӧ, а h сувдасӧ 1) босьтам 2 сымда, 2) чинтам 3 сымда.	4. Прямоугольник площадьлэсь а пыдэссэ воштытэк, А ӝуждазэ: 1) 2 пол будэтӥд ке, 2) 3 пол кулэстӥд ке, кызьы солэн площадез воштӥськоз?
5. От скольких величин зависит площадь прямоугольника? квадрата?	5. Кымын величинаысь зависитӧ плӧщадьыс веськыдпельӧсалӧн? квадратлӧн?	5. Кыным ыждаэзісь лоӧ веськыт пельӧслӧн площадь? Квадратлӧн площадь?	5. Кӧня быдӟалаослэсь прямоугольниклэн площадез герӟаське? Нош квадратлэн?
6. Почему равные фигуры также равновелики?	6. Мыйла ӧткодь фигураяс сідзжӧ и ӧтыдждаӧсь (равновеликӧйӧс)?	6. Мыля ӧткодь фигураэз и ӧтыждаӧсь?	6. Малы ог кадь фигураос озьы ик ог быдӟалаесь?
7. Вычислить площадь прямоугольника, если даны:	7. Артавны плӧщадь веськыдпельӧсалысь, сетӧма кӧ:	7. Лыддьӧ веськыт пельӧслісь площадь, кӧр боккез то мый кузяӧс:	7. Улӥ пусъем лыдъёс сётэмъя прямоугольник, площадез лыдъяно:
№ 1 2 3 4 5 6	№	1 2 3 4 5 6	№ 1 2 3 4 5 6
а 4,5 см 2 м 12 см 1 см 6 мм 0,48 м 100 м 2 км 75 м	Подувтас a	а 4,5 см 2 м 12 см 1 см 6 мм 0,48 м 100 м 2 км 75 м	а 4,5 см 2 м 12 см 1 см 6 мм 0,48 м 100 м 2 км 75 м
h 3 см 1 м 5 см 0,70 см 35 см 250 м 1 км 40 м	Судта h	h 3 см 1 м 5 см 0,70 см 35 см 250 м 1 км 40 м	h 3 см 1 м 5 см 0,70 см 35 см 250 м 1 км 40 м
8. Участок земли имеет форму прямоугольника.	8. Му пласт — веськыдпельӧса формаа.	8. Му участоклӧн эм веськытпельӧса форма.	8. Музъем участоклэн прямоугольник кадь тусэз.
Вычислить его площадь в арах, если известно, что его стороны равны 280 м и 360 м.	Артавны сылысь плӧщадьсӧ аръясӧн, дор бокъясыс кӧ сылӧн лоӧны 280 м да 360 м.	Боккес сылӧн 280 м и 360 м кузяӧсь, лыддьӧ аррезӧн сылісь площадьсӧ.	Солэн дуръёсызлэн 280 м но 360 м ӵошамзы тодмо ке, солэсь площадьзэ арен тодоно.
9. Какой длины должен быть прямоугольный участок земли при ширине в 160 м, если им заменить участок квадратной формы со стороною в 200 л?	9. Кузь-ӧ колӧ лоны 160 м пасьта веськыдпельӧса му пласт, вежны кӧ сійӧн квадратнӧй формаа 200 м бока му пласт?	9. Мый кузя лоас 160 м пасьта веськытпельӧса му участок, кӧр площадьыс сылӧн лоас квадрата 200 м площадь ыжда?	9. Пасьталаен 160 м шонер сэрегъем музъем участокез квадрат тусо 200 м дуро участокен воштӥд ке, мар кузя луоз шонер сэрегъем участок?
10. Два равновеликих участка земли надо обнести забором; один из участков имеет форму квадрата со стороною в 150 м, другой — форму прямоугольника, одна сторона которого равна 100 м.	10. Колӧ потшны кык ӧтгырся (равновеликӧй) му пластъяс; ӧти му пластыс квадратнӧй формаа, дорыс сылӧн 150 м кузьтаа; мӧдыс веськыдпельӧса формаа, ӧтар дорыс сылӧн 100 м кузьта.	10. Ӧтыжда кык му участок колӧ йӧрйыны заборӧн; ӧт участокыс квадрат кодь 150 м кузя бокӧн, мӧдыс — веськытпельӧс формаа, бокыс кӧдалӧн 100 м кузя.	10. Кык ог быдӟала музъем участокъёсыз заборен котыртоно; одӥгез соос пӧлысь квадрат тусо но дурез 150 м, мукетэз — прямоугольник тус, нош солэн дурез 100 м ӵоша.
Вычислить, на каком участке забор будет длиннее и на сколько?	Артавны, код му пласт вылас потшӧсыс лоӧ кузьджык да унаӧн-ӧ?	Лыддьӧ, кӧдія участокын унаӧн я заборыс лоас кузьжык?	Лыдъяно, куд участокын кӧнялы забор кузь луоз.
11. Вычислить отдельные величины, входящие в формулу площади прямоугольника S = ah, если дано:	11. Артавны веськыдпельӧса плӧщадь S = аh формулаӧ пырысь торъя величинаяссӧ, сетӧма кӧ:	11. Адззӧ янісь лыддьӧссэсӧ, кӧдна пырӧны веськыт пельӧс площадь S = аh формулаӧ, кӧр сетӧм:	11. Улӥ сётэм лыдъёсъя прямоугольник площадьлэн S = ah формулаяз нимаз пырись быдӟалаосыз лыдъяно:
№ 1 2 3 4 5	№	1 2 3 4 5	№ 1 2 3 4 5
а 8 см 1 м 25 см ? 18 см 5 мм 74 м	Подувтас a	а 8 см 1 м 25 см ? 18 см 5 мм 74 м	а 8 см 1 м 25 см ? 18 см 5 мм 74 м
h 7 см ? 2,5 мм 10 см 4 мм ?	Судта h	h 7 см ? 2,5 мм 10 см 4 мм ?	h 7 см ? 2.5 мм 10 см 4 мм ?
S ? 3725 см² 10 мм² ? 37 а	Плӧщадь S	S ? 3 725 см² 10 мм² ? 37 а	S ? 3725 см² 10 мм² ? 37 а
12. Найти сторону квадрата, площадь которого равна: 1) 36 кв. м; 2) 225 кв. см; 3) 1,44 кв. м.	12. Корсьны дорсӧ квадратлысь, плӧщадьыс кӧ сылӧн: 1) 36 кв. м; 2) 225 кв. см; 3) 1,44 кв. м.	12. Адззӧ, мый кузя квадратлӧн бокыс, площадьыс кӧ сылӧн то мый ыжда: 1) 36 кв. м 2) 225 кв. см 3) 1,44 кв. м.	12. Квадратлэн площадез:) 1) 36 кв. м; 2) 225 кв. см; 3) 1,44 кв. м ӵоша ке, квадратлэсь дурзэ шедьтоно.
13. Вычислить световую площадь окна прямоугольной формы, размеры которого 0,8 м и 1,6 м, причем оконный переплет составляет 4,2% всей площади окна.	13. Артавны югыд сетан плӧщадьсӧ веськыдпельӧса формаа ӧшиньлысь, кодлӧн ыдждаыс лоӧ 0,8 м да 1,6 м, а ӧшиньтасъясыс став ӧшинь плӧщадьсьыс босьтӧны 4,2%.	13. Лыддьӧ, ыджыт я веськытпельӧс форма кодь ӧшынлӧн стекло площадь, кӧдалӧн 1,6 м сувдаыс и 0,8 м пасьтаыс. Быдса ӧшын площадись рама вылӧ усьӧ 4,2%	13. Шонер сэрегъем тусо укнолэн мертанъёсыз 0,8 м но 1,6 м, нош вань укнолэн площадезлэсь 4,2% кечат лэсьтэм рамаос басьто, сыӵе укнолэсь югыт сётӥсь площадьзэ лыдъяно.
14. Площадь окон классной комнаты должна составлять одну пятую площади пола.	14. Класснӧй комнатаын ӧшиньяслӧн плӧщадьыс колӧ лоны ӧти витӧд юкӧн джодж плӧщадьысь.	14. Велӧтчан жырын ӧшыннэзлӧн площадьыс босьтӧ джодж площадьлісь витӧт тор.	14. Дышетскон класс висъёслэн укно площадез выжлэн площадезлы витьмослэн одӥг люкетэз луыны кулэ.
Проверить, соответствует ли указанной норме световая площадь окон вашего класса.	Проверитны, лӧсялӧ-ӧ индӧм нормаыслы тіян классын ӧшиньясыслӧн югыд сетан плӧщадьыс.	Проверитӧ, эм я ӧшыннэзлӧн сы норма ыжда площадьыс тіян велӧтчан жырын.	Эскероно, тӥляд классады укнодылэн югыт сётӥсь площадез возьматэм нормая тырме-а.
Если нет нормы или она превышена, то как велико отклонение от нормы?	Абу кӧ нормаыс либӧ сыысь унджык, сэк ыджыд-ӧ лоӧ нормасьыс вешйӧмыс?	Абу кӧ, то мымда унажык, либо етшажык?	Нош норма ке ӧвӧл, яке нормалэсь бадӟым ке, соку нормалэсь палдурскемез кыӵе луоз?
§ 3. Прямоугольные диаграммы.	3 §. Веськыдпельӧса диаграммаяс.	§ 3. Веськытпельӧса диаграммаэз.	§ 3. ШОНЕР СЭРЕГЪЕМ ДИАГРАММАОС.
Для наглядного изображения числовых зависимостей между величинами и явлениями общественной жизни пользуются различного рода диаграммами.	Общественнӧй олӧмын да природа явленньӧясын величинаяс костысь зависимосьтъяссӧ син водзӧ шыбитчанаӧнджык петкӧдлӧм могысь пӧльзуйтчӧны разнӧй сикаса диаграммаясӧн.	Кӧр колӧ ятнӧйжыка тшӧтшӧтны кытшӧм либо лыддьӧссэз мыччассэзісь и общество оланісь, пользуйтчӧны быдкодь диаграммаэзӧн.	Быдӟалаос но общественной улон явлениос куспысь лыд герӟаськемъёсысь син азьын возьматон понна пӧртэм диаграммаос лэсьто.
1. Основная задача диаграммы состоит в том, чтобы при помощи чертежа сравнить несколько числовых данных.	Основнӧй могыс диаграммалӧн сыын, медым ӧтластитны некымын сетӧм лыд.	1. Диаграммаэз одзын сулалӧ основнӧй задача, медбы чертёжӧн тшӧтшӧтны сетӧм лыддьӧссэз.	1. Диаграммалэн кулэлыко ужез сыӵе: — сое суредаса кӧня ке сётэм лыдъёсыз ӵошато.
Рассмотрим столбчатые или прямоугольные диаграммы.	Видлалам столбика либӧ веськыдпельӧса диаграммаясӧс.	Видзӧтам столбоккез кодь либо веськыт пельӧс кодь диаграммаэз.	Юбоен яке шонер сэрегъем диаграммаосыз эскером.
Для изображения величин при помощи прямоугольных диаграмм берутся прямоугольники с одинаковыми основаниями, но разными высотами; высота отдельных прямоугольников будет тем больше, чем больше изображаемая ею величина.	Веськыдпельӧса диаграммаясӧн лыдъясӧс (величинаясӧс) петкӧдлӧм могысь босьтӧны ӧткодь подувтаса, но разнӧй судтаа веськыдпельӧса фигураяс; судтаыс торъя веськыдпельӧсаяслӧн лоӧ сымын ыджыд, кымын ыджыд сійӧн петкӧдлан лыдыс (величинаыс).	Медбы веськытпельӧса диаграммаэзӧн мыччавны ыждаэз, босьтӧны ӧтыжда пода, но не ӧтыжда сувдаа веськыт пельӧссэз. Яна веськыт пельӧссэзлӧн сувдаыс лоас ыджытжык, кӧр сійӧн кӧ мӧдӧны мыччавны ыджытжык ыжда.	Быдӟалаосыз шонер сэрегъем диаграммаен возьматыку ог кадесь пыдэсъем но пӧртэмесь ӝуждалаен шонер сэрегъем юбоос суредась-но; быдӟалалэн бадӟымезъя нимаз шонер сэрегъем юбоослэн ӝужытсы йылэ.
Лист, на котором вычерчивается диаграмма, ограничен в своих размерах, поэтому высоту прямоугольника откладывают в таком масштабе, чтобы наибольшая из величин, которые надо изобразить на диаграмме, могла уложиться на взятом листе.	Бумага листыд, кытчӧ чертитӧны диаграммасӧ, размеръяснас ограничитӧма, сы понда веськыдпельӧсалысь судтасӧ босьтӧны сэтшӧм масштабӧн, медым медся ыджыд лыдыс (величинаыс), кодӧс колӧ петкӧдлыны диаграмманас, тӧрис бумага лист вылӧ.	Диаграммаэз чертитікӧ бӧрйӧны сэтшӧм масштаб, ыждаыс кӧдалӧн медыджыт, и тӧрас босьтӧм гижӧт лист вылӧ.&	Диаграмма суредын бумага лис бадӟым уг сётӥськы, соин ик басьтэм лис вылэ диаграммаез интыян понна самой бадӟым быдӟалаез лис вылэ интыян вылысь масштабен тупатыса ӝуждалазэ но пасьталазэ пусйыло.
Числовые данные откладываются на диаграмме обычно в каком-либо масштабе, поэтому для удобства пользования диаграммой нередко изображают на ней также и масштаб.	Сетӧм лыдъяссӧ петкӧдлӧны диаграмма вылын кутшӧмкӧ масштабӧн; сы вӧсна, медым кокньыдджык вӧлі гӧгӧрвоны диаграммасӧ, сы вылӧ тшӧкыда пасйӧны тшӧтш и масштабсӧ.	Диаграмма вылас сетӧм лыддьӧссэсӧ тэчӧны кытшӧм либо масштабӧн, сысянь диаграмма дынас сетӧны масштаб.	Диаграммалэн сётэм лыдъёсыз диаграммае масштабен пусйылӥсько, соин ик диаграммаез тодонэз лякытатон понна, диаграмма вылэ масштабзэ но суредало.
Прямая, на которой расположены основания всех прямоугольников, называется осью диаграммы.	Веськыд визьыс, код вылын лоӧны подувтасъясыс став веськыдпельӧсаясыслӧн, шусьӧ диаграмма чӧрсӧн (осьӧн).	Веськытпельӧссэзлісь поддэсӧ тэчӧны веськыт визь вылӧ. Сэтшӧм веськыт визьыс шусьӧ диаграмма осьӧн	Диаграммалэн шонер сэрегъем юбоосыз ас пыдэсъёсынызы шонер гож вылэ интыямын, со шонер гож, — диаграмма черс шуыса нимаське.
2. Часто на диаграммах изображают не самые числа, характеризующие то или иное явление, а процентные отношения между ними.	2. Диаграммаяс вылын тшӧкыда пасйӧны оз лыдъяссӧ, кодъяс петкӧдлӧны тайӧ явленньӧсӧ, а на костысь прӧчентнӧй отношенньӧяссӧ.	2. Уна овлӧ и сідз, кӧр диаграмма вылас лыддьӧссэсӧ оз гижӧ, а гижӧны токо нылісь процента тшӧтшӧттэз.	2. Диаграмма вылэ ӵем дыръя самой возьматӥсь лыдъёсыз пуктытэк соос куспысь процентсэ ӵошатытонъёсыз гинэ пукто.
3. На рисунке 36 дана диаграмма численности книг библиотеки по отдельным вопросам.	3. 36-ӧд серпас вылын сетӧма торъя вопросъяс кузя библиотекаын книга лыдъяслысь диаграмма.	3. 36 рисунок вылын сетӧм диаграмма, уна я библиотека мукӧд юкӧттэзын книгаэз.	3. 36 суредын мукет-мукет юанъёсын лыдӟон коркась книгаосыз возьматыса диаграмма сётэмын.
Так, число книг по вопросам общественно-политическим равно 9250, по технике равно 8300, по вопросам естественно-научным равно 6500, по сельскому хозяйству равно 3100.	Сідз, общественно-политическӧй вопросъяс кузя книга лыдыс лоӧ 9250, техника кузя 3100.&	Сідз, книгаэз общественно-политическӧй юкӧтын — 9 250, техника юкӧтын — 8300, природа тӧдмалан юкӧтын — 6500, сельскохозяйственнӧй юкӧтын — 3 100.	Общественно-политической книгаос 9250 книгалы ӵошатыса возьматэмын, техника сярысь 8300 книгалы ӵошало, инкуазь наука книгаос 6500, сельской хозяйство уж книгаосыз 36 0 ӵошало.
Для удобства пользования диаграммой около каждого прямоугольника проставляют числа, с указанием единиц, в которых они выражены.	Медым удобнӧджык вӧлі пӧльзуйтчыны диаграмманас, быд веськыдпельӧса дінӧ пасйӧны лыдъяссӧ да тшӧтш индӧны, кутшӧм единицаясӧн найӧс босьтӧма.	Медбы кокнитжык вӧлі лыддьыны диаграммасӧ, быд веськыт пельӧс дынӧ висьталӧм ӧтсаэзӧн гижӧны лыддьӧссэз.	Диаграммалэсь лыдӟонэз капчиятыны вочакез шонер сэрегъем юбоос котыре возьматэм единицаосыз гожто.
4. Задача.	4. Задача.	4. Задача.	4 Задача.
На заводе работает 825 рабочих мужчин, 350 женщин и 75 подростков.	Заводын уджалӧны 825 рабочӧй-мужчина, 350 нывбаба да 75 — томулов.	Заводын уджалӧны 825 мужик, 350 инька да 75 подросток.	Заводын 825 пиосмуртъёс ужало, 350 нылкышноос, 75 мурт егит нылпиос (<rus>подростки</rus>) ужало.
Показать на диаграмме процентное соотношение числа мужчин, женщин и подростков на данном заводе.	Петкӧдлыны диаграмма вылын, кыдзи прӧчент серти юксьӧны тайӧ заводас рабочӧй-мужчинаяс, нывбабаяс да томулов.	Мужик, инька да подростоккез йылісь лыддьӧссэсӧ колӧ мыччавны процент тшӧтшӧттэзӧн.	Процентной ӵошатонэн диаграмма вылын со заводын ужасьёсыз возьматоно.
abu	abu	abu	Ужасьёс
Число	Лыд	Лыддьӧс	Лыд
Процент к итогу	Ставыс прӧчент	Проценттэзӧн	Огазеямезлы процент.
Мужчины .... 825 66	Мужчинаяс ....	Мужиккез 825 66	Пиос .... 825 66
Женщины .... 350 28	Нывбабаяс ....	Инькаэз 350 28	Нылкышноос .... 350 28
Подростки .... 75 6	Томулов ....	Подростоккез 75 6	Нылпиос .... 75 6
Итого .... 1250 100%	Ставыс ....	Быдӧсыс 1 250 100%	Ваньмыз .... 1250 100%
Берут прямоугольник произвольной ширины и высотою в 100 каких-либо единиц, положим 100 мм; тогда 66% соответствуют 66 мм, 28% — 28 мм и 6% — 6 мм.	Босьтӧны веськыдпельӧса (пасьтанас сійӧ вермас лоны кӧть кутшӧм), а судтанас кутшӧмкӧ 100 единица, шуам 100 мм; сэки 66%-ыс 66 мм, 28% — 28 мм да 6% — 6 мм.	Босьтӧны 100 ӧтсаа кытшӧм либо пасьта да сувда веськыт пельӧс, шуам 100 мм; сэк 66 мм-ись 66% ыжда, 28 мм 28% ыжда и 6 мм — 6% ыжда.	Пасьталаен эркын прямоугольник басьто но ӝуждалазэ 100 кыӵе ке единицаосын басьто, кылсярысь 100 миллиметр, соку 66% — 66 мм, 28% — 28 мм, 6% — 6 мм ӵошало.
Эти размеры и откладывают по высоте прямоугольника.	Тайӧ размеръяссӧ и пукталӧны веськыдпельӧса судта вылас.	Энӧ размерресӧ тэчӧны веськыт пельӧс сувда кузя.	Та лыдъёсыз прямоугольниклэн ӝуждала кузяз пусйыло,
Получается диаграмма-рисунок.	Артмӧ диаграмма-серпас.	Сідз лоӧ диаграмма-рисунок.	собере суред-диаграмма пӧрме.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ	Юанъёс но ужъёс.
1. Почему изображаемые на диаграмме величины откладываются в определенном масштабе?	1. Мыйла диаграмма вылын петкӧдлан лыдъясыс (величинаяс) пасйыссьӧны кутшӧмкӧ определённӧй масштабӧн?	1. Мыля диаграммаэсӧ чертитӧны сетӧм масштабӧн?	1. Малы диаграмма вылын быдӟалалыкъёс нимысьтыз масштабен пусйылӥсько?
2. Изобразить в виде прямоугольной диаграммы состав класса по полу (мальчики и девочки) и по социальному происхождению (дети рабочих, крестьян, служащих, прочих).	2. Петкӧдлыны веськыдпельӧса диаграммаӧн класслысь составсӧ пол серти (зонъяс да нывъяс) да социальнӧй происхожденньӧ серти (рабочӧйяслӧн, крестьяналӧн, служащӧйяслӧн, мукӧдлӧн (прочӧйяслӧн) челядь).	2. Чертитӧ веськытпельӧс кодь диаграмма, уна я (нывкаэз, зонкаэз) велӧтчан жырын. Уна я (рабочӧй, крестьяна и служащӧй пияннэз) социальнӧй чужӧм сьӧрті.	2. Группаысьтыды, диаграммаен нылъёсыз но пиосыз, ужасьёслэсь, кресьянъёслэсь но мукет пиналъёсыз возьматэ.
3. Построить диаграмму для иллюстрации среднего числа дней в году, когда возможны в отдельных районах полевые работы, по следующим данным: Крым — 335 дней; Кавказ — 280 дней; Киевский район — 240 дней; Московский район — 220 дней; Архангельский район — 185 дней.	3. Вӧчны диаграмма, медым сійӧн петкӧдлыны вогӧгӧръя шӧр лун лыдсӧ, кор торъя районъясын позьӧ нуӧдны мувыв уджъяс, татшӧм даннӧйяс серти: Крым — 335 лун; Кавказ — 280 лун; Киевскӧй район — 240 лун; Московскӧй район — 220 лун; Архангельскӧй район — 185 лун.	3. Керӧ диаграмма, кыным лун воись позьӧ уджавны ыббез вылын сетӧм лыддьӧссэз сьӧрті: Крымын — 335 лун; Кавказын — 280 лун; Киев районын — 240 лун; Москва районын — 220 лун; Архангельск районын — 185 лун.	3. Нимаз районъёсын бусы уж нуыны луоно нуналъёслэсь ар куспын шорлыдзэс возьматыны сётэм лыдъёсъя диаграмма лэсьтоно Крымын — 335 нунал, Кавказын — 280 нунал, Киевской районын — 240 нунал, Москва районын — 220 нунал, Архангельск районын 185 нунал. Со нуналъёсыз диаграммаен возьматоно.
4. Изобразить в виде диаграммы успеваемость учащихся вашей группы, всей школы в целом, по отдельным предметам.	4. Петкӧдлыны диаграммаӧн тіян группаын велӧдчысьяслысь, став школаса велӧдчысьяслысь велалӧмсӧ торъя предметъяс кузя.	4. Чертитӧ диаграмма, кыдз тіян группаын, быдса школаын, быд предметтэз кузя ештӧны велӧтчиссез.	4. Асьтэ группадылэсь, быдэс школаысь дышетскисьёслэсь котькуд предметъя тодэмлыксэс диаграммаен возьматэ.
5. Использовать цифровые данные, публикуемые в газетах, о ходе посевной кампании и сборе урожая по отдельным районам, добыче угля и нефти, выплавке чугуна, выпуске машин и т. п. и изобразить в виде диаграмм данные за определенный промежуток времени.	abu	5. Газеттэзісь босьтӧ цифраэз: кӧдзан кад мунӧм понда, урожай понда районнэзісь, из шом да нефть шедтӧм понда, чугун понда, машинаэз керӧм понда и с. одз. И ны сьӧрті чертитӧ диаграммаэз.	5. Ю-нянь кизён, бусыысь ю-нянь октон, эгыр но нефта поттон, чугун кисьтон, машина поттон сярысь но мукет ог дыр кусыпысь лыдъёсыз газетъёсысь басьтыса диаграмма лэсьтон уже пыртэ.
IV. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЕМ КУБА И ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА.	IV. КУБЛӦН ДА ВЕСЬКЫДПЕЛЬӦСА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЛӦН ВЕРКӦС ДА ОБЪЁМ.	IV. ВЕСЬКЫТПЕЛЬӦСА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЛӦН, КУБЛӦН ВЕВДӦР ДА ОБЪЁМ.	IV. КУБЛЭН НО ШОНЕР СЭРЕГЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЛЭН ВЫЛТЫРЕЗ НО ОБЪЁМЕЗ.
§ 1. Развертка и поверхность куба и прямоугольного параллелепипеда.	1 §. Кублӧн да веськыдпельӧса параллелепипедлӧн павтыртас да веркӧс.	§ 1. Веськытпельӧса параллелепипедлӧн, кублӧн вевдӧр да развёртка.	§ 1. Кублэн но шонер сэрегъем параллелепипедлэн сэрттэмез но вылтырез.
1. Развертка куба получается, если расположить все грани куба в одной плоскости, как это показано на рисунке 37.	1. Кублӧн павтыртас (развёртка) лоӧ сэки, кор кубыслысь став граньсӧ лоӧ пуктӧма ӧти плоскосьт вылӧ, кыдзи сійӧ петкӧдлӧма 37-ӧд серпас вылын.	1. Кыдз мыччалӧм 37 рисунокын, кубсӧ граннезнас паськӧтам ӧтік плоскость вылӧ, лоас кублӧн развёртка.	1. Кублэсь вань граньёссэ одӥг ӵошкес вылэ 37 суредын возьматэм сямен интыяд ке, кублэн сэрттэтэз шедёз.
Развертка куба есть фигура, составленная из шести одинаковых квадратов, которые можно различным образом расположить на плоскости, как это видно из рисунка 38.	Кублӧн павтыртас — сійӧ лоӧ фигура, коді артмӧ квайт ӧткодь квадратысь; квадратъяссӧ позьӧ разнӧй ногӧн пуктавны плоскосьт вылас, кыдзи сійӧ тыдалӧ 38-ӧд серпасысь.	Кыдз тыдалӧ 38 рисунокись, кублӧн развёрткаыс эм фигура, ӧтлаӧтӧм ӧтыжда квать квадратісь, кӧднійӧ не ӧтнёж позьӧ пуктыны плоскость вылӧ.	Кублэн сэрттэтэз куать ог кадь квадратъёсын пӧрмытэм фигура луэ, нош соосыз ик 33 суредын сямен ӵошкес вылэ пӧртэм амалэн интыяны луэ.
2. Развертка куба дает наглядное представление как о боковой поверхности куба, так и о его полной поверхности.	2. Кублӧн павтыртасыс син водзын петкӧдлӧ кублысь бокӧвӧй веркӧссӧ, сідзжӧ и сылысь став веркӧссӧ.	2. Кубись развёртка сьӧрті буражык позьӧ тӧдны кыдз боккез, сідз и кублісь быдса вевдӧрсӧ.	2. Кублэн сэрттэтэз кублэсь урдэс вылтырзэ но быдэс вылтырзэ туж усто асьмелы возьматэ.
Боковая поверхность куба есть сумма площадей четырех боковых его граней, из которых каждая есть квадрат.	Бокӧвӧй веркӧсыс кублӧн — сійӧ лоӧ нёль бокӧвӧй граньяс плӧщадьлӧн сумма, а быд грань лоӧ квадрат.	Кублӧн бокись вевдӧр площадь лоӧ бокись нёль граньлӧн ӧтлас, кытісь быд площадьыс квадрат кодь.	Кублэн урдэс вылтырез, квадрат 4 урдэс граньёслэн площадь суммазы луэ.
Если ребро куба равно а сантиметрам, то площадь одной грани составит а², и боковая поверхность куба Sб будет равна 4а²: Sб = 4а² кв. см.	Куб дорышыс кӧ лоӧ a сантиметр кузьта, сэки ӧти граньлӧн плӧщадьыс лоӧ a², а кублӧн бок веркӧсыс Sb лоӧ 4a²: Sb = 4a² кв. см.	Кӧр кублӧн ӧтік дорыш а сантиметра ыжда, то граньлӧн площадьыс лоас а² и Sб кублӧн бокись вевдӧрыс лоас 4а²: Sб = 4а² кв. см.	Кублэн одӥг урдэз а сантиметрлы ке ӵоша, соку одӥг граньлэн площадез а² ӵошалоз, нош кублэн урдэс вылтырез Sб 4а² ӵошалоз: Sб = 4 а² кв. см.
Чтобы найти полную поверхность куба, нужно к его боковой поверхности прибавить величину площади верхнего и нижнего оснований;	Медым корсьны кублысь став веркӧссӧ, сійӧ бокӧвӧй веркӧс дінӧ колӧ содтыны вылыс да улыс подувтасъясыслысь плӧщадьяссӧ;	Медбы кублісь адззыны быдса вевдӧр, колӧ бокись вевдӧр бердӧ содтыны увтса и вевдӧрса под площаддез;	Кублэсь быдэс вылтырзэ шедьтыку, урдэс вылтырез бордэ улысь но вылысь пыдэс площадьлэсь быдӟалазэ ватсано.
площадь каждого основания равна а², а потому полная поверхность куба Sn будет равна 4а² + 2а² = 6а²:	быд подувтаслӧн плӧщадьыс лоӧ а², сідзкӧ тыр веркӧсыс кублӧн лоӧ 4a² + 2a² = 6a²:	а² ыждаӧсь лоӧны быд подлӧн площаддез, сысянь и кублӧн Sа быдса вевдӧрыс лоас 4а² + 2а² = 6а²:	Котькуд пыдэслэн площадез а² ӵоша соин ик кублэн быдэс вылтырез Sn 4а² + 2а² = 6а² ӵошалоз.
Sn = 6а² кв. см.	St = ba² кв. см.	Sа = 6а² кв. см.	Sn = 6а² кв. см.
3. Числовой пример.	3. Лыда пример.	3. Лыддьӧса пример.	3. Лыдпусо пример.
Дан куб, ребро которого равно 5 см.	Сетӧма куб, кодлӧн дорышыс 5 см.	Сетӧм куб, кӧдалӧн дорышыс 5 см.	5 см ӵошась урдъем куб сётэмын.
Вычислить его боковую и полную поверхность.	Артавны сылысь бокӧвӧй веркӧссӧ да тыр веркӧссӧ.	Колӧ тӧдны сылісь бокись и быдса вевдӧрсӧ.	Солэсь урдэс вылтырзэ но, быдэс вылтырзэ лыдъяно.
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
1) Площадь одной грани = 5 · 5 = 25 кв. см.	1) Ӧти граньлӧн плӧщадь = 5 · 5 = 25 кв. см.	1) Ӧтік граньлӧн площадь = 5 · 5 = 25 кв. см.	1) Одӥг граньлэн площадез = 5 · 5 = 25 кв. см.
2) Боковая поверхность куба = 4 ·25 кв. см = 100 кв. см.	2) Бокӧвӧй веркӧсыс кублӧн = 4 · 25 кв. см. = 100 кв. см.	2) Кублӧн бок вевдӧр = 4 · 25 кв. см = 100 кв. см.	2) Кублэн урдэс вылтырез = 4 · 25 = кв. см = 100 кв. ож.
3) Полная поверхность куба = 6 · 25 кв. см = 150 кв. см.	3) Тыр веркӧсыс кублӧн = 6 · 25 кв. см = 150 кв. см.	3) Кублӧн быдса вевдӧр = 6 · 25 кв. см = 150 кв. см.	3) Кублэн быдэс вылтырез = 6 · 25 = кв. см = 150 кв. см.
4. На рисунке 39 начерчен прямоугольный параллелепипед и его развертка; она состоит из шести прямоугольников, попарно одинаковых; у четырех прямоугольников одна и та же длина, равная длине АВ параллелепипеда.	4. 39-ӧд серпас вылын чертитӧма веськыдпельӧса параллелепипед да сылысь павтыртассӧ, сійӧ артмӧма гозйӧн-гозйӧн ӧткодь 6 веськыдпельӧсаысь: нёль веськыдпельӧсалӧн кузьтаыс ӧтыджда (равнӧйӧсь) параллелепипед AB кузьтакӧд.	4. 39 рисунокын чертитӧм веськытпельӧса параллелепипед и сылӧн развёртка. Сія сулалӧ ӧтыжда параэзӧн квать веськытпельӧсісь; нёль параллелепипедлӧн кузяэс ӧтыждаӧсь, AB параллелепипед кузяӧсь.	4) 39 суредын шонер сэрегъем параллелепипедлэн но солэн сэрттэтэз возьматэмын; со куать кыкен-кыкен одӥг кадесь прямоугольникъёсысь пӧрмытэмын 4 прямоугольникъёслэн АВ кузьдалазы ог кадесь параллелепипедлэн кузьдалаезлы ӵошало.
Чтобы вычислить боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, надо найти сумму площадей четырех его боковых граней, каждая из которых есть прямоугольник.	Медым артавны веськыдпельӧса параллелепипедлысь бокӧвӧй веркӧссӧ, колӧ корсьны сійӧ нёль бокӧвӧй граньяс плӧщадьыслысь суммасӧ, а быд грань, ми тӧдам, лоӧ веськыдпельӧса.	Медбы тӧдны веськытпельӧса параллелепипедлісь бок вевдӧрсӧ, колӧ адззыны нёль бок грань площаддезлісь ӧтлас, быд грань кӧдіялӧн эм веськытпельӧс.	Шонер сэрегъем параллелепипедлэсь урдэс вылтырзэ лыдъяны понна, 4 урдэс граньёслэсь площадьёссылэсь суммазэс шедьтоно, котькудӥз соос прямоугольник луо.
Площадь одной боковой грани равна произведению ее основания на высоту, которая одновременно является также и высотой параллелепипеда.	Ӧти бокӧвӧй граньлӧн плӧщадьыс лоӧ сылысь подувтассӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧ ыджда, а бокӧвӧй граньыс эм параллелепипедыслӧн судта.	Ӧтік бок граньлӧн площадьыс лоӧ ӧксян сувда вылӧ под босьтӧмись, кӧда гижсьӧ параллелепипедлӧн сувда туйӧ.	Одӥг урдэс граньёслэн площадез аслаз ӝуждалаезлы но пыдэсэзлы произведениезлы ӵоша, со одӥг дыре ик параллелепипедлэн ӝуждалаез но луэ.
Обозначив эту высоту буквою h, определим площадь каждой грани отдельно:	Пасъям тайӧ судтасӧ h шыпасӧн да тӧдмалам быд граньлысь плӧщадьсӧ торйӧн:	Этӧ сувдасӧ пасъялам h шыпасӧн и адззам янын быд граньлісь площадь:	Со ӝуждалаез А букваен пусйыса котькуд граньлэсь нимаз-нимаз площадьзэ тодом.
1) площадь грани AA₁B₁B — AB·h;	1. AA₁B₁B граньлӧн плӧщадь = AB · h;	1) АА₁ B₁B = AB · h граньлӧн площадь;	1) Граньлэн площадез AA₁B₁B = AB · h;
2) « « BB₁CC₁ = BC·h;	2. BB₁C₁C „ „ = BC · h;	2) BB₁ CC₁ = BC · h	2) « « BB₁CC₁ = BC · h;
3) « « СС₁D₁D = СD·h;	3. CC₁D₁D „ „ = CD · h;	3) CC₁ D₁D = CD · h	3) « « СС₁D₁D = СD · h;
4) « « DD₁A₁A = DA·h.	4. DD₁A₁A „ „ = DA · h;	4) DD₁ А₁А = DA · h	4) « « DD₁A₁A = DA · h.
Сумма площадей всех четырех боковых граней равна: AB·h + BC·h + СD·h + DA·h = (AB+ BC+CD + DA) · h = P·h, где буквою Р обозначена сумма сторон, т. е. периметр основания АВСD параллелепипеда.	Нёльнан бокӧвӧй граньяслӧн плӧщадьыс лоӧ: AB · h + BC · h + CD · h + DA · h = (AB + BC + CD + DA) h = P · h, кӧні P шыпаснас пасйӧма параллелепипед подувтас доръясыслысь суммасӧ, либӧ ABCD периметрсӧ.	Бок нёль грань площаддезлӧн ӧтласыс лоас: AB · h + BC · h + CD · h + DA ·h = (AB + BC+ CD + DA) · h = P · h, кытӧн боккезлісь ӧтлассӧ пасъялӧны P шыпасӧн, сія жӧ ABCD параллелепипедлӧн периметр.	Вочак 4 урдэс граньёслэн площадьёссы ӵошало: AB · h + BC · h + СD · h + DA · h = (AB+ BC+CD + DA) · h = P · h, Отын Р букваен дуръёслэн суммазы пусйылэмын, мукет сямен ABCD параллелепипедлэн пыдэсъёсызлэн периметрез луэ.
Итак, Sб = P · h кв. ед.	Сідзкӧ Sb = P · h кв. единица.	Сідз, Сb = P · h кв. ӧтсаэз.	Со сямен, Sб = P · h кв. единица.
Формула эта читается так:	Тайӧ формулаыс лыддьыссьӧ тадзи:	Эта формулаыс лыддисьӧ сідз:	Та формула тазьы лыдӟиське:
боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда равна произведению периметра его основания на высоту.	Веськыдпельӧса параллелепипедлӧн бокӧвӧй веркӧсыс равняйтчӧ сійӧ подувтаслысь периметрсӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.	Веськытпельӧса параллелепипедлӧн бок вевдӧрыс лоӧ сы подісь периметр сувда вылӧ ӧксян.	шонер сэрегъем параллелепипедлэн урдэс вылтырез периметрзэ солэн ӝуждалаезлы но пыдэсэзлы уноям произведениезлы ӵоша.
Точно так же находят боковую поверхность любой прямой призмы.	Дзик жӧ тадзи корсьӧны бокӧвӧй веркӧссӧ любӧй веськыд призмалысь.	Сідз жӧ адззӧны любӧй веськыт призмалісь бок вевдӧр.	Шаркак тазьы ик шонер призмалэсь но урдэс вылтырзэ шедьто.
5. Чтобы определить полную поверхность прямоугольного параллелепипеда, необходимо к боковой его поверхности прибавить площади нижнего и верхнего оснований; площади оснований равны между собой, поэтому достаточно к боковой поверхности прибавить удвоенную площадь одного из оснований.	5. Медым артавны веськыдпельӧса параллелепипедлысь тыр веркӧссӧ, сійӧ бокӧвӧй веркӧс дінӧ колӧ содтыны улыс да вылыс подувтасъясыслысь плӧщадьяссӧ, а подувтасъясыслӧн плӧщадьясыс мӧда-мӧдныскӧд ӧтыдждаӧсь, сідзкӧ бокӧвӧй веркӧс дінас колӧ содтыны удвоеннӧй плӧщадьсӧ подувтасъяс пиысь ӧтиыслысь.	5. Медбы адззыны веськытпельӧса параллелепипедлісь быдса вевдӧр, колӧ сы бок вевдӧр бердӧ содтыны улісь и вевдӧрись поддэз. Поддэзлӧн площаддез ӧтыждаӧсь, сысянь бок вевдӧр дынӧ токо содтӧны подлісь кыкись босьтӧм площадь.	5. Шонер сэрегъем параллелепипедлэсь быдэс вылтырзэ тодыны, солэн урдэс вылтыр бордаз вылысь но улысь пыдэс площадьзэс ватсано; пыдэсъёслэн площадьёссы асьсэ куспын ог кадесь, соин ик урдэс вылтыр бордэ одӥг пыдэслэсь площадьзэ кыклы будэтыса ватсад ке, тырмоз.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Чему равны боковая и полная поверхности куба со стороною 3 см? 10 см? n сантиметров?	1. Ыджыд-ӧ лоӧ бокӧвӧй веркӧсыс да тыр веркӧсыс кублӧн, дорыс кӧ сылӧн 3 см? 10 см? n см?	1. Ыджыт я лоас кублӧн бокся да быдса вевдӧр, ӧт бокыс кӧ 3 см? 10 см? n сантиметр?	1. 3 см, 10 см но h см дуръем кублэн быдэс вылтырез но урдэс вылтырез малы ӵошалоз?
2. Начертить развертку куба со стороною в 6 см, наклеить ее на картон и сделать модель куба, надрезав слегка ножом стороны квадратов развертки.	2. Чертитны кублысь павтыртассӧ 6 см кузьтаа дорӧн, клеитны сійӧс картон вылӧ да вӧчны куб модель, павтыртас квадрат бокъяссӧ кокньыдика пуртӧн кырӧдӧмӧн.	2. Чертитӧ кублісь развёртка бокнас 6 см, лякӧтӧ сійӧ кыз гумага (картон) вылӧ, развёртка квадрат боккесӧ кокнитика пуртӧн вундыштыштӧ да керӧ кублісь модель.	2. Кублэсь 6 см дуро сэрттэтсэ гожтоно, собере со гожтэмез дуръёстӥз каньылля пуртэн вандыса картон вылэ лякылыса куб суред лэсьтоно.
3. Найти боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 8 см, 5 см и 3 см.	3. Корсьны веськыдпельӧса параллелепипедлысь бокӧвӧй веркӧссӧ, кодлӧн муртасъясыс 8 см, 5 см да 3 см.	3. Адззӧ 8 см, 5 см и 3 см мераа веськытпельӧса параллелепипедлісь бокся вевдӧр	3. 8 см, 5 см, 3 см мертаськонъёсыз луыса, шонер сэрегъем параллелепипедлэсь урдэс вылтырзэ шедьтоно.
4. Определить боковую и полную поверхности прямоугольного параллелепипеда по следующим данным:	4. Тӧдмавны веськыдпельӧса параллелепипедлысь бокӧвӧй веркӧссӧ да тыр веркӧссӧ татшӧм сетӧмъяс серти:	4. Адззыны веськытпельӧса параллелепипедлісь бокся да быдса вевдӧр эна сетӧммез сьӧрті:	4. Шонер сэрегъем параллелепипедлэсь быдэс но урдэс вылтырзэ улӥ таблицаын сётэм лыдъёсъя шедьтоно.
№ 1 2 3 4 5	N	№ 1 2 3 4 5	№ 1 3 3 4 5
Длина а 12 см 0,80 м 2 м 25 см 2,5 см 3½ м	Кузьта a	Кузя а 12 см 0,80 м 2 м 25 см 2,5 см 3½ м	а Кузьдала 12 см 0,80 м 2 м 25 см 2,5 см 3½ м
Ширина b 6,5 см 52 см 1 м 80 см 1,2 см 2¼ м	Пасьта b	Пасьта b 6,5 см 52 см 1 м 80 см 1,2 см 2¼ м	b Пасьтала 6,5 см 52 см 1 м 80 см 1,2 см 2¼ м
Высота h 7,2 см 0,55 м 0,90 м 80 мм 1¾ м	Судта h	Сувда h 7,2 см 0,55 м 0,90 м 80 мм 1¾ м	h Ӝуждала 7,2 см 0,55 см 0,90 м 80 мм 1¾ м
§ 2. Объем куба и прямоугольного параллелепипеда.	2 §. Кублӧн да веськыдпельӧса параллелепипедлӧн объём.	§ 2. Кублӧн да веськытпельӧса параллелепипедлӧн объём.	§ 2. Кублэн но шонер сэрегъем параллелепипедлэн объёмзы.
1. Всякое тело занимает определенную часть пространства и, следовательно, имеет определенный объем.	1. Быд телӧ занимайтӧ кутшӧмкӧ определённӧй юкӧн пространствоысь, а сідзкӧ быд телӧлӧн эм кутшӧмкӧ определённӧй объём.	1. Быд вывтыр босьтӧ пространствоись определённӧй тор, а сідз кӧ, эм сылӧн и определённӧй объём.	1. Котькыӵе мугор пространстволэсь люкетсэ кутэ, озьыен кыӵе ке но солэн объёмез луэ.
Измерить объем какого-нибудь тела — значит сравнить его с телом, объем которого принят за единицу, и узнать, сколько раз принятая единица меры умещается в данном объеме.	Муртавны кутшӧмкӧ телӧлысь объёмсӧ — сійӧ лоӧ ӧтластитны сійӧс сэтшӧм телӧкӧд, кодлысь объёмсӧ босьтӧма единица пыдди, да тӧдмавны, кымын пӧв босьтӧм муртӧс единицаыс тӧрӧ сетӧм объёмас.	Меряйтны объём кытшӧмкӧ вывтырлісь — лоӧ тшӧтшӧтны сійӧ вывтыркӧт, кӧдалӧн объёмыс босьтӧм ӧтса туйӧ, да тӧдны, кынымись босьтӧм мера ӧтсаыс тӧрӧ сетӧм объёмас.	Кыӵе ке но мугорлэсь объёмзэ мертан — со объёмзэ единица интые кутэм мугорен ӵошатон но собере кутэм мертэт единица сётэм объёмез кӧня пол тэремзэ тодон луэ.
2. За единицу объема принимают куб, ребро которого есть одна какая-либо линейная единица.	2. Объём единица пыдди босьтӧны куб, кодлӧн дорышыс лоӧ кутшӧмкӧ ӧти линейнӧй единица.	2. Объём ӧтса туйӧ босьтӧны куб, кӧдалӧн дорышыс кытшӧм кӧ ӧтік визя ӧтса.	2. Объём мертан единица интые куб куто, со кублэн урдэз шонер гожен мертаськон кыӵе ке единица луэ.
Такой куб называется кубическою единицею.	Татшӧм кубыс шусьӧ кубическӧй единицаӧн.	Сэтшӧм куб шусьӧ куб ӧтсаӧн.	Сыӵе куб кубической единица шуыса нимаське.
3. Вычислять объем какого-нибудь тела непосредственным измерением, заполняя его объем кубическими единицами, возможно только для прямоугольных параллелепипедов небольших размеров.	3. Артавны объёмсӧ кутшӧмкӧ-нибудь телӧлысь непосредственнӧй мурталӧмӧн, сійӧс кубическӧй единицаясӧн тыртӧмӧн, оз пыр позь.	3. Тӧдны кытшӧмкӧ вывтырлісь объём куб ӧтсаэз тыртӧмӧн, позьӧ токо неыджыт веськытпельӧса параллелепипеддэзлісь.	3. Кыӵе ке мугорлэсь объёмзэ, кубической объём мертэт единица пыртыса, пичи шонер сэрегъем параллелепипедлэсь объёмзэ гинэ мертаны луэ.
Поэтому при вычислении объема тел пользуются, как и при измерении площадей фигур, косвенным измерением;	Та понда телӧяслысь объём мурталӧны косвеннӧя, мӧд ногӧн кӧ, телӧлысь размеръяссӧ мурталӧны линейнӧй мераясӧн да сы бӧрти вӧчӧны колана арталӧмъяс (расчётъяс).	Сійӧн, вывтыррезлісь объём тӧдмалӧмын меряйтӧны сідз жӧ, кыдз и фигураэзлісь площадь тӧдмалӧмын,	Соин ик мугоръёслэсь объёмзэс мертан дыръя, фигураослэсь площадьзэс мертан дыръя сямен ик, косвенной мертэтэз уже куто.
зная три измерения тела — его длину, ширину и высоту, производят затем необходимые расчеты.	Пример вылӧ — веськыдпельӧса параллелепипедлысь объёмсӧ арталӧны сійӧ куим муртас серти: кузьта, пасьта да судта серти.&	вывтырлісь куим мера — кузя, пасьта да сувда, а сыбӧрын керӧны колана лыддьӧммез.	Мугорлэсь куинь мертанзэ тодыса, кузялазэ, пасьталазэ но ӝуждалазэ, собере кулэ лыдъянъёс ортчыто.
4. Требуется определить объем прямоугольного параллелепипеда, у которого длина а = 3 см, ширина b = 2 см и высота с — 4 см (рис. 40).	4. Колӧ тӧдмавны веськыдпельӧса параллелепипедлысь объём, сылӧн кӧ кузьтаыс a = 3 см, пасьтаыс b = 2 см да судтаыс c = 4 см (40-ӧд серпас).	4. Колӧ адззыны объём веськытпельӧса параллелепипедлісь, кӧдалӧн кузя а = 3 см, пасьта b = 2 см и сувда c = 4 см (40 рис.).	4. Шонер сэрегъем параллелепипедлэсь объёмзэ тодыны кулэ, солэн кузьдалаез а = 3 см, пасьталаез b = 2 см но ӝуждалаез с = 4 см (40 суред).
За единицу измерения принимается 1 куб. см.	Муртас единица пыдди босьтсьӧ 1 куб. см.	Ӧтса мера туйӧ боссьӧ 1 куб. см.	Мертаськон единица 1 куб. сантиметр кутӥське.
Надо узнать, сколько кубических сантиметров укладывается в один ряд по длине параллелепипеда.	Колӧ тӧдмавны, кымын кубическӧй сантиметр тӧрӧ ӧти радӧ параллелепипед кузьтаногыс.	Колӧ тӧдны, кыным куба сантиметра тӧрас ӧтік рядӧ параллелепипед кузя.	Параллелепипедлэн кузьдалаяз одӥг радэн кӧня кубической сантиметр интыяськемез тодоно.
Число кубических сантиметров, которые уложатся в один ряд по длине параллелепипеда, равно числу сантиметров его длины, а потому один ряд будет содержать по длине 3 куб. см.	Кубическӧй сантиметр лыдыс, коді тӧрас ӧти радӧ параллелепипед кузьтаас, лоӧ ӧтмында сійӧ кузьтаса сантиметр лыдкӧд, а сідз кӧ, кузьта ногыс ӧти радын лоас 3 куб. см.	Мый кузя ачыс параллелепипедыс, сыным куба сантиметра и тӧрасӧ. Миян параллелепипедыс 3 см кузя, лоӧ, куим куба сантиметра и тӧрасӧ.	Параллелепипедлэн кузьдалаяз тырем кубической сантиметръёс параллелепипедлэн кузьдалаезлы ӵоша, соин ик одӥг радэз кузьдалаезъя 3 куб. см луоз.
Таких рядов можно уложить по основанию параллелепипеда два, что соответствует числу сантиметров ширины данного параллелепипеда.	Татшӧм радыс параллелепипед подувтас вылас тӧрӧ кык, сы мында жӧ, кымын сантиметр сетӧм параллелепипед пасьтаыс.	Сэтшӧм ряддэз параллелепипед под кузя тӧрасӧ кӧ кыка — лоӧ, параллелепипед кык сантиметра пасьта.	Сыӵе радъёсыз параллелепипедлэн пыдэс кузяз кык рад тырыны луоз, со параллелепипедлэн пасьтала сантиметр лыдэзлы тупа.
Итак, один слой кубических сантиметров, которыми покрылось основание параллелепипеда, составляет 3 · 2 = 6 куб. см.	Сідзкӧ ӧти слӧй кубическӧй сантиметръяслӧн, кодъясӧн вевттьыссьӧ параллелепипедыслӧн подувтасыс, лоӧ 3 · 2 = 6 куб. см.	И сідз, ӧтпӧв вевттьӧм параллелепипедлӧн под лоӧ 3 · 2 = 6 куб. см.	Озьы параллелепипедлэн одӥг кубической сантиметр шобырскем пыдэсаз 3 · 2 = 6 куб. см луэ.
Необходимо еще узнать, сколько слоев содержит весь объем тела.	Ковмас нӧшта тӧдмавны, кымын татшӧм слӧйыс лоӧ телӧ объёмас.	Кольччис токо тӧдны, кыным слой тӧрас быдса объёмӧ.	Нош на вочак мугорлэн объёмаз кӧня сӥ тэремзэ тодоно.
Каждый слой имеет толщину в 1 см, и число слоев равно числу сантиметров высоты параллелепипеда, т. е. четырем.	Быд слӧйлӧн кызтаыс 1 см, сідзкӧ слӧй лыдыс лоӧ сэні сы мында жӧ, кымын сантиметр параллелепипед судтаыс, мӧд ног кӧ, лоӧ нёль слӧй.	Быд слой кызанас 1 см, а сэтшӧм слойес тӧрасӧ быдса объёмӧ сыным, кыным сантиметра сувда параллелепипед, а сувдаыс сылӧн 4 см.	Котькуд сӥезлэн зӧкталаез 1 см, нош сӥезлэн лыдэз параллелепипедлэн ӝуждалаезлэн лыдэзлы ӵоша, мукет сямен, ньыльлы.
Общее число кубических сантиметров в объеме данного прямоугольного параллелепипеда равно 6 куб. см × 4 = 24 куб. см.	Став кубическӧй сантиметр лыдыс сетӧм веськыдпельӧса параллелепипед объёмын лоӧ 6 куб. см × 4 = 24 куб. см.	Быдӧс куба сантиметррез веськытпельӧса параллелепипедын лоасӧ 6 куб. см × 4 = 24 куб. см.	Сётэм шонер сэрего параллелепипедын вочакез объёмез талы ӵоша: 6 куб. см × 4 = 24 куб. см.
Очевидно, что это число получилось от умножения чисел 3, 2 и 4, выражающих длину, ширину и высоту параллелепипеда.	Дерт жӧ тайӧ лыдыс артмис параллелепипедлысь кузьтасӧ, пасьтасӧ да судтасӧ петкӧдлысь лыдъясӧс — 3, 2, 4 — мӧда-мӧд вылас ӧктӧмысь.	Эта ӧксян лоис 3, 2 да 4 босьтӧмсянь кӧдна висьталӧны кузя, пасьта да сувда параллелепипедлісь.	Та лыд параллелепипедлэсь кузьдалазэ, пасьталазэ, ӝуждалазэ возьматӥсь 3, 2 но 4 уноямысь потэ.
Отсюда: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: длины, ширины и высоты.	Веськыдпельӧса параллелепипедлӧн объёмыс равняйтчӧ сійӧ куим муртасыс — кузьта, пасьта да судта — лоан произведенньӧлы.	Этасянь: Объём веськытпельӧса параллелепипедлӧн сы куим мераись ӧксян ыжда: кузяись, пасьтаись да сувдаись.	Татысен: шонер сэрегъем параллелепипедлэн объёмез куинь мертаськонэзлэн (кузьдала, пасьтала, ӝуждала) произведенизылы ӵоша.
5. Обозначив объем прямоугольного параллелепипеда буквою V, длину — через а, ширину — через b и высоту — через с, получим формулу, выражающую объем прямоугольного параллелепипеда в кубических единицах: V = a · b · c кубических единиц.	5. Пасъям веськыдпельӧса параллелепипедлысь объёмсӧ V шыпасӧн, кузьтасӧ a шыпасӧн, пасьтасӧ b шыпасӧн да судтасӧ c шыпасӧн, лоӧ формула, коді петкӧдлӧ веськыдпельӧса параллелепипедлысь объёмсӧ кубическӧй единицаясӧн: V = a · b · c кубическӧй единица.	5. Пасъям веськытпельӧса параллелепипедлісь объёмсӧ V шыпас пыр, кузя — а пыр, пасьта — b пыр, сувда — c пыр, миян лоас формула, кӧда висьталас веськытпельӧса параллелепипедлісь объёмсӧ куба ӧтсаэзын: V = а · b · c куб. ӧтса.	5. Шонер сэрегъем параллелепипедлэсь объёмзэ V букваен, кузьдалазэ а, пасьталазэ b, ӝуждалазэ с букваосын гожтыса, кубической единицаен шонер сэрегъем параллелепипедлэсь объёмзэ лыдъян формула шедьтом: V = а · b · с куб. единицаос.
6. Из формулы объема прямоугольного параллелепипеда получаем формулу для вычисления объема куба любых размеров.	6. Веськыдпельӧса параллелепипед объём формулаысь артмӧ формула любӧй ыдждаа кублысь объёмсӧ арталӧм вылӧ.	6. Веськытпельӧса параллелепипедлӧн объём тӧдмалан формула лоӧ быд кублісь объём тӧдмалан формулаӧн.	6. Шонер сэрегъем параллелепипедлэсь объемзэ лыдъян формулаысь, котькыӵе кублэсь объемзэ лыдъян формула шедьтом.
В кубе все три измерения одинаковы, а потому формула объема куба будет: V = а · а · а, где а — ребро куба, или V = а³ кубических единиц.	Кубын куимнан муртасыс ӧткодьӧсь, сідзкӧ куб объём формулаыс лоӧ татшӧм: V = a · a · a, кӧні a лоӧ кублӧн дорышыс, либӧ V = a³ кубическӧй единица.	Кубын куимнан мераыс ӧтыждаӧсь, а сійӧн сылӧн объём формулаыс лоӧ: V — а · а · а, кытӧн а — кублӧн дорыш, либо: V = а³ куб. ӧтса.	Кублэн куинез ик мертаськонъёсыз ог кадесь. Соин ик кублэн объем формулаез луоз: V = a · a · a (татын а кублэн урдэз) яке V = a³ куб. единицаос.
7. Задача 1.	7. 1 задача.	7. Задача 1.	7. 1 задача.
Вычислить объем комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда длиною в 6 м, шириною в 2,5 м и высотою в 4 м.	Артавны веськыдпельӧса параллелепипед формаа комнаталысь объёмсӧ, — кузьтаыс сылӧн 6 м, пасьтаыс 2,5 м, судтаыс 4 м.	Адззӧ веськытпельӧса параллелепипед кодь жырлісь объём, кузяыс кӧдалӧн 6 м, пасьтаыс 2,5 м, сувдаыс 4 м.	Корка висъетлэсь объёмзэ лыдъяно. Солэн тусэз шонер сэрег · ем параллелепипед луыса, кузьдалаез 6 м, пасьталаез 2,5 м, ӝуждалаез 4 м.
Решение.	Решитӧм.	Задача керӧм.	Лыдъянэз.
V = 6 · 2,5 · 4 = 60 куб. м.	V = 6 · 2,5 · 4 = 60 куб. м.	V = 6 · 2,5 · 4 = 60 куб. м.	V = 6 · 2,5 · 4 = 60 куб. м.
Задача 2.	2 задача.	Задача 2.	2 задача.
Вычислить объем куба, ребро которого равно 7 см.	Артавны кублысь объёмсӧ, кодлӧн дорышыс 7 см.	Адззӧ кублісь объём, дорышыс кӧдалӧн 7 см кузя.	Урдэз 7 см-лы ӵошась кублэсь объёмзэ лыдъяно.
Решение.	Решитӧм.	Задача керӧм.	Лыдъянэз.
V = 7 · 7 · 7 = 343 куб. см.	V = 7 · 7 · 7 = 343 куб. см.	V = 7 · 7 · 7 = 343 куб. см.	V = 7 · 7 · 7 = 343 куб. см.
8. Формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = а · b · с можно представить в несколько ином виде.	8. Веськыдпельӧса параллелепипедлысь объём формуласӧ V = a · b · c позьӧ пасйыны неуна мӧд ногӧнджык.	8. Веськытпельӧса параллелепипедлісь объём формуласӧ V = а · b · c позьӧ гижны невна мӧднёж.	8. Шонер сэрегъем параллелепипедлэсь объёмзэ лыдъян формулазэ V = a · b · c-эз ӧжыт мукет сямен возьматыны луэ.
В формулу входит произведение а·b, что выражает собою площадь Q основания параллелепипеда, а потому, заменяя ab через Q и с — его высоту — через h, можно записать: V = Q · h кубических единиц.	Формулаас пырӧ a · b произведенньӧ, коді лоӧ параллелепипед подувтаслӧн Q плӧщадь, а сідз кӧ, аb-сӧ Q-ӧн да c-сӧ — сылысь судтасӧ — h-ӧн вежӧмӧн, позьӧ гижны: V = Q · h кубическӧй единица.	Эта формулаӧ пырӧ ӧксян а · b, кӧда мыччалӧ параллелепипед подлісь площадь Q, а сійӧн, вежам кӧ аb Q вылӧ, а c — сылісь сувдасӧ h вылӧ, позяс гижны: V = Q · h куб. ӧтсаэз.	Формулае а · b произведени пыре, со ик параллелепипедлэн пыдэс площадез Q луэ. Соин ик ab-эз Q-эн воштыса с-эз — солэсь ӝуждалазэ — h букваен воштыса, тазьы гожтыны луоз: V = Q · h куб. единицаос.
Эта запись читается так:	Тайӧ гижӧдыс лыддьыссьӧ тадз:	Эта гижӧмсӧ то кыдз лыддьӧны:	Та гожтон тазьы лыдӟиське:
объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.	Веськыдпельӧса параллелепипедлӧн объёмыс равняйтчӧ сылысь подувтас плӧщадьсӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.	объём веськытпельӧса параллелепипедлӧн ӧтыжда сы под площадь сувда вылӧ ӧксянкӧт.	шонер сэрегъем параллелепипедлэн объёмез солэн пыдэсэзлэсь площадьзэ ӝуждалаезлы уноям произведенилы ӵоша.
9. Задача.	9. Задача.	9. Задача.	8. Задача.
Найти объем прямоугольного параллелепипеда, площадь основания которого Q = 35 кв. см, а высота h = 8 см.	Корсьны веськыдпельӧса параллелепипедлысь объёмсӧ, кодлӧн подувтас плӧщадьыс Q = 35 кв. см, а судтаыс h = 8 см.	Адззӧ объём веськытпельӧса параллелепипедлісь, под площадьыс кӧдалӧн Q = 35 кв. см, а сувдаыс A = 8 см.	Шонер сэрегъем параллелепипедлэсь объёмзэ шедьтоно. Солэн мертанъёсыз таӵе: пыдэс площадез Q = 35 кв. см, ӝуждалаез h = 8 см.
Решение.	Решитӧм:	Задача керӧм.	Лыдъянэз.
V = Q · h = 35 · 8 = 280 куб. см.	V = Q · h = 35 · 8 = 280 куб. см.	V = Q · A = 35 · 8 = 280 куб см.	V = Q · h = 35 · 8 = 280 куб. см.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Как найти объем бруса непосредственным измерением? косвенным измерением?	1. Кыдзи корсьны бруслысь объёмсӧ непосредственнӧй мурталӧмӧн? Косвеннӧй мурталӧмӧн?	1. Кыдз адззыны веськыта меряйтӧмӧн бруслісь объём? и мӧднёж меряйтӧмӧн?	1. Кызьы меӵак но косвенной мертаськонъёсын бруслэсь объёмзэ шедьтоно?
2. Чему равен объем правильной прямой четырехугольной призмы?	2. Мыйлы равняйтчӧ правильнӧй нёльпельӧса веськыд призмалӧн объёмыс?	2. Ыджыт я правильнӧй веськыт нёльпельӧса призмалӧн объём?	2. Пырак шонер ньыль сэрегъем призмалэн объёмез малы ӵоша?
3. Чему равен объем прямой правильной призмы, в основании которой лежит квадрат со стороною в 12 см, а высота ее равна 15 см?	3. Ыджыд-ӧ лоӧ веськыд (правильнӧй) призмалӧн объёмыс, подувтасыс кӧ сылӧн 12 см бока квадрат, а судтаыс 15 см?	3. Ыджыт я веськыт правильнӧй призмалӧн объём, подас кӧдалӧн куйлӧ квадрат дорышнас 12 см, а сувданас 15 см?	3. 15 см ӝуждалаё шонер призмалэн пыдэсаз 12 см квадрат луыса объёмез малы ӵоша?
4. Во сколько раз увеличится объем куба, если увеличить ребро куба в 2 раза? уменьшить в 3 раза?	4. Кымын пӧв ыдждас кублӧн объёмыс, кубыслысь кӧ дорышсӧ ыдждӧдны 2 пӧв? 3 пӧв?	4. Кынымись содас кублӧн объём, кӧр содтам сы кык мымда? либо чинтам куимись?	4. Кублэсь урдзэ кык пол будэтыса 3 пол кулэстыса солэн объёмез кӧня пол йылоз?
Проверить ответы на вопросы задачи на кубе с ребром в 6 см.	Прӧверитны задача решитӧмсӧ 6 см кузя дорыша куб вылын.	abu	6 см урдо кублэн объемезъя задачаын юамлы ответъёссэ эскероно.
5. При уменьшении (увеличении) ребра куба его объем уменьшился (увеличился) в 64 раза; как изменятся при этих условиях его боковая и полная поверхности?	5. Куб дорыш чинтӧмла (содтӧмла) объёмыс кублӧн чині (соді) 64 пӧв; кыдзи вежсясны сэки сылӧн бокӧвӧй веркӧсыс да тыр веркӧсыс?	5. Кублісь дорышсӧ содтікӧ (чинтікӧ) объёмыс сылӧн содӧ (чинӧ) 64-ись, кыдз сылӧн сэк жӧ вежсьӧ бокса да быдса вевдӧр?	5. Кублэсь урдзэ кулэстыку (будэтыку) кублэн объёмез 64 пол кулэсме (йылэ); кызьы та условиын ик кублэн урдэз но быдэс вылтырез воштӥськоз?
6. Площадь основания куба равна 81 кв. см.	6. Куб подувтаслӧн плӧщадьыс 81 кв. см.	6. Куб под площадь ӧтыждасьӧ 81 кв. см.	6. Кублэн пыдэс площадез 81 кв. см ӵоша.
Чему равен объем куба?	Ыджыд-ӧ лоӧ кубыслӧн объёмыс?	Ыджыт я кублӧн объём?	Кублэн объёмез малы ӵоша?
7. Объем куба равен 64 куб. см.	7. Кублӧн объёмыс 64 куб. см.	7. Кублӧн объём 64 куб. см.	7. Клублэн объемез 64 куб. см ӵоша.
Чему равны его боковая и полная поверхности?	Ыджыд-ӧ лоӧ сылӧн бокӧвӧй веркӧсыс? Тыр веркӧсыс?	Ыджыт я сылӧн бокса да быдса вевдӧр?	Соку урдэс вылтырез но быдэс вылтырез малы ӵоша?
8. Комната имеет форму прямой правильной четырехугольной призмы; чему равна сторона основания комнаты, если известно, что объем ее равен 25,2 куб. м, а высота равна 2,8 м?	8. Комнаталӧн формаыс правильнӧй нёльпельӧса веськыд призмаа кодь, кузь-ӧ лоӧ комната подувтасыслӧн дорыс, объёмыс кӧ сылӧн лоӧ 25,2 куб. м, а судтаыс — 2,8 м?	8. Жырлӧн формаыс правильнӧй веськыт нёльпельӧса призмалӧн кодь: мый ыжда жырлӧн под бокыс, тӧдам кӧ, што объём сылӧн 25,2 куб. м, а сувдаыс 2,8 м?	8. Коркалэн висъетэз шонер ньыль сэрегъем призма тус. Объёмез 25,2 куб. м ке, ӝуждалаез 2,8 м, пыдэсэзлэн дурез малы ӵоша?
9. Из листа жести, имеющего форму прямоугольника (рис. 41) со сторонами в 50 см и 30 см, сделан открытый сверху ящик следующим образом: по углам листа вырезали 4 равные квадрата со стороною в 6 см, а края листа согнули так, что они образовали боковые стороны ящика.	9. Веськыдпельӧса формаа жӧч листысь (41-ӧд серпас), кодлӧн доръясыс 50 см да 30 см, вӧчӧма восьса вылыса ящик со кыдзи: лист пельӧсъясысь вундісны 4 ӧтыджда квадрат, кодъяслӧн дорыс 6 см кузьта, а лист доръяссӧ кусыньтісны да наысь артмис ящик бокыс.	9. Веськытпельӧса формаа чочком кӧрт листісь (41 рис.), боккес кӧдалӧн 50 см да 30 см, керӧм вевдӧрас осьтаӧн ящик. Керӧм сія то кыдз: лист пельӧссэзісь вундыштӧмась 4 ӧтыжда квадрат, бокнас 6 см кузя, а лист дорышшес кӧстӧмась сідз, што нія лоисӧ ящик боккезӧн.	9. Прямоугольник кадь 50 см но 30 см дуръёсын корт лисысь (41 суред) выл ласянь усьтэм ящик лэсьтэмын; сэрегъёсысьтыз 4 ог быдӟала 6 см дуръем квадрат вандӥллям, нош корт лислэсь дуръёссэ ящиклэн урдэс дуръёсыз кадь куасаллям.
Найти емкость этого ящика.	Тӧдмавны, ыджыд-ӧ ящикыслӧн пытшкӧсыс.	Адззӧ, уна я тӧрӧ ящик пытшкӧ.	Ящиклэсь ёмкостьсэ шедьтоно.
10. Деревянный ящик изготовлен из досок толщиною в 1,5 см.	10. Пу ящик вӧчӧма 1,5 см кызта пӧвъясысь.	10. 1,5 см кыза пӧввезісь керӧм пуовӧй ящик.	10. 1,5 см зӧклык пулъёслэсь пу ящик лэсьтэмын.
По наружному обмеру длина его составляет 1,6 м, ширина равна 95 см и высота 50 см.	Ортсысяньыс мурталӧмӧн ящикыслӧн кузьтаыс — 1,6 м, пасьтаыс — 95 см, судтаыс — 50 см.	Вевдӧрыслӧн кузяыс 1,6 м, пасьтаыс 95 см и сувдаыс 50 см.	Педпал мертамъя солэн кузьдалаез 1,6 м ӵоша, пасьталаез 95 см ӵоша, ӝуждалаез 50 см ӵоша.
Найти емкость этого ящика.	Тӧдмавны, ыджыд-ӧ тайӧ ящикыслӧн пытшкӧсыс.	Адззӧ, уна я тӧрӧ ящик пытшкӧ.	Со ящиклэсь ёмкостьсэ шедьтоно.
11. Вычислить вес воздуха в классе длиною в 8,0 м, шириною в 6,0 м и высотою в 4,5 м, если известно, что 1 куб. м воздуха весит 1,3 кг.	11. Артавны класспытшса сынӧдлысь сьӧктасӧ, класслӧн кузьтаыс кӧ 8,0 м, пасьтаыс — 6,0 м, судтаыс 4,5 м да 1 куб. м сынӧдлӧн сьӧктаыс 1,3 кг.	11. Адззӧ, уна я лэбтӧ жырйын ру, кузяыс кӧдалӧн 8,0 м, пасьтаыс 6,0 м, сувдаыс 4,5 м, тӧдам кӧ, 1 куб. м ру лэбтӧ 1,3 кг.	11. 8,0 м кузьдалаен, 6,0 м пасьталаен, 4,5 м ӝуждалаен корка висъетлэсь омыр секталазэ тодоно. 1 куб. омырлэн секытэз 1,3 кг луэ.
12. Измерения картонной коробки составляют 20 см × 8 см × 10 см.	12. Картонысь вӧчӧм кӧрӧблӧн муртасъясыс лоӧны 20 см × 8 см × 10 см.	12. Картонісь керӧм коробка, меранас 20 см × 8 см × 10 см.	12. Картон коробкалэн мертанъёсыз таӵе луо: 20 см × 8 см × 10 см.
Сколько таких коробок можно уложить в ящике с квадратным основанием со стороною 1,6 м при глубине ящика 1,4 м?	Кымын татшӧм кӧрӧбыс тӧрас ящикӧ, подувтасыс кӧ сылӧн 1,6 м дора квадрат, а джудждаыс 1,4 м?	Кыным этатшӧм коробка тӧрасӧ квадратнӧй ящикӧ, подыс да боккес кӧдалӧн 1,6 м, а пыдынанас 1,4 м?	1,6 м дурен 1,4 м мурдалаен квадратъем пыдэсо ящике кӧня сыӵе коробка тэроз?
13. Сколько литров воды вмещает сосуд длиною в 30 см при ширине в 20 см и высоте в 50 см?	14. Кымын литр ва тӧрӧ дозйӧ, кузьтаыс кӧ сылӧн 30 см, пасьтаыс 20 см, судтаыс — 50 см?	13. Кыным литра ва тӧрас бассейнӧ, кӧдалӧн кузяыс — 30 см, пасьта — 20 см и сувда — 50 см?	13. 30 см кузьдалаё, 20 см пасьталаё, 50 см ӝуждалаё посудае кӧня литра ву тэре?
1 л воды занимает объем, равный 1 куб. дм.	Литр ва босьтӧ 1 куб. дм ыджда объём.	Объём 1 литра ваӧн — 1 куб. дм.	1 литр ву 1 куб. дм мында инты басьтэ.
14. Сколько кубических сантиметров в 1 куб. дм?	13. Кымын кубическӧй сантиметр 1 куб. дм?	14. Кыным куб. сантиметр 1 куб. дм?	14. Кӧня куб. сантиметр 1 куб. дециметрын?
Какой объем занимают 4 л воды?	Ыджыд-ӧ объём босьтасны 4 л ва?	Ыджыт я объём 4 литр валӧн?	4 литра ву кыӵе объем басьтэ.
Сколько литров воды содержится в 1 куб. м?	Кымын литр ва 1 куб. м-ын?	Кыным литр ва тӧрӧ 1 куб. м?	1 куб. метрын кӧня литра ву луоз?
15. Сколько гектолитров воды вмещает бассейн длиною в 3 м, шириною в 1,5 м при глубине в 2 м?	15. Кымын гектолитр ва тӧрӧ бассейнӧ, кузьтаыс кӧ сылӧн 3 м, пасьтаыс 1,5 м, а джудждаыс 2 м?	15. Кыным гектолитр тӧрӧ бассейнӧ, кузя кӧдалӧн 13 м, пасьта 1,5 м и пыдына 2 м?	15. 3 м кузьдалаё, 1,5 м пасьталаё, 2 м мурдалаё бассейнэ кӧня гектолитр ву тэре?
1 гектолитр (гл) = 100 литрам (л).	1 гектолитр (гл) = 100 литр (л).	1 гектолитр (гл) = 100 литрлӧ (л).	1 гектолитрын (гл) = 100 литрлы (л) ӵоша.
16. При составлении проекта школьного здания на 300 учащихся наметили школьный зал шириною в 15 м.	16. 300 морт велӧдчысь вылӧ школа зданньӧ проектируйтігӧн шуисны вӧчны 15 метр пасьта зал.	16. Школа строитан проектын 300 велӧтчисьлӧ сувтӧтісӧ зал 15 м пасьта.	16. 300 мурт дышетскисьлы школа лэсьтон проектэз лэсьтыкузы пасьталаен 15 м зал учкиллям.
Вычислить, какова должна быть длина и высота этого зала, если известно, что на одного учащегося надо предусмотреть 2,5 кв. м пола и 12,5 куб. м воздуха.	Артавны, кутшӧм колӧ лоны кузьтаыс да судтаыс тайӧ залыслӧн, медым ӧти велӧдчысь вылӧ воис 2,5 кв. м джодж да 12,5 куб. м сынӧд.	Тӧдны, ыджыт я лоас эта заллӧн кузя да сувда, тӧдам кӧ, ӧтік велӧтчисьлӧ колӧ 2,5 кв. м джодж да 12,5 куб. м ру.	Одӥг дышетскись муртлы 2,5 кв. м выж но 12,5 куб. м омыр ке кулэ со заллэсь кӧня кузьдала но ӝуждала кулэзэ лыдъяно.
V. ЦИЛИНДР. ОКРУЖНОСТЬ. КРУГ.	V. ЦИЛИНДР. КЫТШВИЗЬ. КРУГ.	V. ЦИЛИНДР. ГӦГРӦС. ГӦГЫЛЬ.	V. ЦИЛИНДР. КОТЫРГОЖ. КОТРЕТ.
§ 1. Цилиндр.	1 §. Цилиндр.	§ 1. Цилиндр.	§ IV. Цилиндр.
1. На рисунке 42 изображено тело, которое называется цилиндром.	1. 42-ӧд серпас вылын петкӧдлӧма телӧ, коді шусьӧ цилиндрӧн.	1. 42 рисунок вылын мыччалӧм вывтыр, кӧда шусьӧ цилиндрӧн.	1. 42 суредын цилиндр шуыса нимаськись мугор возьматэмын.
Такую форму имеют очень многие предметы и в окружающей нас обстановке и в технике.	Татшӧм формаыс эм зэв уна предметъяслӧн (миян гӧгӧрса да и техникаса предметъяслӧн).	Сэтшӧм формаэс унаӧсь миян гӧгӧр и техникаын.	Сыӵе тусо арбериос асьме котырын но техникаын туж трос,
Примером служат: стаканы, трубы, колонны, валы, котлы и т. п.	Пример пыдди лоӧны: стӧканъяс, трубаяс, колоннаяс, валъяс, пӧртъяс да с. в.	Босьтам пример: стаканнэз, котёллэз, керрез, трубаэз да мӧд.	кылсярысь стаканъёс, трубаос, юбоос, пуртыос но мукет.
2. Приложим к поверхности модели цилиндра ребро линейки, как показано на рисунке 43.	2. Цилиндр модель веркӧс вылӧ пуктам линейка дорыш, кыдзи сійӧ петкӧдлӧма 43-ӧд серпас вылын.	2. Пуктам цилиндр вылӧ линейка дорышнас, кыдз мыччалӧм 43 рисунок вылын.	2. Цилиндрлэн модель бордаз 43 суредын возьматэм сямен линейка урдэз поном.
Мы видим, что ребро линейки к основаниям цилиндра прилегает вплотную в любом направлении.	Ми аддзам, мый линейка дорышыс цилиндр подувтасъяс вылас водӧ стӧч, кӧть кодарланьӧ сійӧс эн бергӧд.	Ми адззам, линейка дорыш топыта водӧ цилиндр поддэз дынӧ, кӧдӧрӧ бы эн пукты.	Отысь адӟиськом, цилиндрлэн пыдэсаз линейка котькуд пал ласянь лач-лач пуксе.
Значит, цилиндр с обоих концов ограничен плоскостями.	Сідзкӧ цилиндрыс кыкнан помсяньыс ограничитӧма плоскӧй веркӧсъясӧн, либӧ прӧстӧ плоскосьтъясӧн.	Сідз кӧ, кыкнан помыс цилиндрлӧн плоскӧйӧсь.	Озьы цилиндр кык пумысеныз ӵошкесъёсын котыртэмын.
Если же мы приложим ребро линейки сбоку, то только в одном направлении (рис. 43) не будет просветов между поверхностью и ребром.	Линейка дорышсӧ кӧ ми пуктам бокас, сэки сӧмын ӧтар направленньӧын (43-ӧд серпас) оз понды тыдавны югыдыс веркӧс да дорыш костӧдыс.	Кӧр пуктам линейкасӧ дорышнас цилиндр бок вылӧ, сэк токо ӧтланьӧ оз понды тыдавны югыт (43 рис.) линейка дорыш да цилиндр коласӧт.	Урдэс ласянь линейкаез понӥд ке, соку одӥг азьысен гинэ линейкамы лачмыт пуксёз (43 суред).
Во всяком другом направлении ребро линейки коснется только в одной точке поверхности цилиндра (рис. 44).	Быд мукӧд ногӧн пуктігӧн линейка дорышыс цилиндр веркӧсас инмас сӧмын ӧти чутын (44-ӧд серпас).	Кыдз бы мийӧ эг бергӧтлӧ линейка дорыш, быдлаын пондас тыдавны югыт и токо ӧтік чутын линейка дорыш ӧтлаасяс цилиндр бок вевдӧркӧт (44 рис.).	Котькуд мызон палэ линейкамес берыктыса, цилиндр бордэ линейкалэн урдэз одӥг точкаен гинэ йӧтоз (44 суред).
Такая поверхность называется кривой.	Татшӧм веркӧсыс шусьӧ шыгыра веркӧсӧн, либӧ прӧста шыгыраӧн.	Этатшӧм вевдӧрыс шусьӧ чукыля вевдӧрӧн.	Сыӵе вылтыр кырыж шуыса нимаське.
Следовательно, боковая поверхность цилиндра — кривая, поверхность цилиндрическая.	Сідзкӧ бокӧвӧй веркӧсыс цилиндрлӧн — шыгыра, цилиндрическӧй веркӧс.	Лоӧ, цилиндр бок вевдӧрыс — чукыля вевдӧр.	Озьыен, цилиндрлэн урдэс вылтырез — кырыж цилиндр вылтыр луэ.
Итак, основания цилиндра — плоские поверхности, а боковая его поверхность — кривая поверхность.	Сідзкӧ цилиндрлӧн подувтасъясыс плоскӧй веркӧсъяс, а сылӧн бокӧвӧй веркӧсыс — шыгыра веркӧс.	A сійӧн цилиндр поддэз — плоскӧй вевдӧррез, а бок вевдӧр — чукыля вевдӧр.	Улӥ но вылӥ пыдэсъёсыз ӵошкыт вылтыр луо, нош солэн урдэс вылтырез кырыж вылтыр луэ.
§ 2. Окружность и круг.	2 §. Кытшвизь (окружносьт) да круг.	§ 2. Гӧгрӧс да гӧгыль.	§ 2. Котыргож но котрет.
1. Поставим цилиндр на лист бумаги и обведем по краю его основания карандашом.	1. Пуктам кабала лист вылӧ цилиндр да подувтас дор гӧгӧрыс гижтам карандашӧн.	1. Сувтӧтам цилиндр гумага лист вылӧ да нуӧтам сы под дорӧттис карандашӧн.	1. Цилиндрез бумага вылэ пуктыса цилиндрлэн пыдэс бордэтӥз бумага вылтӥ карандашен гож ортчытом.
Мы получим кривую замкнутую линию АВС, которая называется окружностью (рис. 45).	Миян артмас тупкӧса нюкыля визь ABC, коді шусьӧ кытшвизьӧн (45-ӧд серпас).	Миян лоас гӧгрӧса ӧтлаасьӧм визь ABC, кӧда шусьӧ гӧгрӧсӧн (45 рис.).	Асьмеос кырыж пумтэм АВС гож шедьтом, со ик котыргож нимаське (45 сур.).
2. Для вычерчивания окружности бондарь поступает так: вырезав из толстой бумаги (картона) или из фанеры планочку MN (рис. 46), он просверливает в ней, примерно, на расстоянии 1 см друг от друга ряд отверстий; воткнув через одно из этих отверстий (О) в доску гвоздь, он вдевает в другое отверстие (A) острие карандаша; вращая планочку около неподвижной точки (О) по плоскости доски, он получает окружность, вычерчиваемую острием карандаша.	2. Кытшвизь гижтӧм вылӧ пельса вӧчысь вӧчӧ тадзи: кыз бумагаысь (картонысь) либӧ фанераысь вундӧ векньыдика планки MN (46-ӧд серпас), сы вылӧ вӧчалӧ, шуам, ӧти мӧдсяньыс 1 см костӧн, некымын розь, кутшӧмкӧ ӧти розь пыр (O) кучкӧ пӧвъяс тув, мӧд розьӧ (A) сюйӧ карандаш йыв; пӧв веркӧс вывтіыс вӧрзьытӧм (O) чут гӧгӧрыс планкисӧ бергӧдлігӧн сылӧн артмӧ кытшвизь, кодӧс гижтӧ карандаш йылыс.	2. Медбы керны гӧгрӧс, кӧньӧс керись сідз пондӧтчӧ: вундыштас кыз гумагаись (картонісь) либо фанераись дзавоккез MN (46 рис.), дзавокнас ӧтамӧд дынсянь ӧтік сантиметр ылына керӧ писькӧссэз; ӧтік писькӧс (O) пыр пӧлӧ дорас кӧрттув, мӧдік писькӧсӧ (A) сюйыштас карандаш йыв; невӧран чут (O) гӧгӧр бергӧтікӧ карандаш йыв пӧв вылын керас гӧгрӧс.	2. Бекче лэсьтӥсь котыргож лэсьтон понна тазьы ужа: фанера доскаез-а, яке чурыт зӧк бумагаез-а MN планка (46 сур) вандыса, со планка вылаз 1 см кусып вис кельтыса пась лэсьтылэ; одӥгаз пулэ (О) пыр кортӵог шуккыса, нош мукетаз (A) пасяз карандаш бышкалтэ; собере планказэ (О) точка котыртӥ котыртыса, карандашезлэн йылэныз гожтэм котыргож поттэ.
При этом острие карандаша (А) находится все время на одном и том же расстоянии от точки О.	Бергӧдлігас карандаш йылыс (A) век лоӧ ӧтылнаын O чутсяньыс.	Эта кадӧ карандаш йыв (A) видзсьӧ ӧтылына чут (O) дынсянь.	Соку карандашлэн (A) йылэз (О) точкаысен кусыпсэ уг вошъя, ялан одӥг кадь улэ.
Точка О называется центром окружности, а отрезок ОА — радиусом окружности.	O чутыс шусьӧ кытшвизь шӧрӧн (центрӧн), а OA вундӧгыс — кытшвизь радиусӧн.	Чут (O) шусьӧ гӧгрӧслӧн центр, а торок OА — гӧгрӧс радиусӧн.	О точка, котыргожлэн шорез шуыса нимаське, ОА вандэт радиус шуыса нимаське.
Значит, окружностью называется замкнутая кривая линия на плоскости, все точки которой отстоят на одном и том же расстоянии от одной точки, называемой центром окружности.	Кытшвизьӧн шусьӧ плоскосьт вылын тупкӧса шыгыра визь, кодлӧн став чутыс лоӧ ӧтылнаын ӧти чутсянь, кодӧс шуӧны кытшвизь шӧрӧн.	Лоӧ, гӧгрӧсӧн шусьӧ плоскость вылын поммезӧн ӧтлаӧтӧм чукыля визь, быд чут кӧдалӧн сулалӧ ӧтылына ӧтік чут дынсянь, кӧда шусьӧ гӧгрӧс центрӧн.	Озьыен, Ӵошкес вылысь пумтэм кырыж гож, кудӥзлэн вань точкаосыз шорез шуыса нимаськись точкаысен ог кемын сыло, котыргож шуыса нимаське.
Из самого определения и вычерчивания окружности следует, что в окружности можно провести бесчисленное множество радиусов; все они равны между собою (рис. 47).	Татшӧм определенньӧ сертиыс да кытшвизь гижтӧм сертиыс нин гӧгӧрвоана, мый кытшвизьын позьӧ нуӧдны помтӧм уна радиус: ставныс найӧ лоӧны ӧтыдждаӧсь мӧда-мӧдныскӧд (47-ӧд серпас).	Эта висьталӧмись да гӧгрӧс чертитӧмись тыдалӧ, гӧгрӧсын позьӧ нуӧтны уна радиуссэз; быдӧнныс нія лоасӧ ӧтыждаӧсь (47 рис.).	Котыргожлэн определениысьтыз но гожтэмысьтыз — котыргожын лыдтэм радиусъёс ортчытыны луонэз адӟиське, ваньзы соос ваче куспазы ог кадесь луозы (47 сур.).
(Сравнить со спицами колеса).	(Ӧтластитны кӧлеса паличьяскӧд).	(Ордчӧтӧ колесо палеччезӧн).	(Питран пиньёсын ӵошатоно).
3. Садовник, чтобы вычертить окружность, пользуется веревкой с петлями на концах (рис. 48).	3. Садовник кытшвизь гижтігӧн пӧльзуйтчӧ кыкнан помас петляа кӧвйӧн (48-ӧд серпас).	3. Садовник, медбы чертитны гӧгрӧс, босьтӧ гез, кӧдалӧн поммезас пекляэз (48 рис.).	3. Садын ужась мурт котыргож гожтон понна кык пумзэ ик кыӵесам гозыен ужа (48 сур.).
В одну петлю он вставляет колышек и вбивает его в землю, а в другую вставляет острую палку и водит ею по земле, все время натягивая веревку (рис. 48).	Ӧти петляас сійӧ сюйӧ майӧг да тувъялӧ сійӧс муас, а мӧдас сюйӧ ёсь бедь да кӧвсӧ зэлыда кутігмоз сійӧн гижтӧ мутіыс (48-ӧд серпас).	Ӧтік пекляӧ сюйыштӧ майӧг да мӧртӧ муӧ, а мӧдас сюйыштӧ ёся бедь да гезсӧ нюжӧтӧмӧн кырлалӧ му кузя (48 рис.).	Одӥг кыӵесаз со ӵог поныса музъеме шукке, кыкетӥ гозы кыӵесаз йылсо боды бышкалтыса, гозызэ ог кадь юн золтыса боды йылэныз музъеметӥ гож нуэ (48 сур.).
4. Чертежник для вычерчивания окружности пользуется циркулем, одна ножка которого вставная для карандаша или рейсфедера.	4. Чертёжник кытшвизь гижтігӧн пӧльзуйтчӧ циркульӧн, ӧти циркуль кокас сюйсьӧ карандаш либӧ рейсфедер.	4. Чертёжник гӧгрӧс чертитӧм понда босьтӧ циркуль, ӧтік кокыс кӧдалӧн лӧсьӧтӧм сувтӧтны карандаш, либо рейсфедер.	4. Чертёжник котыргож гожтон понна циркулен ужа. Со циркулен одӥг кукез карандаш яке рейсфедер поныны тупатэмын.
Этим же прибором и мы будем пользоваться при вычерчивании окружности.	Тайӧ жӧ приборнас пондам пӧльзуйтчыны и ми кытшвизь гижтігӧн.	Эта жӧ приборӧн пондамӧ уджавны и ми, гӧгрӧссэз чертитікӧ.	Котыргож гожъяку асьмеос но озьы со приборен ик ужалом.
5. Если увеличить расстояние между двумя отверстиями на планочке (рис. 46) или увеличить длину веревки (рис. 48), или расстояние между остриями ножек циркуля, то тем самым увеличится и сама окружность.	5. Содтыны кӧ кык розь костсӧ бланки вылас (46-ӧд серпас), либӧ кузьджыкӧс кӧ босьтны кӧвсӧ (48-ӧд серпас), либӧ ёнджыка кӧ паськӧдны циркуль вожсӧ, сэки содӧ и ачыс кытшвизьыс.	5. Содтыны кӧ ылынасӧ дзав писькӧссэз коласын (46 рис.), либо гезлісь кузясӧ (48 рис.), либо циркуль кок йыввез колассӧ, сэк содас и ачыс гӧгрӧсыс.	5. Планка вылысь кык пась кусыпъёссэ паськытатыса (46 сур), яке гозылэсь кузьдалазэ кузятыса (48 сур.), яке циркульлэсь кук виссэ паськыт карыса котыргож лэсьтӥд ке, соку котыргожмы бадӟым луэ.
Отсюда заключаем: с увеличением радиуса окружности увеличивается и сама окружность.	Татысь петӧ: кытшвизьлысь радиуссӧ ыдждӧдӧмла ыдждӧ и ачыс кытшвизьыс.	Этасянь шуам: Содтан кӧ гӧгрӧс радиус, содас и гӧгрӧсыс.	Со бордысь вераськом: котыргожлэсь радиусэз бадӟыматыса котыргож ачиз но бадӟыма.
6. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.	6. Кытшвизьӧн ограничитӧм плоскосьт юкӧныс шусьӧ кругӧн.	6. Плоскость тор, кытшӧвтӧм гӧгрӧсӧн, шусьӧ гӧгыльӧн.	6. Ӵошкеслэн люкетэз котыргожен котыртэмын ке, котрет шуыса нимаське.
Таким образом основаниями цилиндра служат круги.	Сідзкӧ цилиндр подувтасъясӧн лоӧны кругъяс.	Лоӧ, цилиндр поддэз понда колӧ гӧгыль.	Озьы луыса цилиндрлэн пыдэсъёсыз котрет луо.
Бондарь сначала вычерчивает на доске окружность и затем по ней выпиливает круг.	Пельса вӧчысь войдӧр гижтӧ пӧв вылын кытшвизь, а сэсся сы кузьта пилитӧ круг.	Кӧньӧс керись медодз пӧв вылын чертитӧ гӧгрӧс, а сыбӧрын сы сьӧрті пилитӧ гӧгыль.	Бекче лэсьтӥсь азьлон пул вылэ котыргож лэсьтэ, собере котрет вандэ.
7. Начертим на бумаге одним из указанных выше способов, например с помощью циркуля, две окружности одного и того же радиуса (рис. 49), т. е. так, чтобы О₁А₁~ О₂А₂.	7. Гижтам бумага вылын кутшӧмкӧ ӧти вылынджык индӧм ногӧн, шуам циркульӧн, ӧткодь радиуса кык кытшвизь (49-ӧд серпас), сідзи, медым О₁А₁ = О₂А₂.	7. Чертитам гумага вылын циркульӧн кык гӧгрӧс ӧтыжда радиусӧн (49 рис.) сідз, медбы O₁A₁ = O₂A₂.	7. Вылысь возьматэм одӥг амалъя, кылсярысь циркулен, бумага вылэ одӥг радиусъем кык котыргож гожтом (49 сур.), мукет сямен, О₁А₁ = О₂А мед луоз.
Вырежем затем аккуратно по окружности из бумаги два круга.	Сэсся стӧч кытшвизьӧдыс вундам бумагасьыс кык круг.	Сыбӧрын басӧка гӧгрӧс визь кузя вундыштам гумагаись кык гӧгыль.	Собере эскерыса котыргожмы кузя бумагалэсь кык котрет вандом.
Наложим круг с центром О₂ на круг с центром О₁ так, чтобы их центры совпали, тогда круги совпадут, совпадут и их окружности.	Пуктам О₂ шӧрчута кругсӧ О₁ шӧрчута круг вылас сідзи, медым налӧн шӧрчутъясыс вевсясисны, сэки кругъясыс вевсясясны жӧ, вевсясясны и налӧн кытшвизьясыс.	Гӧгыль центрӧн O₂ пуктам гӧгыль вылӧ центрӧн O₁ сідз, медбы нылӧн центррез вӧлісӧ ӧт весьтын, сэк гӧгыллес и гӧгрӧссэс лоасӧ ӧтыждаӧсь.	О₂ шор точкаё О₁ шор точкаё котрет вылэ, соослэн шор точкаоссы ог вадьсы мед тупалозы шуыса, поном. Соку котретмы вылысьтыз вылаз тупалоз, озьы ик котыргожъёсмы но тупалозы.
Две окружности, или два круга, одинакового радиуса при наложении совпадают, т. е. они равны.	Ӧткодь радиуса кык кытшвизь либӧ кык круг ӧти мӧд вылас пуктігӧн вевсясьӧны, мӧд ногӧн кӧ, мӧда-мӧдыскӧд найӧ ӧтыдждаӧсь.	Кык гӧгрӧс либо кык гӧгыль, ӧтыжда радиуссэзӧн, ӧтамӧдлӧ пуктӧмӧн лоасӧ ӧтыждаӧсь.	Одӥг кузяесь кык котыргожъёсыз яке котретъёсыз огез вылэ огзэ понӥськод ке, соос тупало, мукет сямен вораса, соос огкадесь.
Основания цилиндра — два равных круга.	Цилиндрлӧн подувтасъясыс кык ӧтыджда круг.	Цилиндра поддэз — кык ӧтыжда гӧгыль.	Цилиндрлэн пыдэсъёсыз — кык огкадесь котретъёс.
8. Начертим две окружности с одним и тем же центром О, но разного радиуса ОА и ОВ (рис. 50).	8. Гижтам кык кытшвизь ӧти О шӧрчутӧн, но разнӧй радиусъясӧн — ОА да OB (50-ӧд серпас).	8. Чертитам кык гӧгрӧс ӧтік центрӧн O, но неӧткодь радиуссэзӧн OА да OB (50 рис.).	8. Пӧртэм кузьдалаё ОА но ОВ радиусъёсын ог кадь О шор точкаысен котыргож лэсьтом (50 суред).
Такие две окружности называются концентрическими.	Татшӧм кык кытшвизьыс шусьӧны концентрическӧйясӧн.	Сэтшӧм кык гӧгрӧсыс шусьӧны концентрическӧйезӧн.	Сыӵе кык котыргожъёс концентрическоесь шуыса нимасько.
Концентрическими являются внешний и внутренний края обода колеса; концентрическими будут также внешняя и внутренняя окружности поперечного сечения трубы.	Концентрическӧй кытшвизьясӧн лоӧны ортсыса да пытшкӧсса доръясыс кӧлеса таслӧн; концентрическӧй кытшвизьясӧн лоӧны сідзжӧ ортсыса да пытшкӧсса кытшвизьясыс вомӧнног вундӧм трубалӧн.	Концентрическӧйезӧн лоасӧ вевдӧрись да пытшкись колесо доррес; сідзжӧ концентрическӧйезӧн лоасӧ вевдӧрись да пытшкись гӧгрӧссэз шӧри орӧтӧм трубалӧн.	Питранлэн пушпал но педпал гожъёсыз концентрической котыргожъёс луозы: озьы ик турбаез вамен ӵогемлэн педпал но пушпал котыргожъёсыз концентрическоесь луозы.
Часть плоскости между двумя концентрическими окружностями называется кольцом (заштрихованная часть на рис. 50).	Кык концентрическӧй кытшвизь костса плоскӧй юкӧныс шусьӧ кытшӧн (сьӧдӧдӧм юкӧныс 50-ӧд серпас вылын).	Кык концентрическӧй гӧгрӧс коласын плоскость тор шусьӧ кытшӧн (кольчоӧн) (50 рис. серӧтӧм тор).	Кык концентрической котыргожъёслэн вис люкетсы кульчо шуыса нимасько (50 сур. сьӧдмам интыез).
Кольцом является поперечный разрез трубы.	Кытшӧн лоӧ вомӧнног вундӧм труба дор.	Поперег вундыштӧм труба лоас кытш.	Турбалэн вамен вандэтэз кульчо луэ.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Где лежат на плоскости точки, равноудаленные от одной данной точки?	1. Кӧні лоӧны плоскосьт вылын ӧти сетӧм чутсянь ӧтыліса чутъясыс?	1. Кытӧн плоскость вылын куйлӧны чуттэз, ӧтылына сувтӧтӧм ӧтік сетӧм чут дынсянь?	1. Ӵошкес вылын одӥг сётэм точкаысен ог кадесь кыдёке карем точкаос кытыназ кыллё?
2. Диаметр внешней окружности кольца равен 12,3 см, диаметр внутренней окружности равен 5,7 см.	2. Кытш ортсы кытшвизьлӧн диаметрыс 12,3 см, пытшкӧсса кытшвизьлӧн диаметрыс 5,7 см.	2. Диаметр кытш вевдӧр гӧгрӧслӧн 12,3 см, диаметр пытшкись гӧгрӧслӧн 5,7 см.	2. Котыргожлэн педпалэзлэн диаметрез 12,3 см, котыргожлэн пушпал диаметрез 5,7 см ӵоша.
Найти ширину кольца.	Корсьны кытшыслысь пасьтасӧ.	Адззӧ кытшлісь пасьта.	Кульчолэсь пасьталазэ шедьтоно.
3. Начертить окружность с центром в точке О радиусом, равным 4 см.	3. Гижтыны кытшвизь О шӧрчутӧн, радиусыс медым вӧлі 4 см.	3. Чертитӧ 4 см ыжда гӧгрӧс центрӧн O чутын.	3. 4 см радиусэн, О шор точкаен котыргож лэсьтоно.
Где лежат точки, расстояние которых от центра равно 6 см? 3 см? 4 см?	Кӧні лоӧны чутъясыс, костыс кӧ налӧн шӧрчутсяньыс 6 см? 3 см? 4 см?	Кытӧн куйлӧны чуттэз, ылынаыс кӧдналӧн центр дынсянь, 6 см? 3 см? 4 см?	Кытын луозы точкаос 6 см, 3 см, 4 см кусыпен шор точка дорысен?
§ 3. Дуга. Хорда. Диаметр. Сектор.	3 §. Дуга. Хорда. Диаметр. Сектор.	§ 3. Дуга. Хорда. Диаметра. Сектор.	§ 3. Буко. Хорда. Диаметр. Сектор.
1. На рисунке 51 дана окружность с центром О.	1. 51-ӧд серпас вылын сетӧма кытшвизь O шӧрчутӧн.	1. 51 рисунок вылын сетӧм гӧгрӧс O центрӧн.	1. 51 суредын О шорен (центрен) котыргож сётэмын.
Часть окружности АВ называется дугою.	Кытшвизьлӧн юкӧныс AB шусьӧ дугаӧн.	AB гӧгрӧс тор шусьӧ дугаӧн.	Котыргожлэн АВ люкетэз буко шуыса нимаське.
Слово дуга принято обозначать знаком ‿.	Дуга кывсӧ пасйӧны ‿ пасӧн.	Дуга кывсӧ гумага вылын гижӧны пасӧн ‿.	Буко кылэз ‿ пусэн тодмояны кутэмын.
Так например, пишут: ‿АВ и говорят: дуга АВ.	Шуам, гижӧны тадзи: ‿AB, а шуӧны: дуга AB.	Гижӧм ‿AB: а шуӧны: дуга AB.	Кылсярысь, ‿АВ гожто но АВ буко шуо.
2. Отрезок АВ (рис. 51), концами которого служат концы дуги АВ, называется хордой.	2. Вундӧг AB (51-ӧд серпас), кодлӧн помъясыс лоӧны AB дугаыслӧн помъясыс, шусьӧ хордаӧн.	2. AB торок (51 рис.), поммес кӧдалӧн лоӧны AB дуга поммезӧн, шусьӧ хордаӧн.	АВ вандэт (51 сур.) хорда шуыса нимаське. АВ буколэн пумъёсыз ик солэн на пушъёсыз луо.
Хордой называется всякий отрезок, концами которого служат две точки окружности.	Хордаӧн шусьӧ быд вундӧг, кодлӧн помъясыс лоӧны кытшвизьлӧн кык чут.	Хордаӧн шусьӧ быд торок, поммес кӧдалӧн эмӧсь гӧгрӧслӧн кык чут.	Котькыӵе вандэт, пумъёсыз котыргожлэн кык точкаез ке луэ, со хорда шуыса нимаське.
Так например отрезок MN (рис. 51) — хорда окружности с центром в точке О.	Сідз, шуам, вундӧг MN (51-ӧд серпас) — O шӧрчута круг кытшлӧн хорда.	MN орӧток (51 рис.) — гӧгрӧслӧн хорда, центрӧн O чутын.	Озьы, кылсярысь MN вандэт (51 сур.) — котыргожлэн хордаез шореныз О точкаын.
Принято говорить: хорда MN «стягивает» дугу MKN, или: ‿MKN стягивается хордой MN.	Шуӧны тадзи: хорда MN «зэвтӧ» (стягивайтӧ) — дуга MKN, либӧ: ‿MKN зэвтсьӧ MN хордаӧн.	Босьтӧм баитны: MN хорда «зэлӧтӧ» дуга MKN, либо: ‿MKN зэлӧтчӧ MN хордаӧн.	Тазьы шуыны кутэмын: МN хорда МКN букоез «золтэ» яке: MKN ‿MN хордаен золтӥське.
3. В окружности с центром О проведен радиус ОА (рис. 52) и продолжен за О в противоположном направлении до пересечения с окружностью в точке В.	3. O шӧрчута кытшвизьын нуӧдӧма радиус OA (52-ӧд серпас) да сійӧс мӧдарӧ направленньӧӧн нюжӧдӧма O саяс кытшвизькӧд B чутын вомӧнасьтӧдз.	3. O центрӧн гӧгрӧсын нуӧтӧм OА радиус (52 рис.) кӧдійӧ нуӧтӧм O чут сайӧ B чутын гӧгрӧскӧт крестасьӧмӧдз.	8. О шор точкаё котыргожын ОА радиус ортчытэмын (52 сур.), со радиусэз со вадесэтӥ ик О шор точка сьӧре котыргожлэн В точкаяз ӵогиськытозяз ортчытэмын.
Прямая АВ, т. е. хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.	Веськыд визьыс AB, мӧд ног кӧ, кытшвизь шӧрчут пырыс мунысь хорда, шусьӧ диаметрӧн.	AB визь, сія жӧ хорда, кӧдія мунӧ гӧгрӧс центра пыр, шусьӧ диаметрӧн.	АВ шонер гож, мукет сямен, котыргожлэн шор точка пыртӥз ортчись хорда диаметр шуыса нимаське.
Обозначив длину диаметра через D, а длину радиуса — через R, получим: D = 2R, или R = ½D, т. е. диаметр равен двум радиусам; радиус равен половине диаметра.	Диаметрлысь кузьтасӧ пасъям D шыпасӧн, а радиуслысь кузьтасӧ R шыпасӧн, лоӧ: D = 2R, либӧ R = ½D, мӧд ног кӧ, диаметр — кык радиус ыджда; радиус — диаметр джын ыджда.	Диаметрлісь кузясӧ пасъялам D-ӧн, а радиуслісь кузясӧ R-ӧн лоас: D = 2R, либо R = ½D, диаметрыс лоӧ кык радиус кузя; радиус лоӧ диаметр джын кузя.	Диаметрлэсь кузьдалазэ D букваен тодмо карыса, радиусэзлэсь кузьдалазэ R букваен гожтыса, шедьтом: D = 2R яке R = ½D, мукет сямен, диаметр кык радиуслы ӵоша; радиус диаметрлэн ӝыныезлы ӵоша.
Если из точки А провести еще какую-нибудь хорду АС, то непосредственным измерением можно убедиться, что хорда АС короче диаметра.	A чутсянь кӧ нуӧдны нӧшта кутшӧмкӧ AC хорда, непосредственнӧй мурталӧмӧн позьӧ аддзыны: AC хордаыс дженьыдджык диаметрысь.	Нуӧтам кӧ A чутісь кытшӧм либо AC хорда, то меряйтікӧ позьӧ казявны: AC хордаыс диаметрся дженытжык.	А точкаысь кыӵе ке АС хорда ортчытӥд на ке, соку юри мертаса АС хордалэсь диаметр сярысь вакчизэ оскыны луоз.
Диаметр — наибольшая из хорд окружности.	Диаметр — медся ыджыд хорда кытшвизьын.	Медыджыт хорда гӧгрӧслӧн — диаметр.	Диаметр — котыргожлэн хордаосыз пӧлысь ваньмызлэсь кузез луэ.
4. Начертим на листе бумаги окружность и аккуратно вырежем по ней круг.	4. Гижтам бумага лист вылын кытшвизь да сы кузя вундам круг.	4. Гумага лист вылын чертитам гӧгрӧс и сы сьӧрті вундыштам гӧгыль.	4. Лис бумага вылэ котыргож лэсьтом но туж эскерыса котыргож кузя котрет вандом.
Проведем диаметр круга и перегнем круг по диаметру, тогда обе части круга совпадут;	Нуӧдам кругыслысь диаметрсӧ да диаметр кузьтаыс кругсӧ кусыньтам, сэки кыкнан юкӧныс кругыслӧн вевсяасясны,	Гӧгыль вылӧт нуӧтам диаметр и диаметр сьӧрті гӧгыльсӧ кӧстам, сэк гӧгыльыслӧн торрес локтасӧ топ;	Котрет выламы диаметр гожтом но, котретмес диаметртӥз шори куасалтом, соку котретлэн кык люкетэз ик ваче тупало.
следовательно, диаметр делит круг и окружность пополам, а именно — на два полукруга и две полуокружности.	сідзкӧ диаметрыс кругсӧ да кытшвизьсӧ юкӧ шӧри — кык кругджын вылӧ да кык кытшвизьджын вылӧ.	сысянь, гӧгыльыс и гӧгрӧсыс диаметрнас юксьӧ шӧри — кык гӧгыль вылӧ и кык гӧгрӧс джын вылӧ.	Озьы бере, диаметр котретэз но котыргожез но шори люке — кык ӝыны котретлы но кык ӝыны котыргожлы.
Хорда также делит круг и окружность на две части, но эти части не равны между собою — одна меньше полуокружности, а другая больше полуокружности.	Хорда сідзжӧ юкӧ кругсӧ да кытшвизьсӧ кык юкӧн вылӧ, но тайӧ юкӧнъясыс абу ӧтыдждаӧсь мӧда-мӧдныскӧд — ӧтиыс ичӧтджык кытшвизьджынсьыс.	Хордаыс сідзжӧ гӧгыльсӧ да гӧгрӧссӧ юкӧ кык тор вылӧ, но эна торрес не ӧтыждаӧсь — ӧтыс гӧгрӧс джынся учӧтжык, а мӧдыс гӧгрӧс джынся ыджытжык.	Хорда озьы ик котыргожез но котретэз кык люкетлы люке, нош со люкетъёс куспазы ог кадесь уг луо. Огез ӝыны котыргожлэсь пичи, мукетэз ӝыны котыргожлэсь бадӟым луэ.
Когда говорят, что хорда стягивает дугу, то имеют в виду меньшую дугу, если нет каких-либо особых оговорок.	Кор шуӧны, хорда пӧ зэвтӧ дугасӧ, сэк гӧгӧрвосьӧ ичӧтджык дугаыс, абу кӧ кутшӧмкӧ торъя индӧдъяс.	Кӧр шуӧны, хордаыс пӧ кутӧм дуга, сія лоӧ учӧтжык дуга понда.	Хорда букоез золтэ шуо ке, соку нимаз верамез ке ӧвӧл, пичи буко сярысь валаны кулэ.
5. Если в круге проведены два радиуса ОА и ОВ (рис. 53), то часть круга, ограниченная ими (04 и 05) и дугою АМВ называется сектором (на рисунке сектор заштрихован).	5. Кругас кӧ нуӧдӧма кык радиус OA да OB (53-ӧд серпас), сэки круг юкӧныс, коді лоӧ OA да OB радиусъяс да AMB дуга костын, шусьӧ секторӧн (серпас вылас секторсӧ сьӧдӧдӧма).	5. Гӧгыльын кӧ нуӧтӧм OА и OB кык радиус (53 рис.), то нійӧн кутӧм (ОА и OB) и AMB дугаӧн гӧгыль торыс шусьӧ секторӧн (рисунок вылас вевттьӧм тшӧка виззезӧн).	5. Котретын ОА но ОВ кык радиус ортчытэмын ке (53 суред), котыргожлэн радиусъёсын но АМВ букоен котыртэм люкетэз (ОА но ОВ) сектор шуыса нимаське (суред вылын сектор сьӧдмамын).
Понятно, что не заштрихованная часть круга является также сектором, дуга которого больше полуокружности.	Тӧдӧмысь, сьӧдӧдтӧм юкӧныс кругыслӧн лоӧ сідзжӧ секторӧн, кодлӧн дугаыс ыджыдджык кытшвизьджынсьыс.	Сысянь мӧд гӧгыль торыс тожӧ лоӧ сектор, кӧдалӧн дугаыс гӧгрӧс джынся ыджытжык.	Котретлэн сьӧдмамтэ люкетэз но озьы ик сектор луэ, солэн букоез ӝыны котыргожлэсь бадӟым.
И в данном случае, когда нет особой оговорки, имеется в виду сектор с меньшей дугой.	Тані сідзжӧ, абу кӧ торйӧн урчитӧма, гӧгӧрвосьӧ ичӧтджык дугаа секторыс.	Но татӧн ми сёрнитамӧ учӧтжык дугаа сектор понда.	Сектор сярысь нимысьтыз верамтэ дыръя пичи сектор сярысь вераськон мынэ шуыса валаны кулэ.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Начертить две концентрические окружности разных радиусов.	1. Чертитны разнӧй радиуса кык концентрическӧй кытшвизь.	1. Чертитӧ не ӧтыжда концентрическӧй кык гӧгрӧс.	1. Кык пӧртэм радиусо огез пушкы мукетэз пырись котыргожъёс гожтоно.
Радиусы окружностей относятся, как 2:5, ширина кольца равна 11,7 см.	Кытшвизьяслӧн радиусъясыс мӧда-мӧдыслы относитчӧны, кыдзи 2 : 5, кытшыслӧн пасьтаыс 11,7 см.	Гӧгрӧссэзлӧн радиуссэз тшӧтшӧтсьӧны кыдз 2 : 5, кытшыслӧн (кольцолӧн) пасьтаыс 11,7 см ыжда.	Котыргожъёслэн радиусъёссы огзылы огзы 2 : 5 кадь луо, кульчоезлэн пасьталаез 11,7 см.
Найти радиусы окружностей.	Корсьны кытшвизьясыслысь радиусъяссӧ.	Адззӧ гӧгрӧссэзісь радиуссэз.	Котыргожъёслэсь радиусъёссэс шедьтоно.
2. Начертить окружность радиуса R = 2 см.	2. Чертитны кытшвизь, радиусыс R = 2 см.	2. Чертитӧ гӧгрӧс R = 2 см радиусаӧ.	2. R = 2 см радиуслэсь котыргож гожтоно.
Провести в ней радиус ОА и от точки А в последовательном порядке вписать в окружность хорды, равные каждая радиусу, т. е. 2 см.	Нуӧдны кытшвизяс радиус ОА да А чутсянь ӧти мӧд бӧрся гижтавны кытшвизяс хордаяс, медым быд хорда вӧлі радиус ыдждаыс жӧ — 2 см.	Нуӧтӧ сэтчӧ OА радиус и A чутсянь сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн гӧгрӧс пытшкас нуӧтлӧ босьтӧм радиус кузя хордаэз.	Отчы ОА радиус ортчытоно но А точкаысен котыргоже бӧрсе-бӧрсе 2 см ӵошась хордаос гожтылоно на.
Конец последней хорды должен совпасть с точкой А.	Медбӧръя хорда помыслы колӧ вевсяасьны А чуткӧд.	Бӧрись хордалӧн помыс усяс топ A чут вылӧ.	Берпум хордалэн пумез А точкае мед усёз.
На сколько равных дуг разделится окружность?	Кымын ӧтыджда дуга вылӧ юксяс кытшвизьыс?	Кыным ӧтыжда дугаэз вылӧ юксяс гӧгрӧс?	Котыргож кӧня ог кадесь букваослы люкиськоз?
Как называется замкнутая фигура, сторонами которой служат хорды?	Кыдзи шусьӧ тупкӧса фигураыс, кодлӧн доръясыс пыдди лоӧны хордаяс?	Кыдз шусьӧ фигураыс хордаӧн кутӧм гӧгыль торыс?	Котыр дуръёсыз хорда луись пытсаськем фигура кызьы нимаське?
3. Сколько диаметров можно провести в окружности?	3. Кымын диаметр позьӧ нуӧдны кытшвизьын?	3. Кыным диаметр гӧгрӧсын позьӧ нуӧтны?	3. Котыргожын кӧня диаметр ортчытыны луоз?
Будут ли они равны?	Ӧтыдждаӧсь-ӧ найӧ лоӧны?	Ӧтыжда я нія лоасӧ?	Соос ог кадесь луозы-а?
4. Провести в окружности два диаметра.	4. Нуӧдны кытшвизьын кык диаметр.	4. Гӧгрӧсын нуӧтӧ кык диаметр:	4. Котыргожын кык диаметр ортчытоно.
На какие части они делят друг друга?	Кутшӧм юкӧнъяс вылӧ найӧ торйӧдӧны мӧда-мӧднысӧ?	кытшӧм торрез вылӧ нія асьнысӧ юкӧвтасӧ?	Соос огзэс огзы кыче люкетъёслы люко?
5. Пользуясь задачей 2, показать, как разделить круг на 6 равных секторов.	5. Мӧд задача серти петкӧдлыны, кыдзи юкны круг квайт ӧткодь сектор вылӧ.	5. 2 задача сьӧрті мыччалӧ, кыдз юкӧвтны гӧгыль 6 ӧтыжда секторрез вылӧ.	5. 2 задачаен ужаса, котыргожез 6 ог кадесь люкетъёслы люконэз возьматоно.
6. Радиус окружности равен 10,5 см.	6. Кытшвизьлӧн радиус 10,5 см.	6. Гӧгрӧслӧн радиус 10,5 см кузя.	6. Котыргожлэн радиусэз 10,5 см ӵоша.
Найти длину наибольшей ее хорды.	Корсьны кузьтасӧ медся ыджыд хордаыслысь.	Адззӧ сэтісь медыджыт хордалісь кузясӧ.	Солэн котькудӥзлэсь кузь хордазэ шедьтоно.
7. Диаметр данной окружности равен 12 см.	7. Диаметрыс сетӧм кытшвизьлӧн 12 см.	7. Сетӧм гӧгрӧслӧн диаметрыс 12 см кузя.	7. Сётэм котыргожлэн диаметрез 12 см ӵоша.
Радиус концентрической окружности вдвое меньше радиуса данной.	Концентрическӧй кытшвизьлӧн радиусыс кык пӧв ичӧтджык сетӧм кытшвизь радиусысь.	Концентрическӧй гӧгрӧслӧн радиусыс кыкись дженытжык.	Пушказ гожтэм котыргожлэн радиусэз, сётэм сярысь кык пол пичи.
Определить диаметр ее.	Корсьны сылысь диаметрсӧ.	Адззӧ сія диаметрлісь кузясӧ.	Солэсь диаметрзэ тодоно.
VI. УГЛЫ.	VI. ПЕЛЬӦСЪЯС.	VI. ПЕЛЬӦССЭЗ.	VI. СЭРЕГЪЁС.
§ 1. Окружность и угол. Прямой угол.	1 §. Пельӧс. Веськыд пельӧс. Ёсь да тшӧтшыд пельӧс.&	§ 1. Гӧгрӧс да пельӧс. Веськыт пельӧс.	§ 1. Котыргож но сэрег. Шонер сэрег.
1. Из точки М проведены два луча МА и МВ (рис. 54).	1. M чутысь нуӧдӧма кык луч MA да MB (54-ӧд серпас).	1. M чутісь нуӧтӧм МА и MB кык визь (54 рис.).	1. М точкаысь кык МА но МВ лучъёс ортчытэмын (54 сур.).
Они образуют угол.	Найӧ вӧчӧны пельӧс.	Нія аркмӧтӧны пельӧс.	Соос сэрег кылдыто.
Точка М называется вершиной угла, а лучи МА и МВ — сторонами угла.	M чутыс шусьӧ пельӧс йылӧн, а MA да MB лучьясыс — пельӧс доръясӧн.	M чут шусьӧ пельӧс йылӧн, а МА и MB виззес — пельӧслӧн боккез.	М точка сэреглэн йылэз шуыса нимаське, нош МА но МВ лучъёс сэреглэн дуръёсыз шуыса нимасько.
Угол обозначается тремя буквами: одна проставляется у вершины угла, а две другие — на его сторонах.	Пельӧс пасйыссьӧ куим шыпасӧн: ӧти пуктыссьӧ пельӧс йыв дінас, а кыкыс — пельӧс доръясас.	Пельӧсыс пасъясьӧ куим шыпасӧн: ӧтік сувтӧтсьӧ пельӧс йылын, а мӧддэс — сы боккез вылын.	Сэрег куинь букваен тодмояське: одӥгез сэрег йыл бордэ пуктӥське, кыкез мукетъёсыз солэн дуръёсаз пуктӥсько.
При записи угла тремя буквами та буква, которая обозначает вершину, всегда пишется посредине.	Куим шыпасӧн пельӧс пасйигӧн йывсӧ индысь шыпасыс пыр гижсьӧ шӧрас.	Пельӧссӧ куим шыпасӧн гижикӧ, кӧда шыпасыс пасъялӧ пельӧс йыв, гижсьӧ шӧрас.	Сэрегез куинь букваосын гожтыку, сэрег йылэз возьматӥсь буква коть ку шораз гожтӥське.
Слово «угол» заменяется обычно знаком ∠.	«Пельӧс» кывсӧ вежӧны гижигӧн татшӧм пасӧн: ∠.	Мукӧд кадас «пельӧс» кыв туйӧ гижӧны ∠ пас.	«Сэрег» кыл коть ку но ∠ пусэн воштӥське.
Таким образом, пишут: ∠АМВ или ∠ВМА и читают угол АМВ или угол ВМА.	Гижӧны тадзи: ∠AMB тибӧ ∠BMA, а лыддьӧны: пельӧс AMB либӧ пельӧс BMA.	Гижӧны сідз: ∠AMB либо ∠BMA и лыддьӧны: AMB пельӧс либо BMA пельӧс.	Озьы луыса, гожто: ∠АМВ яке ∠ВМA но АМВ сэрег яке ВMA сэрег шуыса лыдӟо.
Иногда угол, когда его нельзя смешать с другим углом, обозначают и одной только буквой у вершины, например: ∠М; иногда угол обозначается буквой (малой) между сторонами у вершины или цифрой:∠α или ∠1.	Мукӧддырйи пельӧссӧ, кор сійӧс оз позь сорлавны мӧд пельӧскӧд, пасйӧны и ӧти шыпасӧн сӧмын йыв дінас, шуам: ∠M; корсюрӧ пельӧссӧ пасйӧны доръяс костас, йыв дінас, шыпасӧн (ичӧтӧн) либӧ лыдпасӧн: ∠a, либӧ ∠1 (56-ӧд серпас).	Мукӧд кадас, кӧр сія оз сорлась мӧдік пельӧссэзкӧт, пасъялӧны йыв дынас токо ӧтік шыпасӧн, шуам : ∠M. Овлӧ и сідз, кӧр пельӧссӧ пасъялӧны учӧтик шыпасӧн либо цифраӧн: ∠а либо ∠1.	Куд ке дыръя сэрегез мукет сэреген сураны уг ке луы, сэреглэсь йылзэ одӥг букваен гинэ но тодмояло, кылсярысь: ∠М; куддыръя сэрег йыл дораз дуръёсыз вискытӥ букваен (пичиеныз) яке цифраен тодмояське: ∠а, яке ∠1.
2. Пусть две планочки MA и МВ скреплены концами своими (М) шарниром (рис. 55).	2. Шуам, кык векньыдик пӧвтор MA да MB асланыс (M) помъясӧд тувъялӧма дзирйӧн (55-ӧд серпас).	2. Ась МА и MB кык планочка поммезас крепитӧм (M) шавнерӧн (55 рис.).	2. Кык планкаос МА но МВ пуметӥзы (M) ӟирыен ваче юнматэмын мед луоз (55 сур.).
Если планочку МА оставить неподвижной, а планочку МВ вращать по направлению, указанному стрелкой, то угол будет увеличиваться.	MA пӧвторсӧ кӧ кольны вӧрзьӧдтӧг, а MB пӧвторсӧ бергӧдны, кыдзи индӧ стрелкаыс, сэки пельӧсыс пондас содны.	МА-ӧт планкасӧ ог вӧрзьӧтӧ, а MB планочкасӧ пондам лэбтавны, кыдз мыччалӧ стрелка, то пельӧс содас.	МА планкаез вырӟылонтэм интыяз кельтӥд ке, нош МВ планкаез стрелкаен возьматэмъя берыктӥд ке, сэрегез бадӟымалоз.
Если же вращать МВ в противоположном направлении, то угол, уменьшается.	MB-сӧ кӧ бергӧдны мӧдарланьӧ (MA-ланьыс), сэки пельӧсыс чинӧ.	Кӧр MB-сӧ лажмӧтам, то пельӧс чинас.	Нош МВ планкаез берлань мукет палэ берыктӥд ке, сэрег пичиомоз.
О величине угла мы судим по степени наклона одной его стороны к другой.	Пельӧс ыджда йылысь ми тӧдмалам сы серти, кутшӧма ӧти дорыс пельӧсыслӧн матысмӧ мӧд дорас.	Пельӧс ыждаыс понда сёрнитӧны, матын я либо ылын я ӧтамӧд дынсянь пельӧс боккез.	Сэреглэн быдӟалаез сярысь асьмеос пал дурызлэн мукет палэ нялмытэзъя тодӥськом.
На рисунке 56 угол 1 больше угла 2, или угол 2 меньше угла 1.	56-ӧд серпас вылын 1 пельӧсыс ыджыдджык 2 пельӧсысь, либӧ 2 пельӧсыс ичӧтджык 1 пельӧсысь.	56 рисунокын 1 пельӧс ыджытжык 2 пельӧсся либо 2 пельӧсыс учӧтжык 1 пельӧсся.	56 суред вылын 1 сэрег 2 сэреглэсь бадӟым, яке 2 сэрег 1 сэреглэсь пичи.
Записывается это так: ∠1 > ∠2 или ∠2 < ∠1	Гижсьӧ тайӧ тадзи: ∠1 > ∠2, либӧ ∠2 < ∠1.	Эта гижсьӧ то кыдз: ∠1 > ∠2 либо ∠2 < ∠1.	Со тазьы гожтӥське: ∠1 > ∠2 или ∠2 < ∠1.
На рисунке 57 показано постепенное увеличение угла при повороте его стороны МВ.	57-ӧд серпас вылын петкӧдлӧма пельӧслысь MB дорсӧ бергӧдігӧн сылысь вочасӧн ыдждӧмсӧ.	57 рисунок вылын мыччалӧм, кыдз пельӧсыс содӧ MB бок лэбтӧмсянь.	57 суред вылын МВ дурзэ бергалтэмъя сэреглэсь каньылля бадӟымамзэ адӟиськом.
В начальном положении обе стороны угла МА и МВ совпадают.	Первой пельӧслӧн кыкнан дорыс MA да MB вевсяӧсь.	Медодзза пуктӧмын пельӧслӧн МА и MB боккез ӧтлаасьӧны.	Нырись тусаз сереглэн АМ но МВ дуръёсыз вылысьтыз вылаз усё.
В этом случае говорят, что мы имеем нулевой угол.	Татшӧм случай дырйиыс шуӧны, мый миян эм нульӧвӧй пельӧс.	Сэк лоӧ нуль ыжда пельӧс.	Таӵе учыре, асьмелэн сэрегмы нулё шуо.
3. Возьмем на стороне МВ угла АМВ произвольную точку К и проследим за ее движением при повороте стороны МВ по направлению, указанному стрелкой (рис. 58).	3. Босьтам AMB пельӧс вывса MB дор вылын кутшӧмкӧ K чут да пондам видзӧдны сы бӧрся MB дорсӧ стрелкаӧн индӧмланьӧ бергӧдігӧн (58-ӧд серпас).	3. Босьтам AMB пельӧс MB бок вылын кытшӧм либо K чут. Видзӧтам сы вешшӧм сьӧрын MB бок вешшикӧ, кыдз мыччалӧм стрелка иньдӧт (58 рис.).	3. АМВ сэреглэн МВ дураз эркын К точка басьтом, соку МВ дурзэ стрелкаен возьматэмъя берыктыса, солэн берытскемез шоре эскером (58 сур.).
При повороте стороны МВ точка К все время будет находиться на одном и том же расстоянии от М, т. е. она будет описывать дугу окружности с центром в точке М радиуса, равного МК.	MB дорсӧ бергӧдігӧн K чутыс век кутас лоны ӧтылнаын M чутсяньыс, сідзкӧ сійӧ пондас гижтыны M шӧрчутсянь MK ыджда радиуса круг — кытшлысь дуга.	MB вешшикӧ K чут M дынсянь пыр лоас ӧтылына. Сія пондас керны гӧгрӧслісь дуга M чутын центрӧн, кӧдалӧн МК эм радиус.	МВ дурзэ берыктыку M точкаысен K точка ялан одӥг кемын улоз, мукет сямен, со шораз М точкаен МК-лы ӵошась радиусо котыргож буко гожтоз.
Когда МВ, при полном повороте около M, снова совпадет с МА, точка K опишет окружность.	Кор MB, M гӧгӧрыс дзоньнас бергӧдчӧм бӧрын, бӧр вевсяасяс MA-кӧд, сэк K чутыс гижтас кытшвизь.	Кӧр MB быдсӧн гӧгӧртас M чут гӧгӧр, ӧтлаасяс АМ-кӧт, K чут керас гӧгрӧс.	МВ гожез быдэс М точка котыретӥ берыктыса вильысь МA-эн огазе вуоз, соку К точка котыргож котыртоз.
Значит, с увеличением угла увеличивается и дуга КК₁, и чем больше дуга КК₁, тем больше и ∠АМВ и, наоборот, чем больше ∠АМВ, тем больше дуга КК₁.	Сідзкӧ пельӧс содӧмыскӧд содӧ тшӧтш и KK₁ дугаыс, и кымын ыджыд KK₁ дугаыс, сымын ыджыд и ∠AMB, да, мӧдарӧ, кымын ыджыд ∠AMB, сымын ыджыд KK₁ дугаыс.	Кӧр содӧ пельӧс, содӧ и КК₁ дуга. Ыджытжык кӧ лоас КК₁ дуга, лоӧ ыджытжык и ∠АМB, мӧднёж, лоас кӧ ыджытжык ∠АBМ сысянь и КК₁ дуга лоӧ ыджытжык.	Озьыен, сэрегез будэтэмъя KK₁ букоез но будэ, КК₁ буко кӧнялы ке бадӟым, сомындалы ик ∠АМВ но бадӟым, берлань но, ∠АМВ кӧнялы ке бадӟым, сомындалы ик КК₁ буко но бадӟыма.
4. Рассмотрим некоторые особые углы.	4. Видзӧдлам ӧткымын ассикаса пельӧсъяс.	4. Видзӧтам эшӧ мӧдкодь пельӧссэз.	4. Куд огзэ нимаз пӧртэм сэрегъёсыз учком.
Если луч МВ сделает четверть поворота (рис. 59), т. е. КК₂ будет равна ¼ окружности, то соответствующий угол называется прямым.	MB луч кӧ бергӧдчас нёльӧд юкӧн вылӧ (59-ӧд серпас), мӧд ног кӧ шуны, KK₂ лоӧ кытшвизь ¼ ыджда, татшӧм пельӧсыс шусьӧ веськыд пельӧсӧн.	Кӧр КК₂ дугаыс лоас гӧгрӧсісь ¼ тор ыжда (59 рис.), то сы одзын пельӧс лоас веськыт.	МВ луч ог черык берытскон лэсьтӥз ке (59 сур.), мукет сямен КК₂ ¼ котыргожлы ӵошакуз, соку пӧрмем сэрег шонер сэрег шуыса нимаське.
Таким является угол между горизонтальным и вертикальным направлением двух прямых.	Татшӧмнас лоӧ горизонтальнӧй да вертикальнӧй кык веськыд визь костса пельӧс.	Горизонтальнӧй и вертикальнӧй виззез крестасикӧ лоӧны веськыт пельӧссэз.	Кык шонеръёс горизонтальной но вертикальной ваче мыныкузы куспазы шонер сэрег сёто.
Такими являются и углы прямоугольника и квадрата.	Татшӧмӧсь жӧ лоӧны веськыдпельӧсалӧн да квадратлӧн пельӧсъясыс.	Сэтшӧм пельӧссэз эмӧсь квадратлӧн и веськытпельӧслӧн.	Озьы ик квадратлэн но прямоугольниклэн сэрегъёссы сыӵе луо.
Если луч МВ при своем вращении сделает половину оборота, то точка К опишет ‿КК₃ (рис. 60), и соответствующий угол АМВ называется развернутым, или выпрямленным углом.	MB лучыс кӧ бергӧдчас джынвыйӧ, сэки K чутыс вӧчас KK₃ ‿ (60-ӧд серпас), татшӧм пельӧсыс шусьӧ паськӧдӧмӧн, либӧ веськӧдӧм пельӧсӧн.	Кӧр MB визь бергӧтчас джын оборот, сэк K чутыс керас ‿КК₃ (60 рис.), сэк AMB пельӧс шусьӧ дзикӧдз паськӧтӧмӧн либо веськӧтӧм пельӧсӧн;	МВ луч ас берытсконъяз ӝыны берытскон лэсьтӥз ке, соку К точка КК₃ буко гожтоз (60 сур.), солы тупась АМВ сэрег сэрттэм яке шонертэм сэрег шуыса нимаське.
В этом случае у сторон угла МА и МВ направления противоположные и они составляют одну прямую (диаметр КК₃).	Тайӧ случаяс пельӧс доръясыс — MA да MB — мунӧны мӧда-мӧдсяньыс (противоположнӧй бокъясӧ) да вӧчӧны ӧти веськыд визь (диаметр KK₃).	сэк пельӧс боккезісь лоас ӧтік веськыт визь (КК₂ диаметр).	Та учырын сэреглэн дуръёсызлэн МА но МВ кошкемзы ваче пумит луо но одӥг шонер гож пӧрмыто (диаметр КК₃).
Развернутый угол равен двум прямым углам.	Паськӧдӧм пельӧс кык веськыд пельӧс ыджда.	Дзикӧдз паськӧтӧм пельӧс лоӧ кык веськыт пельӧс ыжда.	Сэрттам сэрег кык шонер сэрегъёслы ӵоша.
Каждый прямой угол соответствует ¼ поворота, а потому все прямые углы равны; также равны все развернутые углы.	Быд веськыд пельӧс соответствуйтӧ ¼ бергӧдчӧмлы, а сідзкӧ став веськыд пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь, сідзжӧ ӧтыдждаӧсь став паськӧдӧм пельӧсъясыс.	Быд веськыт пельӧс гӧгрӧсісь ¼ тор ыжда, сысянь быд веськыт пельӧссэз ӧтыждаӧсь; дзикӧдз паськӧтӧм пельӧссэз тожӧ ӧтыждаӧсь.	Котькудӥз шонер сэрег берытсконлы ӵоша, соин ик вань шонер сэрегъёс огкадесь; озьы ик вань сэрттам сэрегъёс но огкадесь.
Повернув МВ еще на поворота, мы получим угол больший развернутого угла и равный трем прямым углам (рис. 61).	Бергӧдам MB лучсӧ нӧшта ¼ вылӧ, артмас паськӧдӧм пельӧсысь ыджыдджык пельӧс, сійӧ лоӧ куим веськыд пельӧс ыджда (61-ӧд серпас).	Бергӧтны кӧ MB-сӧ эшӧ гӧгрӧсісь ¼ тор вылӧ, лоас пельӧс, ыджытжык дзикӧдз паськӧтӧм пельӧсся, куим веськыт пельӧс ыжда (61 рис.).	МВ-эз ¼лы берыктӥм на ке, асьмеос сэрттэм сэреглэсь бадӟым но куинь шонер сэреглы ӵошам сэрег шедьтом (61 сур.).
Наконец, повернув МВ еще на ¼ поворота, мы увидим, что МВ совпадет с МА.	Бергӧдам MB-сӧ нӧшта ¼ вылӧ, сэки MB-ыс вевсяасяс MA-кӧд.	Бергӧтам кӧ MB-сӧ эшӧ гӧгрӧсісь ¼ тор вылӧ, ми казялам, MB усяс топ МА вылӧ.	Собере, МВ гожез нош ик ¼лы берыктыса МВ гожлэсь МА гож вылэ вуэмзэ адӟом.
В этом случае получается полный угол, соответствующий одному полному повороту луча и, следовательно, равный 4 прямым углам (рис. 62).	Тайӧ случаяс артман тыр пельӧс лоӧ 4 веськыд пельӧс ыджда (62-ӧд серпас).	Эта случайын аркмас быдса пельӧс, гӧгӧр бергӧтчӧм визьсянь и пельӧс лоас 4 веськыт пельӧс ыжда (62 рис.).	Та учыре лучлэн одӥг быдэс берыктӥськемезлы ӵошась быдэс сэрег потэ, озьы бере сэрегмы 4 шонер сэреглы ӵоша (62 сур.).
5. Две прямые МА и МВ (рис. 59), образующие при своем пересечении прямой угол, называются взаимно перпендикулярными:	5. Кык веськыд визь MA да MB (59-ӧд серпас), кодъяс мӧда-мӧдныскӧд вомӧнасигӧн вӧчӧны веськыд пельӧс, шусьӧны мӧда-мӧдныслы (воча) перпендикулярнӧй визьясӧн.	5. Кӧр МА и MB крестасикӧ аркмӧтӧны веськыт пельӧс, шусьӧны ӧтамӧд перпендикуляра виззезӧн.	5. Кык МА но МВ шонер гожъёс (59 сур.), куспазы вожвылскыса шонер сэрег кылдытӥсьёс, огез огезлы перпендикулярной луо: (<rus>взаимно перпендикулярны</rus>).
МВ перпендикулярна к МА и, наоборот, МА перпендикулярна к МВ.	MB лоӧ перпендикулярнӧйӧн MA-лы и мӧдарӧ — MA лоӧ перпендикулярнӧй MB-лы.	MB лоӧ перпендикуляр МА визьлӧн и мӧднёж, МК лоӧ перпендикуляр MB визьлӧн.	МВ MA-лы перпендикулярной но берлань — МА МВ-лы перпендикулярной.
Точно так же МК₂ (рис. 60) перпендикулярна к КК₃ и КК₃ перпендикулярна к MK₂.	Дзик жӧ тадзи MK₂ (60-ӧд серпас) лоӧ перпендикулярнӧйӧн KK₃-лы, а KK₃-ыс лоӧ перпендикулярнӧйӧн MK₂-лы.	Сідзжӧ МК₂ (60 рис.) лоӧ перпендикуляр КК₃ визьлӧн и КК₃ лоӧ перпендикуляр МК₂ визьлӧн,	Озьы ик (60 суред) МК₂ КК₃лы перпендикулярной, нош КК₃ МК₂лы перпендикулярной.
Слово «перпендикуляр» заменяют значком ⊥, а поэтому пишут (рис. 61): КК₃ ⊥ K₂K₄ или K₂K₄ ⊥ КК₃, и читают: КК₃ перпендикулярна» к K₂K₄ или K₂K₄ перпендикулярна к КК₃.	«Перпендикуляр» кывсӧ вежӧны ⊥ пасӧн да гижӧны тадзи (61-ӧд серпас): K₃K ⊥ K₂K₄ либӧ K₂K₄ ⊥ K₃K, а лыддьӧны тадзи: K₃K перпендикулярнӧй K₂K₄-лы, либӧ K₂K₄ перпендикулярнӧй K₃K-лы.	перпендикуляр» кывсӧ вежӧны ⊥ пасӧн, сысянь и гижӧны (61 рис.): КК₃ ⊥ К₂К₄ либо К₂К₄ ⊥ КК₃ и лыддьӧны: К₂К₄ визьлӧн КК₃ перпендикуляр либо КК₃ визьлӧн К₂К₄ перпендикуляр.	«Перпендикуляр» кылэз ⊥ пусэн вошто. Соин ик гожто (61 сур.): КК₃ ⊥ K₂K₄ яке K₂K₄ ⊥ КК₃, лыдӟо: КК₃ K₂K₄-лы перпендикулярной, яке K₂K₄ КК₃-лы перпендикулярной шуыса лыдӟо.
6. Для проведения перпендикуляров на бумаге пользуются чертежным треугольником (рис. 63).	6. Бумага вылын перпендикуляръяс гижталігӧн пӧльзуйтчӧны чертёжнӧй куимпельӧсаӧн (63-ӧд серпас).	6. Бумага вылӧ перпендикулярресӧ нуӧтлӧны чертёжнӧй куимпельӧса приборӧн. (63 рис.).	6. Перпендикуляръёсыз бумага вылэ гожтыку, суредам треугольникъёсын ужало (63 сур.).
В нем ∠ АМК — прямой, т. е. AM ⊥ МК или МК ⊥ АМ.	Сыын ∠AMK — веськыд, сідзкӧ AM ⊥ MK либӧ MK ⊥ AM.	Сэтӧн ∠АМК — веськыт, лоӧ АМ ⊥ МК либо МК ⊥ АМ.	Отын ∠АМК — шонер, мукет сямен АМ ⊥ МК яке МК ⊥ АМ.
Задача.	Задача.	Задача.	Задача.
Дана прямая CD и требуется провести к ней перпендикулярную прямую (рис, 64).	Сетӧма веськыд визь CD, колӧ гижтыны сылы перпендикулярнӧй веськыд визь (64-ӧд серпас).	Сетӧм CD веськыт визь, колӧ сы дынӧ вайӧтны перпендикуляра визь.	CD шонер сётэмын но солы перпендикулярной шонер ортчытыны кулэ (64 сур).
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Наложим треугольник на рисунок так, чтобы сторона МА совпала с CD, и проведем по стороне МВ прямую МK.	Пуктам куимпельӧсасӧ серпас вылас сідзи, медым MA дорыс вевсяасяс CD-кӧд, да гижтам MB дорӧдыс веськыд визь MK.	Пуктам куимпельӧса прибор рисунок вылӧ сідз, медбы МА бокыс топ усис CD бок вылӧ и MB бок кузя нуӧтам МК веськыт визь.	Треугольникез суред вылэ МА дурез CD дурен мед тупалоз шуыса поном но МВ дуртӥз МК шонер ортчытом.
Тогда МK ⊥ CD.	Сэки MK ⊥ CD.	Сэк МК ⊥ CD.	Соку МК ⊥ CD луоз.
Точно так же поступают, когда требуется провести прямую, перпендикулярную к данной прямой CD, через какую-нибудь точку, лежащую на ней (О,) или вне ее (О₂).	Дзик жӧ тадзи вӧчӧны, кор колӧ нуӧдны перпендикулярнӧй визь сетӧм CD веськыд визьлы кутшӧмкӧ сывывса (O₁) либӧ сысайса (O₂) чут пыр.	Сідз жӧ керӧны, кӧр колӧ перпендикуляра веськыт визь нуӧтны сетӧм CD веськыт визь дынӧ кытшӧм либо чут пыр, (O), кӧдія куйлӧ сы вылын либо (О₂) куйлӧ сы вевдӧрын.	Сётэм CD шонер доре со вылын (О₁) кыӵе ке точка яке со сьӧрын (О₂) кыллись точка пыр шонер перпендикуляро ортчытыны кулэ дыръя но озьы ик лэсьто.
Мы прикладываем к прямой линейку, к линейке прикладываем треугольник так, чтобы край его MA совпал с линейкой; двигаем треугольник стороной его МА по линейке до тех пор, пока другая сторона треугольника МВ не пройдет как раз через точку О, или О₂ (рис. 65);	Веськыд визь бердас ми пуктам линейка, линейка бердас куимпельӧсаӧс пуктам сідзи, медым сылӧн MA дорыс ӧтлаасис линейкаыскӧд; куимпельӧсасӧ сійӧ MA дорнас нуӧдам линейка кузяыс сэтчӧдз, кытчӧдз куимпельӧсаыслӧн мӧд дорыс — MB — оз мун стӧч O₁ либӧ O₂ чут пырыс (65-ӧд серпас);	Веськыт визь бердӧ ми пуктам линейка, а линейка бердӧ пуктам чертёжнӧй куимпельӧса прибор медбы МА сылӧн дор ӧтлаасис линейкакӧт. МА бокнас куимпельӧссӧ вештыштам сэтчӧдз, кытчӧдз MB бокыс оз мун O либо O₂ чуттэз пыр (65 рис).	Асьмеос шонер гож бордэ линейка понӥськом, линейка бордэ треугольникез, солэн МА дурез линейкаен мед тупалоз шуыса понӥськом; соку МА дурыныз треугольникез линейка кузя мукет МВ дурез О₁ яке О₂ точка пыртӥ потытозяз азьпалэ донгиськом (65 сур.);
проведя затем по краю МВ прямую, мы и получим искомый перпендикуляр.	сэсся MB дорӧдыс нуӧдам веськыд визь, сійӧ и лоӧ миянӧн корсян перпендикулярыс.	Сы бӧрын MB дорӧт нуӧтам веськыт визь, сэк и аркмас перпендикуляр.	собере МВ дуртӥз шонер гож гожтыса асьмеос утчано перпендикулярмес шедьтӥськом.
7. Если луч МВ (рис. 66, 1) сделал меньше ¼ поворота, то получится угол, меньший прямого.	7. MB лучыс кӧ (66-ӧд серпас, 1) вӧчас ¼-ысь ичӧтджык бергӧдчӧм, сэки артмас веськыд пельӧсысь ичӧтджык пельӧс.	7. Кӧр MB визь (66 рись, 1) керис ¼ поворотся етшажык, то пельӧсыс лоас учӧтжык веськыт пельӧсся.	7. МВ луч (66, 1 сур.) ¼-лэсь пичи берытскон лэсьтӥз ке, соку шонер сэреглэсь пичи сэрег потоз.
Угол меньший прямого называется острым.	Веськыд пельӧсысь ичӧтджык пельӧс шуся ёсь пельӧсӧн.	Веськыт пельӧсся учӧтжык пельӧсыс шусьӧ векнит пельӧсӧн.	Шонер сэреглэсь пичи сэрег йылсо сэрег шуыса нимаське.
Если луч МВ сделал больше четверти, но меньше половины поворота (рис. 66, 3), то мы получаем угол, больший прямого, но меньший развернутого.	MB лучыс кӧ вӧчас четьвертысь ыджыдджык, но джынсьыс ичӧтджык бергӧдчӧм (66-ӧд серпас, 3), сэки артмас пельӧс, коді веськыдысь ыджыдджык, но паськӧдӧм пельӧсысь ичӧтджык.	Кӧр MB веськыт визь керас унажык нёльӧт торся, но джын поворотся етшажык (66 рис. 3), то миян аркмас пельӧс ыджытжык веськыт пельӧсся, но и учӧтжык развернутӧйся.	МВ луч черыклэсь бадӟым, ӝынылэсь пичи берытскон лэсьтӥз ке (66, 3 сур.), соку асьмеос шонер сэреглэсь бадӟым, сэрттэм сэреглэсь пичи сэрег шедьтӥськом.
Угол, больший прямого, но меньший развернутого называется тупым.	Веськыдысь ыджыдджык, но паськӧдӧмысь ичӧтджык пельӧс шусьӧ тшӧтшыд (тупой) пельӧсӧн.	Пельӧс, кӧда ыджытжык веськытся, но учӧтжык развернутӧйся шусьӧ паськыт пельӧсӧн.	Шонер сэреглэсь бадӟым, сэрттэм сэреглэсь пичи сэрег — мырк сэрег шуыса нимаське.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Какой угол образуют стрелки часов в 2 часа? в 3 часа? в 5 часов? в 6 часов?	1. Кутшӧм пельӧс вӧчӧны часі стрелкаяс 2 часын? 3 часын? 5 часын? 6 часын?	1. Кытшӧм пельӧс аркмӧтӧны часыэзлӧн стрелкаэз: 2 часын, 3 часын, 5 часын 6 часын?	1. Часлэн ньӧлъёсыз 2 час, 3 час, 5 час, 6 час возьматыкузы кыӵе сэрег кылдытозы?
2. Начертить прямую и две точки на ней.	2. Гижтыны веськыд визь да пасйыны сы вылӧ кык чут.	2. Чертитӧ веськыт визь да сы вылын кык чут.	2. Шонер гож гожтоно но, со вылэ кык точка пуктоно.
Провести через эти точки прямые, перпендикулярные к данной прямой.	Нуӧдны тайӧ чутъяс пырыс веськыд визьяс, сетӧм визьыслы перпендикуляръяс.	Нуӧтӧ эна кык чут пыр перпендикуляра веськыт виззез сетӧм веськыт визь дынӧ.	Со точкаос пыртӥ сётэм шонер гожлы перпендикулярной шонер гожъёс ортчытоно.
3. Начертить прямую и две точки по разные стороны от нее.	3. Гижтыны веськыд визь да пасйыны ӧтар-мӧдар бокланьыс сысянь кык чут.	3. Чертитӧ гӧгрӧс и нуӧтӧ пытшкӧттис ӧтамӧдкӧт перпендикуляра кык диаметр.	3. Шонер гож гожтыса солэн пӧртэм палаз кык точка пуктоно.
Провести через эти точки прямые, перпендикулярные к данной прямой.	Нуӧдны тайӧ чутъяс пырыс веськыд визьяс, сетӧм веськыд визьыслы перпендикуляръяс.	4. Чертитӧ веськыт визь и кыкнан ладорас сы дынсянь кык чут.	Со точкаос пыртӥ сётэм шонер гожлы перпендикулярной шонер гожъёс ортчытоно.
4. Начертить окружность и провести в ней два взаимноперпендикулярных диаметра.	4. Гижтыны кытшвизь да нуӧдны сыын мӧда-мӧдыслы перпендикулярнӧй кык диаметр.	Нуӧтӧ эна виззез пыр перпендикуляра виззез сетӧм веськыт визь дынӧ.	4. Котыргож лэсьтыса, отчы асьсэос куспын огзылы огзы ваче перпендикулярной диаметръёс ортчытоно.
5. Начертить окружность и из произвольной точки ее провести две взаимноперпендикулярные хорды.	5. Гижтыны кытшвизь да сывывса кутшӧмкӧ чутсянь нуӧдны мӧда-мӧдыслы перпендикулярнӧй кык хорда.	5. Чертитӧ гӧгрӧс и кытшӧм либо чутісь нуӧтӧ ӧтамӧдкӧт перпендикуляра кык хорда.	5. Котыргож лэсьтыса, отысь кыӵе ке но эркын точка басьтыса со точкаысен кык асьсэ куспын ваче перпендикулярной хордаос ортчытоно.
Провести из центра два радиуса, перпендикулярные к этим хордам.	Шӧрчутсяньыс нуӧдны кык радиус, тайӧ хордаясыслы перпендикуляръяс.	Нуӧтӧ центрись перпендикуляра кык радиус эна хордаэз дынӧ.	Шорысеныз со хордаослы перпендикулярной кык радиус ортчытоно.
6. В данной окружности провести хорду АВ.	6. Сетӧм кытшвизьын гижтыны AB хорда.	6. Сетӧм гӧгрӧсын нуӧтӧ AB хорда.	6. Сётэм котыргоже АВ хорда ортчытоно.
В конце В хорды провести к ней перпендикулярную хорду ВС;	Хорда B помас гижтыны сылы перпендикулярнӧй хорда BC;	B хорда помӧ сы дынӧ нуӧтӧ BC перпендикуляра хорда.	Хордалэн В пумаз хордалы перпендикулярной ВС хорда ортчытоно;
в конце С хорды ВС провести к ней перпендикулярную хорду CD и, наконец, в конце D хорды провести хорду, перпендикулярную к CD.	BC хордаса C помас гижтыны сылы перпендикулярнӧй хорда CD, сэсся CD хорда D помас гижтыны CD-ыслы перпендикулярнӧй хорда.	BC хорда C помын сы дынӧ нуӧтӧ CD перпендикуляра хорда и CD хордалӧн D помын нуӧтӧ CD дынӧ хорда.	ВС хордалэн С пумаз хордалы перпендикулярной CD хорда ортчытоно; собере CD хордалэн D пумаз CD хордалы перпендикулярной хорда ортчытоно.
Если чертеж сделан аккуратно, то последняя хорда должна пройти через точку А.	Чертёжсӧ кӧ вӧчӧма лючки, сэки медбӧръя хордаыслы колӧ мунны A чут пыр.	Керат кӧ чертёжсӧ топ, то медбӧрись хордаыс мунас A чут пыр.	Суред умой ке лэсьтэмын, бӧрысетӥ хорда А точка пыртӥ потэмын луыны кулэ.
Какая получится фигура?	Кутшӧм фигура артмас?	Кытшӧм аркмас фигура?	Кыӵе фигура потоз?
§ 2. Измерение угла.	2 §. Пельӧс мурталӧм.	§ 2. Пельӧс меряйтӧм.	§ 2. Сэрегез мертан.
Транспортир.	Транспортир.	Транспортир.	Транспортир.
1. Окружность принято делить на 360 равных частей (дуг); каждая 1/360 окружности называется дуговым градусом.	1. Кытшвизь юксьӧ 360 ӧтыджда юкӧн (дуга) вылӧ; быд 1⁄360 кытшвизьлӧн шусьӧ дугӧвӧй градусӧн.	1. Гӧгрӧссӧ кутӧмась юкны 360 ӧтыжда торрез вылӧ (дугаэз); гӧгрӧсісь 1/360 тор шусьӧ дуга градусӧн.	1. Котыргожез 360 ог кадесь люкетъёслы (букоослы) 1/360 буко люкыны тупатэмын; котыргожлэн котькудӥз 1/360 буко градус шуыса нимаське.
Если соединить точки деления окружности с центром О, то весь круг разделится на 360 равных секторов.	Кытшвизь юкысь чутъяссӧ кӧ ӧтлаавны O шӧрчуткӧд, сэки став кругыс юксяс 360 ӧтыджда сектор вылӧ.	Гӧгрӧсісь юкӧм чуттэзсянь O центрас нуӧтам кӧ виззез, то гӧгыльыс юкамас 360 ӧтыжда сектор вылӧ.	Котыргожлэсь люкем точкаоссэ О шореныз огазеяд ке, соку быдэс котретэз 360 ог кадесь секторъёслы люкиськоз.
Угол каждого из этих секторов имеет вершину в центре, и сторонами его являются радиусы.	Пельӧс йылыс быд секторлӧн лоӧ шӧрчутас, а сылы доръяснас лоӧны радиусъяс.	Быд секторлӧн центрын эм пельӧс йыв, а боккез лоӧны сылӧн радиуссэз.	Та секторъёслэн котькудӥзлэн сэрегезлэн йылэз котыргожлэн шораз луэ, нош солэн дур гожъёсыз радиусъёс луо.
Каждый из 360 углов называется угловым градусом.	Быдӧн 360 пельӧсъяс пиысь шусьӧны пельӧс градусӧн.	360-ись быд пельӧсыс шусьӧны пельӧса градусӧн.	Котькудӥз 360 сэрегъёс — сэрег градус шуыса нимасько.
Слово «градус» заменяется нуликом, который ставится сверху справа от числа градусов (°); так, пишут: ‿20° и читают: дуга в 20 градусов и ∠20° — угол в 20 градусов.	«Градус» кывсӧ вежӧны ичӧтик нульӧн, сійӧ пуктыссьӧ градус лыд веськыдладорас, выліас (°); гижӧны тадзи: ‿20° (либӧ тадзи: 20°‿), лыддьӧны: 20 градуса дуга, да ∠20° — 20 градуса пельӧс.	«Градус» кывсӧ вежӧны нулёкӧн, кӧдійӧ, сувтӧтӧны вывланьӧ градус лыддьӧс веськыт ладорсянь (°); гижӧны сідз: ‿20° и лыддьӧны: 20 градуса дуга и ∠20° — 20 градуса пельӧс.	«Градус» кыл пичи нулен вошке, со нулез градус лыдлэн бур палаз, вылӥяз (°) пукто; гожто тазьы: 20°∠, лыдӟо: 20 градусъем буко, нош ∠20° — 20 градусъем сэрег шуо.
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным.	Кытшвизь шӧрчутын йывнас инмысь пельӧс шусьӧ шӧр пельӧсӧн.	Пельӧс, кӧдалӧн йылыс гӧгрӧс центрын, шусьӧ центральнӧйӧн.	Котыргожлэн шораз луись йылос сэрегез шор сэрег (центральной) шуыса нимало.
Следовательно, сколько в дуге дуговых градусов, столько в соответствующем центральном угле угловых градусов.	Сідзкӧ кымын дугӧвӧй градус дугаын, сы мында жӧ пельӧс градус сылы соответствуйтысь шӧр пельӧсын.	Сысянь, мымда дугаын дуга градуссэз, сымда центральнӧй пельӧсын пельӧс градуссэз.	Озьы бере, букоын кӧня ке буко градусъёсыз, тупась шор сэрегын но со мында ик сэрег градусъёсыз.
Итак, окружность содержит 360° дуговых	Сідзкӧ кытшвизьын лоӧ 360 дугӧвӧй градус	Сідз, гӧгрӧсын эм дугаа .... 360°	Озьы, котыргож 360 букоё градус возе нош быдэс сэрег
и полный угол « 360° угловых;	да тыр пельӧсын „ 360 пельӧс „	И быдса пельӧсын эм пельӧса .... 360°	360 сэрего
четверть окружности « 90° дуговых	кытшвизь четьвертын „ 90 дугӧвӧй „	Гӧгрӧс нёльӧт торын эм дугаа .... 90°	„ черык котыргож 90 букоё „
и прямой угол « 90° угловых;	да веськыд пельӧсын „ 90 пельӧс „	И веськыт пельӧсын эм пельӧса .... 90°	нош шонер сэрег 90 сэрего „
половина окружности « 180° дуговых	кытшвизь джынйын „ 180 дугӧвӧй „	Джын гӧгрӧсын эм дугаа .... 180°	ӝыны котыргож 180 букоё „
и развернутый угол « 180° угловых.	да паськӧдӧм пельӧсын лоӧ 180 пельӧс „	И паськӧтӧм пельӧсын эм пельӧса .... 180°	нош сэрттэм сэрег 180 сэрего „ „
2. 1° дуговой (угловой) делится на 60 равных частей — 60 дуговых (угловых) минут.	2. 1 дугӧвӧй (пельӧс) градус (1°) юксьӧ 60 ӧтыджда юкӧн вылӧ — 60 дугӧвӧй (пельӧс) минут вылӧ.	2. Дугаа (пельӧса) 1° юкӧвтчӧ 60 ӧтыжда торрез вылӧ — 60 дуга (пельӧса) минутаэз.	2. 1° букоё (сэрего) 60 ог кадь люкетлы люкиське — 60 букоё (сэрего) минутлы.
Слово «минута» обозначается черточкой сверху справа от числа минут (′).	«Минут» кывсӧ пасйӧны визьторйӧн минута лыд веськыдладорас выліас (′).	«минута» кылыс пасъясьӧ кырӧлокӧн, кӧдійӧ сувтӧтӧны минута лыддьӧс бердӧ веськыт боксянь вывланьӧ.	«Минут» кыл лыдлэн вылӥ бурпалаз (′) пусэн гожтӥське.
Так, пишут: 14°15′ и читают: 14 градусов 15 минут.	Тадзи гижӧны: 14°15′, лыддьӧны 14 градус 15 минут.	(′) Гижӧны сідз: 14°15′ и лыддьӧны: градуссэз 14 минутаэз 15.	Тазьы гожто: 14°15′, лыдӟо: 14 градус но 15 минут шуыса.
1′ дуговая (угловая) в свою очередь делится на 60 равных частей — 60 дуговых (угловых) секунд.	1 дугӧвӧй (пельӧс) минутыс (1′) ачыс бара жӧ юксьӧ 60 ӧтыджда юкӧн вылӧ — 60 дугӧвӧй (пельӧс) секунд вылӧ.	Дугаа (пельӧса) 1′ юкӧвтчӧ 60 ӧтыжда торрез вылӧ — 60 дугаа (пельӧса) секундаэз.	Озьы ик 1′ букоё (сэрего) 60 ог кадесь букоё (сэрего) люкетъёслы — секундъёслы люкиське.
Слово «секунда» обозначается двумя черточками сверху справа от числа секунд (″).	«Секунд» кывйыс пасйыссьӧ кык визьторйӧн секунд лыд веськыдладорас, выліас (″).	«Секунда» кыв пасъясьӧ кык кырӧлокӧн, кӧднійӧ сувтӧтӧны веськытланьӧ, секунда лыддьӧс бердсянь (′).	«Секунд» кыл секунд лыдлэн вылӥяз, бур палаз кык пичиесь гожен (″) гожтӥське.
Так, пишут: 23°21′34″ и читают: 23 градуса 21 минута и 34 секунды.	Тадзи гижӧны: 23°21′34″, лыддьӧны: 23 градус 21 минут да 34 секунд.	Гижӧны сідз: 23°21′34′ и лыддьӧны: 23 градус 21 минута, 34 секунда.	Гожто, тазьы: 23°21′34″, лыдӟо: 23 градус, 21 минут но 34 секунд шуыса.
3. На рисунке 67 мы имеем угол АОВ, разделенный на 10 градусов.	3. 67-ӧд серпас вылын лоӧ пельӧс — AOB, юкӧма сійӧс 10 градус вылӧ.	3. 67 рисунок вылын AOB пельӧс юкӧм 10 градус вылӧ.	3. 67 суред вылын асьмелэн АОВ сэрегмы вань, со сэрегмы 10 градуслы люкемын.
Точка О принята за центр, и проведены 2 концентрические окружности, пересекающие стороны угла.	O чут босьтӧма шӧрчут пыдди да нуӧдӧма кык концентрическӧй кытшвизь, кодъяс вомӧналӧны пельӧс доръяссӧ.	O чут босьтӧм центра туйӧ и нуӧтӧм 2 концентрическӧй гӧгрӧс, кӧдна пельӧслісь боккесӧ кресталӧм.	О точка центр интые кутэмын но кык сэреглэсь дуръёссэ ӵогись огез пушкы мукетэз тупась котыргожъёс ортчытэмын.
Каждая из дуг АВ и A₁B₁ содержит по 10° дуговых, но каждая дуга в 1° окружности радиуса ОВ больше дуги в 1° окружности радиуса ОВГ.	Быд дугаын — AB-ын, A₁B₁-ын — лоӧ 10 дугӧвӧй градус (10°), но быд 1° дуга OB радиуса кытшвизьлӧн ыджыдджык 1° дугаысь OB₁ радиуса кытшвизьын серти.	AB и A₁B₁ дугаэзлӧн 10 дуга градусӧн, но 1° дуга гӧгрӧсісь OB радиуса лоӧ ыджытжык дугася 1° гӧгрӧсісь, кӧдалӧн радиус OB₁.	Котькудӥз АВ но A₁B букоос быдэн 10° букоё возё, нош котькудӥз ОВ котыргожлэн радиусэзлэн 1° букоез ОВ котыргожлэн радиусэзлэн 1° букоезлэсь бадӟым.
Таким образом, разные по длине дуги (‿АВ >‿ A₁B₁) разных окружностей, соответствующие одному и тому же углу, содержат одинаковое число градусов (минут и секунд); но чем больше радиус окружности, тем больше длина дуги в 1 градус.	Сідзкӧ разнӧй кытшвизьяслӧн разнӧй кузьтаа дугаясын (‿AB > ‿A₁B₁), налӧн кӧ пельӧсъясыс ӧткодьӧсь, лоӧ ӧтмында градус (минут, секунд); но кымын ыджыд радиусыс кытшвизьыслӧн, сымын ыджыд кузьтаыс 1 градуса дугалӧн.	Сідз, не ӧткузя ((‿AB > ‿A₁B₁ дугаэзлӧн не ӧткодь гӧгрӧссэзісь эм ӧтыжда пельӧссэз, градуссэз (минутаэз да секундаэз). Ыджытжык радиуса гӧгрӧсын лоӧ 1 градуса дугалӧн кузяыс ыджытжык.	Озьы луыса пӧртэм котыргожъёслэн кузьдалая пӧртэмесь букооссы (‿АВ > ‿A₁B₁) — ог кадь сэреглы тупасьёс ог кадесь ик градус (минут но секунд) лыдъёс возё, нош котыргожлэн радиусэз кӧня ке кузь, со мында 1° букоезлэн кузьдалаез кузь луоз.
Величина дугового градуса зависит от длины радиуса.	Дугӧвӧй градуслӧн ыдждаыс — радиус кузьта сайын.	Радиус кузясянь лоӧ ыджытжык дугаа градус.	Букоё градуслэн быдӟалаез радиусэзлэн кузьдалаез бордысь потэ.
Если дуговой градус зависит от длины радиуса, то угловой градус не зависит от длины радиуса окружности.	Дугӧвӧй градус лоӧ радиус кузьта сайын, пельӧс градус жӧ кытшвизь радиус кузьтаысь оз зависит.	Радиус кузясянь кӧ лоӧ дуга градуслӧн ыждаыс, то пельӧса градуслӧн ыждаыс оз сод гӧгрӧсын кузьжык радиуссянь.	Буко градус радиуслэн кузьдалаез бордысь потэ ке но, сэреглэн градусэз котыргожлэн радиусэзлэн кузьдалаез бордысь уг поты.
Отсюда мы заключаем, что величина угла не зависит от длины его сторон.	Тасянь петӧ: мый пельӧслӧн ыдждаыс оз зависит доръяс кузьтаысь.	Сысянь ми вермам висьтавны: пельӧслӧн ыждаыс сы кузьжык боккезсянь оз сод.	Та бордысен асьмеос шуиськом: сэреглэн быдӟалаез солэн дуръёсызлэн кузьдалаез бордысь уг поты.
4. В то же время мы видим, что число дуговых градусов (минут и секунд) равно числу угловых градусов (минут и секунд) центрального угла.	4. Но ми тӧдам, дугӧвӧй градус (минут, секунд) лыдыс сы мында жӧ, мыйта и шӧр пельӧсса пельӧс градус (минут, секунд) лыдыс.	4. Дуга градуссэз (минутаэз, секундаэз) пельӧса градуссэзкӧт (минутаэзкӧт, секундаэзкӧт) центральнӧй пельӧсісь ӧтыждаӧсь.	4. Со куспын ик адӟиськом, букоё градус лыдъёс (минутъёс но секундъёс) шор сэреглэн сэрего градусъёсызлэн лыдзылы (минутъёслы секундъёслы) ӵоша.
Поэтому говорят, что центральный угол измеряется соответствующей ему дугой.	Сы понда шуӧны, шӧр (центральный) пельӧс пӧ муртассьӧ сылы соответствуйтысь дугаӧн.	Сысянь шуӧны, центральнӧй пельӧсыс пӧ меряйтчӧ сы весьтісь дугаӧн.	Соин ик шор (центральной) сэрег солы тупась букоен мертаське шуо.
Это свойство относится ко всяким углам, ибо всякий угол мы можем рассматривать как центральный.	Тайӧ свойствоыс относитчӧ быдсикас пельӧсъяслы, быд пельӧс ӧд позьӧ видлавны кыдзи шӧр пельӧс.	Быд пельӧссӧ ми вермам лыддьыны кыдз центральнӧйӧн, сысянь быд пельӧслӧн свойствоэс сэтшӧмӧсь жӧ.	Со учыр вань сэрегъёслы тупа, котькыӵе сэрегез асьмеос шор сэрегез сямен ик эскерыны быгатӥськом.
Зависимостью между углом и дугой и пользуются для измерения и построения углов с помощью так называемого переносного круга, или транспортира.	Пельӧс да дуга костса зависимосьтӧн пӧльзуйтчӧны пельӧсъяс мурталігӧн да найӧс вӧчигӧн сідз шуана вешталана (переносимый) круг либӧ транспортир отсӧгӧн.	Пельӧс да дуга коласын зависимость сьӧрті переноснӧй гӧгыльӧн либо транспортирӧн меряйтӧны и строитӧны пельӧссэз.	Буколэсь но сэреглэсь куспазы герӟаськемзэс сэрегъёсыз лэсьтонэ но мертанэ куто. Со уже интыысь интые вошъян котрет (транспортир) шуыса нимаськись мае ке куто.
Это — полукруг или, вернее, полукольцо (рис. 68) из картона, металла или целлулоида с нанесенными на нем делениями в 1° каждое.	Транспортир — сійӧ кругджын — либӧ, стӧчджыка кӧ, кытшджын (68-ӧд серпас) картонысь, металлысь либӧ целлулоидысь, сы вылӧ вӧчалӧма юкӧнъяс, быд торъя юкӧнын лоӧ 1°.	Транспортирыс джын гӧгыль код либо джын кольцо кодь (68 рис.), керӧм картонісь, металлісь либо целлулоидісь 1° юкӧммезӧн.	Со котыргожлэн ӝыныез, яке шонергес 1°-сен люкылэм тупатэм картонлэсь, металлэсь яке целлулоидлэсь лэсьтэм ӝыны кульчо луэ.
Деления эти для удобства отсчета нанесены на полукруг в одном и в другом направлении.	Медым удобнӧджык вӧлі артасьны, татшӧм юкӧнъяссӧ кругджын вылас вӧчӧма ӧтарланьӧ и мӧдарланьӧ.	Юкӧммесӧ керӧм гӧгыль джын вылын, кӧднійӧ позьӧ лыддьыны кыкнан ладорсянь.	Лыдъянэз каньыл карыны понна, со люкетъёс ӝыны котретлэн сопалаз но, тапалаз но ортчытэмын.
Заканчивается полукруг обычно масштабной линейкой с делениями на сантиметры и миллиметры; один край линейки совпадает с диаметром полукруга; на линейке имеется метка, совпадающая с центром круга.	Кругджыныс помасьӧ масштабнӧй линейкаӧн, кодӧс юкӧма сантиметръяс да миллиметръяс вылӧ; ӧти дорыс линейкаыслӧн вевсяасьӧ кругджын диаметрыскӧд; линейка вылас эм пас, сійӧ вевсяасьӧ круг шӧрчутыскӧд.	Гӧгыль джыныс помассьӧ масштаба линейкаӧн, сантиметр да миллиметр юкӧммезӧн. Линейкалӧн ӧт дорыс ӧтлаасьӧ гӧгыль диаметркӧт; линейка шӧрас эм пасок, кӧдія ӧтлаасьӧ топ гӧгыль центркӧт.	Ӝыны котрет сантиметръёслы но миллиметръёслы люкем масштаб линейкаен дугдэ; линейкалэн ог пал дурез ӝыны котретлэн диаметреныз ӵоша; линейка вылын котретлэн шореныз ог вадьсы тупась тодмо каремез вань.
Линейка и полукруг составляют одно целое.	Линейкаыс да кругджынйыс торъявтӧмӧсь.	Линейка да гӧгыль джын лоӧ ӧтік быдса тор.	Линейка но ӝыны котрет одӥг быдэс кылдыто.
5. Измерение углов с помощью транспортира.	5. Транспортирӧн пельӧсъяс мурталӧм.	5. Кыдз транспортирӧн пельӧссэсӧ меряйтӧны.	5. Транспортирен сэрег мертан.
Имеем углы АОВ, СОD и ЕОF (рис. 69 и 70).	Сетӧма пельӧсъяс — AOB, COD да EOF (69-ӧд да 70-ӧд серпасъяс).	Миян AOB, COD и EOF эмӧсь пельӧссэз. (69 и 70 рис.).	Таӵе АОВ, COD но EOF серегъёсмы вань (69 но 70 суред).
Чтобы измерить величину их, наложим транспортир на угол АОВ так, чтобы центр транспортира О совпал с вершиной угла О и чтобы диаметр транспортира совпал с направлением одной из сторон угла, например, с ОА.	Медым муртавны налысь ыдждасӧ, транспортирсӧ пуктам AOB пельӧс вылас сідзи, медым транспортирыслӧн O шӧрчутыс вевсяасяс O пельӧс йывкӧд да медым транспортирыслӧн диаметрыс мунас ӧти пельӧс дор вывтіыс, шуам, OA вывті.	Нылісь ыждасӧ меряйтікӧ AOB пельӧс вылӧ транспортир пуктам сідз, медбы O транспортирлӧн центрыс усис топ O пельӧс йыв вылӧ и медбы транспортирлӧн диаметрыс ӧтлаасис кытшӧм либо пельӧс боккӧт, шуам, OА-кӧт.	Соослэсь быдӟалазэс мертан понна транспортирез АОВ сэрег вылэ поном, транспортирлэн О шорез О сэрег йылэн мед тупалоз, транспортирлэн диаметрез сэреглэн одӥг дурыныз мед тупалоз, кылсярысь ОА дурыныз.
В первом случае мы имеем дугу в 30°, во втором — дугу в 40° и в третьем — дугу в 50°.	Воддза случаяс миян лоӧ 30° дуга, мӧдас — 40° дуга, коймӧдас — 50° дуга.	Медодзза случаяс дугаыс 30°, мӧдас — дуга 40°, куимӧтас — дуга 50°.	Нырысетӥ учырамы асьмелэн букомы 30°, кыкетӥяз 40° но куинетӥяз 50°.
Следовательно, ∠АОВ = 30°, ∠СОD = 40° и ∠ЕОF = 50°.	Сідзкӧ, ∠AOB = 30°, ∠COD = 40°, ∠EOF = 50°.	Сысянь, ∠AOB = 30°, ∠COD = 4Q° и ∠EOF= 50°.	Озьы бере ∠AOB = 30°, ∠COD = 40° но ∠EOF = 50°.
Иногда на транспортире имеются еще деления на полуградусы; четверти градуса определяются на-глаз.	Мукӧддырйи транспортир вылас овлӧны нӧшта градусджынъяса юкӧнъяс; градус четьвертъяс босьтсьӧны ылӧсас, син серти.	Транспортир вылын мукӧд кадас эмӧсь джын градус юкӧммез; нёльӧт градус торресӧ тӧдмалӧны синӧн.	Куддыръя транспортир вылын ӝыны градусъёслы но люкемъёсыз вань; черык градусъёсыз синмен гинэ чаклаське.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Что называется дуговым градусом?	1. Мый шусьӧ дугӧвӧй градусӧн?	1. Мый шусьӧ дугаа градусӧн?	1. Мае буко градус шуо?
2. Что называется угловым градусом?	2. Мый шусьӧ пельӧс градусӧн?	2. Мый шусьӧ пельӧса градусӧн?	2. Мае сэрег градус шуо?
3. Какой угол называется центральным?	3. Кутшӧм пельӧс шусьӧ шӧр пельӧсӧн?	3. Кытшӧм пельӧс шусьӧ центральнӧйӧн?	3. Кыӵе сэрегез шор (центральной) сэрег шуо?
4. Как называется 1/90 прямого угла?	4. Кыдзи шусьӧ 1⁄90 веськыд пельӧслӧн?	4. Кыдз шусьӧ веськыт пельӧслӧн 1/90 тор.	4. Шонер сэреглэн кызьы нимаське?
5. Изменится ли величина угла, если продолжить его стороны?	5. Вежсяс-ӧ пельӧслӧн ыдждаыс, нюжӧдны кӧ сылысь доръяссӧ?	3. Вежсяс я пельӧслӧн ыждаыс, кӧр сылісь боккесӧ нюжӧтам?	5. Сэреглэсь дуръёссэ кузятыса сэрег вошкоз-а?
6. Какую дугу описывает конец часовой стрелки в 1 час? в 5 часов?	6. Кутшӧм дуга вӧчӧ часі стрелкалӧн помыс 1 часын? 5 часын?	6. 1 час и 5 час кадын часы стрелкаэс кытшӧм керӧны дуга?	6. Час ньӧллэн пумез 1 часэ, 5 часэ кыӵе буко лэсьтэ?
7. Что такое транспортир?	7. Мый сэтшӧм транспортирыс?	7. Мый сэтшӧм транспортир?	7. Мар со транспортир?
8. Начертить острый и тупой углы и измерить их с помощью транспортира.	8. Гижтыны ёсь да тшӧтшыд пельӧсъяс да муртавны найӧс транспортирӧн.	8. Чертитӧ векнит и паськыт пельӧс да меряйтӧ нійӧ транспортирӧн.	8. Йылсо но мырк сэрегъёс лэсьтыса, со сэрегъёсыз транспортирен мертано.
§ 3. Построение угла.	5 §. Пельӧс вӧчӧм.	§ 3. Пельӧс строитӧм.	§ 3. Сэрег лэсьтон.
Сравнение углов.	Пельӧсъясӧс ӧтластитӧм.	Пельӧс тшӧтшӧтӧм.	Сэрегъёсыз ӵошатон.
1. Задача 1.	1. 1 задача.	1. Задача.	1. 1 задача.
Построить угол в 35°.	Вӧчны 35° ыджда пельӧс.	Строитӧ 35° ыжда пельӧс.	35° сэрег лэсьтоно.
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Чтобы построить угол в 35°, мы поступаем так: берем произвольную прямую MN (рис. 71) и на ней произвольную точку А.	Медым вӧчны 35° ыджда пельӧс, ми вӧчам тадзи: босьтам произвольнӧй кузьтаа веськыд визь MN (71-ӧд серпас) да сы вылын произвольнӧй A чут.	Медбы строитны 35° ыжда пельӧс ми керам сідз: босьтам MN веськыт визь (71 рис) и сы вылын A чут.	35° сэрег лэсьтон понна асьмеос тазьы кариськом: эркын MN шонер басьтӥськом (71 сур.), со вылэ А эркын точка пуктӥськом.
Затем наложим на прямую MN транспортир так, чтобы центр его О совпал с точкой А и диаметр — с прямой MN.	Сэсся MN веськыд визь вылас пуктам транспортир сідзи, медым сылӧн O шӧрчутыс вевсяасис A чуткӧд, а диаметрыс — MN веськыд визькӧд.	Сы бӧрын MN веськыт визь вылӧ пуктам транспортир, медбы O центрыс сылӧн топ усис A чутӧ и диаметрыс — MN веськыт визь вылӧ.	Собере MN шонер гож вылэ транспортирез О точкаез А точка вылэ, диаметрез нош MN шонерен мед тупалоз шуыса понӥськом.
Против деления транспортира, отмеченного числом 35°, делаем метку у края его на бумаге K₁ или K₂.	Транспортир вылас 35°-са лыдӧн пасйӧм чут весьтӧ бумага вылас вӧчам пас — K₁ либӧ K₂.	Бумага вылын транспортирись 35° весьтӧ пуктам К₁ либо К₂ пассэз.	Транспортирлэн 35° лыдэн тодмо карем люкетэз вадьсы, дураз бумага вылэ K₁ яке K₂ тодмет лэсьтӥськом.
Проводим затем прямые ВА₁ или АВ₂, и получаем искомые углы: ∠MAB₁ = 35° или ∠MAB₂ = 35°.	Сэсся нуӧдам веськыд визьяс AB₁ либӧ AB₂, миян лоӧны корсян пельӧсъяс: ∠NAB₁ = 35° либӧ ∠MAB₂ = 35°.	Нуӧтам BА₁ либо AB₁ веськыт виззез и адззам пельӧссэз; ∠МAB₁ = 35° либо ∠МAB₂ = 35°.	Собере шонер гожъёс ВА₁ яке АВ₂ ортчытӥськом но, утчано сэрегъёсмес шедьтӥськом: ∠MAB₁ = 35° яке ∠MAB₂ = 35°.
2. Задача 2.	2. 2 задача.	2. Задача.	2. 2 задача.
Даны два угла АВС и DEF (рис. 72).	Сетӧма кык пельӧс — ABC да DEF (72-ӧд серпас).	Сетӧм ABC и DEF кык пельӧс. (72 рис.).	Кык АВС но DEF сэрегъёс сётэмын (72 сур.).
Который из них больше?	Код пельӧсыс ыджыдджык?	Кӧдія ыджытжык?	Соос пӧлысь кудӥз бадӟым?
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Измерив каждый из них транспортиром, мы найдем, что ∠ABC = 34°, а ∠DEF = 58°.	Кыкнансӧ транспортирӧн мурталӧм бӧрын ми аддзам: ∠ABC = 34°, ∠DEF = 58°.	Транспортирӧн меряйтікӧ ми адззам: ∠ABC = 34° а ∠DEF = 58°.	Кыксэ ик со сэрегъёсыз транспортирен мертаса асьмеос шедьтом: ∠ABC = 34°, нош ∠DEF = 58°.
Следовательно, ∠DEF > ∠ABC.	Сідзкӧ ∠DEF > ∠ABC.	Сысянь ∠DEF > ∠ABC-ся.	Озьы бере, ∠DEF > ∠ABC.
3. Задача 3.	3. 3 задача.	3. Задача.	3. 3 задача.
Дан угол АВС (рис. 73).	Сетӧма пельӧс ABC (73-ӧд серпас).	Сетӧм ABC пельӧс (73 рис.).	АВС сэрег сётэмын (73 сур.).
Построить угол, равный ему.	Вӧчны сы ыджда жӧ пельӧс.	Сы ыжда жӧ мӧдік пельӧс колӧ строитны.	Солы ӵошась сэрег лэсьтоно.
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъян.
Измерим ∠AВС транспортиром (40°); переносим затем транспортир на произвольную прямую MN и строим при произвольной точке ее B₁ угол в 40°.	Мурталам ∠ABC транспортирӧн (40°); сэсся транспортирсӧ вуджӧдам произвольнӧй MN веськыд визь вылӧ да кутшӧмкӧ сывывса B₁ чут бердын вӧчам 40°-а пельӧс.	∠ABC меряйтам транспортирӧн (40°); сыбӧрын транспортирсӧ пуктам мӧдік MN веськыт визь вылӧ и строитам B₁ чутсянь 40° ыжда пельӧс.	∠AВС-эз (40°) транспортирез мерталом; собере транспортирез MN эркын гож вылэ поттыса солэн эркын B₁ точкаяз 40° сэрег лэсьтӥськом.
Получаем ∠A₁B₁C₁, равный данному ∠АВС.	Лоӧ ∠A₁B₁C₁, коді ∠ABC ыджда жӧ.	∠A₁B₁C₁ лоас ∠ABC-кӧт ӧтыжда.	Сётэм ∠AВС-лы ӵошась ∠A₁B₁C₁ шедьтӥськом.
Запись: ∠A₁B₁C₁ = ∠АВС.	Гижсьӧ тадзи: ∠A₁B₁C₁ = ∠ABC .	Гижӧны: ∠A₁B₁C₁ = ∠ABC.	Гожтонэз: ∠A₁B₁C₁ = ∠АВС.
4. Обе предыдущие задачи можно решить и без транспортира, с помощью циркуля и линейки.	4. Воддза кыкнан задачасӧ позьӧ решитны и транспортиртӧг, циркульӧн да линейкаӧн.	4. Кыкнан одзза задачаэсӧ позьӧ керны и транспортиртӧг, а циркульӧн да линейкаӧн.	4. Кыксэ ик азьло задачаосыз транспортиртэк но циркулен но линейкаен гинэ лыдъяны луоз.
Даны углы АВС и DEF (рис. 74).	Сетӧма пельӧсъяс ABC да DEF (74-ӧд серпас).	Сетӧм ABC и DEF пельӧссэз (74 рис.).	АВС но DEF сэрегъёс сётэмын (74 сур.).
Проведем радиусом ВА = ED две окружности: одну с центром в В, а другую с центром в Е.	Нуӧдам BA = ED радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ B шӧрчутӧн, а мӧдсӧ E шӧрчутӧн.	Нуӧтам BA = ED радиусӧн кык гӧгрӧс; ӧтыслӧн центрыс B, а мӧдыслӧн E.	AB = CD радиусъёсын кык котыргожъёс ортчытом: нырысетӥзэ В шор точкаен нош кыкетӥзэ Е шор точкаен.
Дуги АС и DF заменяют собою дуги транспортира.	AC да DF дугаясыс аснаныс вежасны транспортир дугаясӧс.	AC и DF лоӧны транспортир туйӧ дугаэзӧн.	АС но DE букоос асэнызы транспортирлэсь букозэ вошто.
Измерив затем циркулем или взяв в циркуль расстояние DF, проведем дугу (пересекающую дугу АС) с центром в А радиусом, равным DF.	Мурталам циркульӧн либӧ босьтам циркульӧ DF костсӧ, нуӧдам A шӧрчутсянь DF ыджда радиусӧн дуга, коді вомӧналӧ AC дугасӧ.	Сы бӧрын меряйтам либо босьтам циркульӧн DE визь и нуӧтам дуга, кӧда крестасяс AC дугакӧт, сылӧн A центр, а DF радиус.	Собере циркулен мертаса, яке циркуле DE кузьдалаез басьтыса, (АС букоез вожвылтӥсь) А шор точкаен, но DF радиуслы ӵошась радиусэн буко ортчытом.
Тут могут представиться 3 случая:	Тані вермас лоны куим случай:	Сэтӧн вермас лоны 3 случай:	Татын 3 учыръёс пуксёзы.
1) дуга эта пересечет дугу АС в точке С, тогда ‿DF = ‿АС и углы равны;	1) тайӧ дугаыс вомӧналас AC дугасӧ C чутын, сэки ‿DF = ‿AC да пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь;	1) AC дугакӧт эта дугаыс крестасяс C чутын, сэк ‿DF = ‿AC и пельӧссэс ӧтыждаӧсь;	1) та буко С точкаын СА букоез вожвылтоз но соку ‿DF = ‿АС, сэрегъёсыз огкадесь луозы;
2) дуга эта пересечет дугу АС в точке К₂ (внутри ∠АВС), тогда ‿DF < ‿АС и ∠DEF < ∠АВС; 3) дуга пересечет дугу АС в точке К₃ вне угла АВС, тогда ‿DF > ‿АС и ∠DEF > ∠АВС.	2) тайӧ дугаыс вомӧналас AC дугасӧ K₂ чутын (∠ABC пытшкас), сэки ‿DF < ‿AC да ∠DEF < ∠ABC; 3) дугаыс вомӧналас AC дугасӧ K₃ чутын (ABC пельӧс саяс), сэки ‿DF > ‿AC да ∠DEF >∠ABC .	2) AC дугакӧт эта дугаыс крестасяс К₂ чутын (∠ABC пытшкын), сэк ‿ DF < ‿ AC и ∠DEF < ∠ABC; 3) AC дугакӧт эта дугаыс крестасяс К₃ чутын ABC пельӧс сайын, сэк ‿DF > ‿AC и ∠DEF > ∠ABC.	2) та буко К₂ точкаын АС букоез вожвылтоз ( ∠АВС пушкын), соку ‿DF < ‿AC но ∠DEF < ∠ABC; 3) АВС сэреглэн педпалэтӥз буко АС букоез К₃ точкаын вожвылтоз, cокy ‿DE > ‿АС но ∠DEF > ∠АВС.
Таким же образом можно построить угол, равный данному, не прибегая к его измерению.	Тадзинас позьӧ, сетӧм пельӧссӧ муртавтӧг, вӧчны сы ыджда жӧ пельӧс.	Сідз жӧ позьӧ строитны ӧтыжда пельӧссэсӧ нійӧ меряйттӧг.	Тазьы ик сётэм сэреглы ӵошась сэрегез, сое мертатэк но лэсьтыны луоз.
Пусть требуется построить угол, равный данному углу АВС (рис. 75).	Шуам, колӧ вӧчны пельӧс, коді мед равнӧй сетӧм ABC пельӧслы (75-ӧд серпас).	Ась колӧ строитны ABC сетӧм пельӧс ыжда мӧдік пельӧс (75 рис).	АВС сётэм сэреглы ӵошась сэрег лэсьтоно мед луоз (75 суред).
Возьмем произвольную прямую MN и на ней произвольную точку B₁.	Босьтам произвольнӧй веськыд визь MN да сы вылын кутшӧмкӧ B₁ чут.	Босьтам MN веськыт визь и сы вылын B₁ чут.	Эркын MN шонер гож басьтом но со вылэ эркын B₁ точка пуктом.
Проведем две окружности одинакового радиуса (произвольного) с центрами в точках В и B₁: первая пересекает стороны данного угла в точках А и С, вторая пересекает MN в точке А₁.	Нуӧдам ӧткодь радиуса (произвольнӧй) кык кытшвизь B да B₁ шӧрчутӧн: первойыс вомӧналӧ сетӧм пельӧс доръяссӧ A да C чутъясын, мӧдыс вомӧналӧ MN-сӧ A₁ чутын.	Нуӧтам B и B₁ центррезсянь ӧтік радиусӧн кык гӧгрӧс. Пельӧс боккезын ӧтыс крестасяс A и C чуттэзын, мӧдыс MN визькӧт крестасяс А₁ чутын.	В но B₁ шор точкаосын, кык ог кузя эркын радиусъёсын котыргож лэсьтом; нырысетӥез сётэм сэреглэсь дуръёссэ А но С точкаосын вожвылтэ, кыкетӥез MN, A₁ точкаын вожвылтэ.
Взяв в циркуль расстояние АС, проводим две дуги одного и того же радиуса АС — одну с центром в А, другую — с центром в А₁.	Босьтам циркульӧ AC костсӧ да нуӧдам ӧти AC радиуса кык дуга — ӧтисӧ A шӧрчутӧн, мӧдсӧ — A₁ шӧрчутӧн.	Босьтам циркульӧн AC пасьта, нуӧтам A и А₁ центррезсянь AC радиус кузя кык дуга.	AC-лэсь кузьдалазэ циркуле басьтыса, ог кадь АС радиусо, огзэ А шор точкаысен, мукетсэ A₁ шор точкаысен кык буко гожтӥськом.
Первая пересечет дугу АС в точке С, вторая — дугу А₁С₁, в точке С₁.	Первой дугаыс вомӧналас AC дугасӧ C чутын, мӧдыс — A₁C₁ дугасӧ C₁ чутын.	AC дугакӧт ӧтыс крестасяс C чутын, мӧдыс — А₁C₁ дугакӧт C₁ чутын.	Нырысетӥез АС букоез С точкаын вожвылтоз, кыкетӥез А₁С₁ букоез С₁ точкаын вожвылтоз.
Проведя затем из В₁ прямую B₁C₁, мы получим ∠A₁B₁C₁, равный данному ∠АВС: дуги АС и А₁С₁ соответствуют дугам транспортира, а так как они равны, то равны и углы, т. е. ∠А₁В₁С₁ = ∠АВС.	Сэсся B₁ чутсяньыс нуӧдам веськыд визь B₁C₁, миян лоӧ ∠A₁B₁C₁, сетӧм ∠ABC-кӧд ӧтыджда: AC да A₁C₁ дугаясыс соответствуйтӧны транспортир дугаяслы, а найӧ кор ӧтыдждаӧсь, сэк ӧтыдждаӧсь и пельӧсъясыс, мӧд ног кӧ ∠A₁B₁C₁ = ∠ABC.	Сы бӧрын B₁-сянь нуӧтам B₁C₁, веськыт визь, миян лоас ∠A₁B₁C₁ ӧтыжда сетӧм ∠ABC-кӧт; AC и А₁C₁ дугаэз транспортир дугакӧт ӧтыждаӧсь, сысянь и пельӧссэс ӧтыждаӧсь, лоӧ ∠A₁B₁C₁ = ∠ABC.	Собере B₁ точкаысь B₁C₁ шонер гож ортчытыса, асьмеос ∠АВС сётэмлы ӵошась ∠A₁B₁C₁, шедьтом: АС но А₁С₁ букоос транспортирлэн букоосызлы тупало, нош соос ог кадесь бере, сэрегъёссы но ог кадесь луо, мукет сямен ∠A₁B₁C₁ = ∠АВС.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Построить углы в 45°, 65°, 80°, 110°, 150°.	1. Вӧчны 45°-са, 65°-са, 80°-са, 110°-са, 150°-са пельӧсъяс.	1. Строитӧ 45°, 65°, 80°, 110°, 150° ыжда пельӧссэз.	1. 45°, 65°, 80°, 110°, 150° сэрегъёс лэсьтоно.
2. Начертить какой-нибудь угол и построить угол, равный ему (двумя способами).	2. Чертитны кутшӧмкӧ пельӧс да вӧчны сы ыджда жӧ пельӧс (кык ногӧн).	2. Чертитӧ кытшӧм либо пельӧс да сы сьӧрті строитӧ мӧдік сы ыжда пельӧс (кык способӧн).	1. Кыӵе ке сэрег лэсьтыса со сэреглы ӵошась (кык амалэн) сэрег лэсьтэ.
3. Как сравнить между собою два угла: 1) с помощью транспортира и 2) с помощью циркуля?	3. Кыдзи ӧтластитны мӧда-мӧдныскӧд кык пельӧс: 1) транспортирӧн, 2) циркульӧн?	3. Кыдз тшӧтшӧтны ӧта мӧдкӧт кык пельӧс: 1) транспортирӧн и 2) циркульӧн?	5. Кызьы асьсэ куспын кык сэрегъёсыз ӵошатоно 1) транспортирен но 2) циркулен?
§ 4. Действия с углами.	4 §. Пельӧсъяскӧд действийӧяс.	§ 4. Мый позьӧ керны пельӧссэзӧн.	§ 4. Сэрегъёсын действиос.
1. Задача.	1. Задача.	1. Задача.	1. Задача.
Даны два угла: ∠АВС и ∠DEF (рис. 76).	Сетӧма кык пельӧс: ∠ABC да ∠DEF (76-ӧд серпас).	Сетӧм ∠ABC и DEF (76 рис.).	Кык ∠АВС но ∠DEF сэрегъёс сётэмын (76 сур.).
Найти сумму этих углов.	Корсьны тайӧ пельӧсъясыслысь суммасӧ.	Колӧ адззыны эна пельӧссэзлісь ӧтлас.	Со сэрегъёслэсь суммазэс шедьтоно.
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Измерив каждый из углов транспортиром, находим, что АВС=20° и ∠DEF = 42°.	Мурталам транспортирӧн быд сетӧм пельӧс да аддзам: ∠ABC = 20°, ∠DEF = 42°.	Транспортирӧн быд пельӧссӧ меряйтікӧ ми адззим: ∠ABC = 20° и ∠DEF = 42°.	Котькудзэ со сэрегъёсыз транспортирен мертаса шедьтӥськом АВС = 20° ∠DEF = 42°.
Значит, ∠АВС + ∠DEF = 20°+ 42° = 62°.	Сідзкӧ: ∠ABC + ∠DEF = 20° + 42 = 62°.	Сысянь, ∠ABC + ∠DEF = 20° + 42° = 62°.	Озьы бере ∠АВС + ∠DEF = 20°+ 42° = 62°.
Строим затем с помощью транспортира угол KLM = 62°.	Сэсся транспортирӧн вӧчам пельӧс KLM = 62°.	Сы бӧрын транспортирӧн строитам KLM = 62° пельӧс.	Собере транспортирен KLM = 62° сэрег лэсьтӥськом.
Последний и будет суммой углов АВС и DEF.	Тайӧ пельӧсыс и лоӧ ABC да DEF пельӧсъяслӧн суммаыс.	Сія и лоас ABC и DEF пельӧссэзлӧн ӧтлас.	Берлосез АВС но DEF сэрегъёслэн суммазы луоз.
Можно было бы сначала построить угол равный 20° и затем на стороне последнего построить угол равный 42°, тогда мы получили бы тот же ∠KLM = 62°.	Позис эськӧ войдӧр вӧчны 20° пельӧс да сійӧ дор вылын вӧчны 42° пельӧс, сэки эськӧ миян лои сійӧ жӧ ∠KLM = 62°.	Позис перво строитны 20° ыжда пельӧс и сы бок бердӧ строитны 42° ыжда пельӧс, сэк миян лоас тожӧ ∠KLM = 62° ыжда пельӧс.	Нырись ик 20° ӵошась сэрег лэсьтыны луысал, собере берлось пал дураз ик 42° сэрег лэсьтоно, соку асьмеос ∠KLM = 62° шедьтысалмы.
Мы решили эту задачу измерением и вычислением.	Тайӧ задачасӧ ми решитім мурталӧмӧн да арталӧмӧн.	Этӧ задачасӧ ми керим меряйтӧмӧн да лыддьӧмӧн.	Асьмеос та задачаез мертанэн но лыдъянэн лыдъям.
2. С помощью циркуля и линейки задача эта решается так.	2. Циркуль да линейка отсӧгӧн тайӧ задачаыс решитчӧ тадзи:	2. Циркульӧн да линейкаӧн эта задачаыс керсьӧ сідз.	2. Циркулен но линейкаосын та задача тазьы лыдъяське.
Берем произвольную прямую OO₁ (рис. 77) и на ней произвольную точку L.	босьтам произвольнӧй веськыд визь OO₁ (77-ӧд серпас) да сы вылын произвольнӧй L чут.	Босьтам OО₁ веськыт визь. (77 рис.) и сы вылын кытшӧм либо L чут.	Эркын OO₁ шонер гож басьтӥськом но (77 сур.), со вылэ L эркын точка кутӥськом.
Проводим затем одним и тем же произвольным радиусом три окружности с центрами в точках В, Е и L (рис. 76 и 77).	Сэсся ӧти произвольнӧй радиусӧн нуӧдам куим кытшвизь, кодъяслӧн шӧрчутъясыс B, E да L (76-ӧд да 77-ӧд серпасъяс).	Сы бӧрын B₁Е₁ и L центррезсянь нуӧтам ӧтыжда радиусӧн куим гӧгрӧс (76 и 77 рис.).	Собере ог кадесь ик эркын радиусэн В, Е но L шор точкаосын куинь котыргож ортчытӥськом (76 но 77 суредъёс).
Одна из окружностей пересекает стороны ∠АВС в точках А и С, другая — стороны ∠DEF в точках D и F и третья — прямую OO₁ в точке К.	Ӧти кытшвизь вомӧналӧ ∠ABC-лысь доръяссӧ A да C чутъясын, мӧд — ∠DEF доръяссӧ D да F чутъясын да коймӧд — OO₁ веськыд визьсӧ K чутын.	Ӧтік гӧгрӧсыс ∠LBC боккезкӧт крестасьӧ A и C чуттэзын, мӧдыс — ∠DEF боккезкӧт D и F чуттэзын и куимӧтыс OО₁ веськыт визьыскӧт крестасяс K чутын.	Одӥгез котыргож пӧлысь ∠АВС дуръёсыз А но С точкаосын ӵогоз, мукетэз ∠DEF дуръёсыз D но F точкаосын, куинетӥез OO₁ шонер гожез К точкаын.
Радиусом, равным расстоянию АС, «засекаем» последнюю дугу дугою с центром в К; пусть точка пересечения дуг N, затем радиусом, равным FD и с центром в N, проводим дугу, пересекающую в точке М последнюю дугу.	AC кост ыджда радиусӧн вомлалам бӧръя (KM) дугасӧ K шӧрчута дугаӧн; мед дугаясыслӧн вомӧнасян чутыс лоӧ N; сэсся FD ыджда радиусӧн да N шӧрчутӧн нуӧдам дуга, коді KM дугаӧс вомӧналас M чутын.	AC радиус ыждаӧн «кресталам» бӧрись дугасӧ дугаӧн, кӧдіялӧн центрыс K; ась дугаэзлӧн кресталӧмсянь чут N, сы бӧрын FD ыжда радиусӧн, N центрӧн нуӧтам дуга, кӧдія медбӧрись дугакӧт крестасьӧ M чутын.	АС кузьдалалы ӵошась радиусэн бӧрысетӥ букоез К шор точка букоын «ӵогиськом»; букоослэн ӵогиськон точказы N мед луоз; собере FD ӵошась радиусэн но N шор точкаен берпум буко, М точкаын ӵогиськись буко лэсьтӥськом.
Проведя прямую LM, мы получаем искомую сумму углов, т. е. ∠KLM = ∠KLN + ∠NLM или ∠KLM = ∠АВС + ∠DEF.	LM веськыд визь нуӧдӧмӧн ми аддзам пельӧсъясыслысь корсян суммасӧ, мӧд ног кӧ: ∠KLM = ∠KLN + ∠NLM либӧ ∠KLM = ∠ABC + ∠DEF.	Нуӧтам кӧ LM веськыт визь, и сэк миян лоас пельӧссэзлӧн ӧтлас: ∠KLM = ∠KLN + ∠NLM либо ∠ KLM = ∠ABC + ∠DEF.	LM шонер гож ортчытыса, асьмеос утчано сэрегъёслэсь суммазэс шедьтӥськом, мукет сямен ∠KLM = ∠KLN + ∠NLM яке ∠KLM = ∠АВС + ∠DEF.
Теперь мы решили задачу построением.	Ӧні ми решитім тайӧ задачасӧ тэчӧмӧн (построением).	Этӧ задачасӧ ми керим строитӧмӧн.	Табере асьмеос задачамес лэсьтонэн лыдъям.
Когда построение циркулем и линейкой выполнено, можно решение проверить с помощью транспортира измерением и вычислением.	Кор задачасӧ лоӧ вӧчӧма циркульӧн да линейкаӧн, сэк сійӧс позьӧ проверитны транспортир отсӧгӧн мурталӧмӧн да арталӧмӧн.	Кӧр строитӧмыс керӧм линейкаӧн да циркульӧн, позӧ проверитны транспортир сьӧрті меряйтӧмӧн да лыддьӧмӧн.	Циркулен но транспортирен лэсьтэмез быдэстэмын ке, лыдъянэзлэсь шонерзэ транспортирен мертаса но лыдъясе тодэммы луэ.
3. Задача.	3. Задача.	3. Задача.	3. Задача.
Найти разность двух углов: ∠АВС и ∠DEF (рис. 78).	Корсьны разносьт кык пельӧслысь: ∠ABC да ∠DEF (78-ӧд серпас).	Колӧ адззыны кык пельӧслісь колян: ∠ABC и ∠DEF (78 рис.).	Кык АВС но BEF сэрегъёслэсь кылемзэ шедьтоно (78сур.).
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Измерив с помощью транспортира ∠АВС (53°) и ∠DEF (18°), мы найдем разность этих углов вычислением. 53° − 18° = 35°.	Мурталам транспортирӧн ∠ABC (53°) да ∠DEF (18°), пельӧсъясыслысь разносьтсӧ аддзам арталӧмӧн: 53° − 18° = 35°.	Транспортирӧн меряйтікӧ ∠ABC (53°) и ∠DEF (18°), эна пельӧссэзлісь лыддьӧмӧн ми адззам колян. 53° − 18°= 35°.	∠АВС (53°) но ∠DEF (18°) транспортирен мертаса, асьмеос та сэрегъёслэсь лыдъяса кылемзэ шедьтом. 53° − 18° = 35°.
Решим эту задачу еще построением.	Тайӧ жӧ задачасӧ нӧшта решитам тэчӧмӧн.	Керам этӧ задачасӧ строитӧмӧн.	Та задачаез лэсьтонэн лыдъялом на.
Построив сначала ∠A₁B₁C₁ = ∠ABC (рис. 79), строим затем на B₁C₁ ∠C₁B₁K₁ (внутри угла A₁B₁C₁), равный углу DEF.	Войдӧр вӧчам ∠A₁B₁C₁ = ∠ABC (79-ӧд серпас), сэсся B₁C₁ вылас вӧчам ∠C₁B₁K (A₁B₁C₁ пельӧс пытшкас), коді DEF пельӧс ыджда.	Перво строитам ∠A₁B₁C₁ = ∠ABC (79 рис.). Сы бӧрын строитам (A₁B₁C₁ пельӧс пытшкын) B₁C₁ вылын ∠C₁B₁К₁ ӧтыжда DEF пельӧскӧт.	Азьлон, ∠A₁B₁C₁ = ∠ABC (79 сур.) лэсьтыса, собере B₁C₁ вылэ ∠C₁B₁K₁ сэрег пушкын) DEF сэреглы ӵошась лэсьтӥськом.
Тогда KB₁A₁ и будет разностью углов АВС и DEF.	Сэки ∠KB₁A₁ и лоӧ ABC да DEF пельӧсъяс разносьтӧн.	Сэк ABC и DEF пельӧссэзлӧн лоас ∠К₁B₁А₁ колян.	Соку KB₁A₁ — АВС но DEF сэрегъёслэн кылемзы луоз.
4. Задача.	4. Задача.	4. Задача.	4. Задача.
Умножить ∠АВС на 3 (рис. 80).	Ӧктыны ∠ABC 3 вылӧ (80-ӧд серпас).	∠ABC босьтам 3-ись (80 рис.).	∠АВС-эз 3-лы унояно (80 сур.).
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Умножить ∠АВС на целое число, например на 3, значит взять угол АВС слагаемым 3 раза, иначе — сложить 3 одинаковых угла.	Ӧктыны ∠ABC тыр лыд вылӧ, шуам 3 вылӧ, сійӧ лоӧ босьтны ∠ABC куимысь (3 пӧв), мӧд ногӧн кӧ — содтыны 3 ӧткодь пельӧс.	∠ABC босьтны быдса лыддьӧс вылӧ, шуам 3 вылӧ, лоӧ ABC пельӧс, босьтӧм 3-ись, мӧднёж: лоӧ ӧтлаавны 3 ӧтыжда пельӧс.	АВС быдэс лыдлы унояно. Кылсярысь 3-лы, АВС сэрегез куинь пол огазеяськисен басьтоно, мукет сямен, куинь ог кадь сэрегъёсыз огазеяно.
Угол А₁В₁С₃ и будет искомым произведением, так как ∠АВС · 3 = ∠А₁В₁С₃.	∠A₁B₁C₃ пельӧсыс и лоӧ корсян пельӧсӧн. Гижсьӧ: ∠ABC · 3 = ∠A₁B₁C₃.	A₁B₁C₃ пельӧс и лоас ӧксян, кӧдійӧ кошшим ∠ABC : 3 = ∠A₁B₁C₃.	∠АВС · 3 = ∠А₁В₁С₃ бере, А₁В₁С₃ сэрег утчано произведенимы луоз.
5. Задача.	5. Задача.	5. Задача.	5. Задача.
Разделить данный угол АВС пополам, т. е. на два равных угла (рис. 81).	Юкны сетӧм ABC пельӧссӧ шӧри, либӧ кык ӧтыджда пельӧс вылӧ (81-ӧд серпас).	ABC пельӧс юкӧвтам шӧри, ӧтыжда кык пельӧс вылӧ (81 рис.).	АВС сётэм сэрегез шори люконо, мукет сямен, кык ог кадесь люкетлы люконо (81 сур.).
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
С помощью транспортира измеряем сперва угол (52°); затем получаем 52°: 2 = 26° и строим на стороне ВА (или ВС) ∠ABD = 26°.	Войдӧр транспортирӧн мурталам пельӧссӧ (52°); лоӧ 52° : 2 = 26°, сэсся BA (либӧ BC) дор вылас вӧчам ∠ABD = 26°.	Транспортирӧн перво меряйтам пельӧс (52°); сыбӧрын юкӧвтам 52° : 2 = 26° и строитам BA бок вылын (либо BC вылын) ∠ABD = 26°.	Нырись ик транспортирен сэрегез мертаськом (52°), собере 52° : 2 = 26° шедьтӥськом но, АВ дураз (яке ВС) ∠ABD = 26° лэсьтӥськом.
Таким же образом можно разделить угол на 3, 4, 5 и т. д. равных углов.	Тадзи жӧ позьӧ юкны пельӧстӧ 3, 4, 5 да с. в. ӧтыджда пельӧсъяс вылӧ.	Сідз жӧ позьӧ юкӧвтны пельӧссэсӧ 3, 5, 4 и с. одз. ӧтыждаэзӧ.	Озьы ик сэрегез 3-лы, 4-лы, 5-лы, но мукет ог кадь люкетъёслы люкыны луэ.
С помощью циркуля и линейки угол делится пополам подобно тому, как мы это делали при делении отрезка пополам.	Циркульӧн да линейкаӧн пельӧс юксьӧ шӧри сідзи жӧ, кыдзи ми вӧчлім вундӧг шӧри юкигӧн.	Циркульӧн да линейкаӧн пельӧс юкассьӧ сідз жӧ шӧри, кыдз ми этӧ керимӧ орӧток шӧри юкавтӧн.	Вандэтэз шори люкон лэсьтэммы кадь ик, циркулен но линейкаен ужаса сэрег шори люкиське.
Вся задача сводится к делению дуги пополам.	Став задачаыс лоӧ дугасӧ шӧри юкӧмын.	Быдӧс задачаыс вайӧтсьӧ дугасӧ шӧри юкалӧм дынӧ.	Быдэсак задача — букоез шори люкон луэ.
Пусть дан угол АВС (рис. 82).	Шуам, сетӧма пельӧс ABC (82-ӧд серпас).	Ась сетӧм ABC пельӧс (82 рис.).	АВС сэрег сётэмын мед луоз (82 сур.).
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине В.	Нуӧдам B чутсянь произвольнӧй радиуса кытшвизь.	Нуӧтам гӧгрӧс кытшӧм-либо радиусӧн B центрсянь.	В шор точкаен эркын радиусэн котыргож ортчытом.
Она пересечет стороны угла в точках К и L.	Сійӧ вомӧналас пельӧс доръяссӧ K да L чутъясын.	Сія пельӧслісь боккесӧ кресталас K да L чуттэзын.	Соку со сэреглэсь дуръёссэ К но L точкаосын ӵогоз.
Дав циркулю растворение, большее половины хорды KL, проводим две равных окружности с центрами в К и L, которые пересекутся в двух точках М и N.	Восьтам циркуль вожсӧ KL хорда джынйысь паськыдджыка да нуӧдам кык ӧтыджда кытшвизь, K да L шӧрчутъясӧн; кытшвизьясыс вомӧнасясны кык чутын — M да N.	Босьтам KL хорда джынся кузьжык циркульӧн да KL центррезсянь нуӧтам кык гӧгрӧс, кӧднія крестасясӧ M да N чуттэзын.	KL хордалэн ӝыныезлэсь кузьгес циркульлэсь куксэ вайяса, К но L шор точкаосын кык ог кадесь котыргожъёс ортчытом, соос кык М но N точкаос пыртӥ но В сэрег йылтӥ ортчозы.
Проведя прямую MN, мы разделим и хорду и дугу пополам.	Нуӧдам веськыд визь MN; сійӧ юкас и хордасӧ, и дугасӧ шӧри.	Ӧтлаӧтам кӧ дуга шӧрсӧ B йывкӧт, миян лоас веськыт визь, кӧдасянь ABC пельӧсыс юкӧвтсяс шӧри.	abu
Соединив затем эту середину дуги с вершиной В, мы и получим прямую, которою угол АВС разделится пополам.	Сэсся тайӧ дуга шӧрсӧ да B йывсӧ ӧтлаалам веськыд визьӧн, сійӧ веськыд визьыс и юкас ABC пельӧссӧ шӧри.	abu	abu
Прямая эта пройдет через точки М и N и вершину В угла.	Тайӧ веськыд визьыс мунас M да N чутъяс да пельӧс B йыв пыр.	Эта веськыт визьыс мунас M да N чуттэз пыр B пельӧс йыв дынӧ.	abu
Она называется равноделящей угла или биссектрисой.	Сійӧ шусьӧ пельӧс равноделящӧйӧн, либӧ биссектрисаӧн.	Сія шусьӧ биссектрисаӧн либо ӧтмоз пельӧс юкӧвтісьӧн.	Со сэрег шори огкадь люкись яке биссектриса шуыса нимаське.
Для проверки берем в циркуль расстояния между концами дуг OK и OL.	Проверитӧм могысь босьтам циркульӧ OK да OL дугаяслысь пом костъяссӧ.	Проверка понда босьтам циркуль OK и OL дугаэз пасьта.	Шонерзэ эскерон понна циркуле ОК но OL букоослэсь пум кусыпъёссэс басьтӥськом.
Если ОК = OL, то построение сделано верно: ‿ОК = ‿OL, следовательно, и ∠АВО = ∠CBO.	Если кӧ OK = OL, сэк лоӧ, мый ми вӧчим лючки: ‿OK = ‿OL, сідзкӧ и ∠ABO = ∠CBO.	Кӧр OK = OL, то керим верно: ‿OK = ‿OL, сысянь и ∠ABО = ∠CBO.	OK = OL ке, соку лэсьтэм шонер лэсьтэмын: ОК‿ = OL‿, озьы бере, ∠АВО = ∠СВО.
Можно разделить каждую половину угла пополам, т. е. весь угол АВС на 4 равные части; точно так же — и на 8, 16 и т. д. равных частей.	Позьӧ юкны быд пельӧсджын шӧри, мӧд ног кӧ — ABC пельӧссӧ юкны 4 ӧтыджда юкӧн вылӧ; сідз жӧ позьӧ юкны и 8, 16 да с. в. ӧтыджда юкӧнъяс вылӧ.	Позьӧ быд пельӧс джынсӧ юкӧвтны шӧриӧн, сэк ABC пельӧсыс юкӧвтсяс 2 ӧтыжда тор вылӧ; сідз жӧ 8, 16 вылӧ и с. одз. ӧтыжда торрез вылӧ.	Сэреглэсь котькуд ӝынызэ шори люкыны луэ, мукет сямен, быдэсак АВС сэрегез 4 ог кадесь люкетлы, озьы ик 8-лы но 16-лы но мукет но ог кадесь люкетъёслы люкыны луоз.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Начертить два угла.	1. Чертитны кык пельӧс.	1. Чертитӧ кык пельӧс.	1. Кык сэрег гожтоно.
Найти их сумму и разность (двумя способами).	Корсьны налысь суммасӧ да разносьтсӧ (кык ногӧн).	Адззӧ нылісь (кык способӧн) ӧтлас и колян.	Соослэсь суммазэс но кылемзэс (кык амалэн) шедьтоно.
2. Дан острый угол АВС; умножить его на 4 (двумя способами).	2. Сетӧма ёсь пельӧс ABC; ӧктыны сійӧс 4 вылӧ (кык ногӧн).	2. Сетӧм векнит ABC пельӧс; босьтӧ сійӧ 4 сымдаӧн (кык способӧн).	2. Йылсо АВС сэрег сётэмын; сое 4-лы унояно (кык амалэн).
3. Разделить данный круг пополам; на 4 равных части; на 8 равных частей; на 16 равных частей.	3. Юкны сетӧм кругсӧ шӧри, 4 пельӧ, 8 пельӧ, 16 пельӧ.	3. Сетӧм гӧгыльсӧ юкӧвтӧ шӧри; 4 ӧтыжда тор вылӧ, 8 ӧтыжда тор вылӧ; 16 ӧтыжда тор волӧ.	3. Сётэм котретэз шори 4, 8, 16 ог кадь люкетъёслы люконо.
4. Сколько градусов и минут содержит центральный угол сектора, составляющего круга?	4. Кымын градус да минут лоӧ сектор шӧр пельӧсын, секторыс кӧ лоӧ 1⁄16 кругыслӧн?	4. Кыным градус да минута центральнӧй пельӧсісь секторлӧн, кӧдалӧн ыждаыс 1/16 гӧгыль тор?	4. Котретлэсь 1/16 люкетсэ возьматӥсь секторлэн шор сэрегез кӧня градус но минут луоз?
5. Разность двух углов равна 12°20′, а сумма их равна 78°30′.	5. Кык пельӧслӧн разносьтыс лоӧ 12°20′, а налӧн суммаыс лоӧ 78°30′.	5. Кык пельӧслӧн коляныс 12°20′ ыжда, а ӧтлас нылӧн 78°30′ ыжда.	5. Кык сэреглэн кылемзы 12° 20′ ӵоша, нош соослэн суммазы 78°30′-лы ӵоша.
Чему равен каждый из них?	Ыджыдӧсь-ӧ лоӧны асьныс пельӧсъясыс?	Адззӧ мый ыждаӧсь нія?	Котькудӥз соос малы ӵошало?
6. Прямой угол разделен на два угла, из которых один на 10°10′ больше другого.	6. Веськыд пельӧс юкӧма кык пельӧс вылӧ, ӧтиыс ыджыдджык мӧдсьыс 10°10′-ӧн.	6. Веськыт пельӧс юксьӧм кык пельӧс вылӧ, кытісь ӧтыс 10°10′-ӧн ыджытжык мӧдысся.	6. Шонер сэрег кык сэреглы люкемын, соос пӧлысь огез мукетэзлэсь 10°10′-лы бадӟым.
Найти каждый из них.	Корсьны тайӧ пельӧсъяссӧ.	Адззыны, мый ыждаӧсь нія.	Соосыз котькудзэс шедьтоно.
7. Два угла в сумме дают 180°.	7. Кык пельӧслӧн суммаыс лоӧ 180°.	7. Кык пельӧслӧн ӧтласыс 180°.	7. Кык сэрегъёс суммаязы 180° сёто.
Один из них в 3,5 раза больше другого.	Ӧтиыс на костысь 3,5 пӧв ыджыдджык мӧдсьыс.	Ӧтыс 3,5-ись ыджытжык мӧдысся.	Соос пӧлысь огез мукетэзлэсь 3,5 пол бадӟым.
Чему равен каждый из них?	Ыджыд-ӧ лоӧ быд пельӧс?	Мый ыждаӧсь нія быдыс?	Котькудӥз соос малы ӵошало?
8. Дан угол в 30°40′.	8. Сетӧма 30°40′-са пельӧс.	8. Сетӧм пельӧс 30°40′ ыжда.	8. 30°40′ сэрег сётэмын.
В вершине его к одной из сторон проведен перпендикуляр.	Пельӧс йылас ӧти дорыслы нуӧдӧма перпендикуляр.	Сы йылӧ ӧт боксянь нуӧтӧм перпендикуляр.	Солэн йылаз ог пал дураз перпендикуляр ортчытэмын.
Определить угол между перпендикуляром и другою стороною.	Тӧдмавны перпендикуляр да мӧд дор костса пельӧссӧ.	Колӧ адззыны, мый ыжда перпендикуляр да бок коласын пельӧс?	Мукет дурыныз но перпендикуляр вискысь сэрегез тодоно.
9. Дан угол в 140°.	9. Сетӧма 140°-са пельӧс.	9. Сетӧм пельӧс 140° ыжда.	9. 140° сэрег сётэмын.
Через вершину его проведены две прямые, одна — перпендикулярная к одной из сторон угла, другая — перпендикулярная к другой стороне угла.	Йыв пырыс нуӧдӧма кык веськыд визь, ӧтиыс лоӧ ӧти пельӧс дорыслы перпендикулярӧн, мӧдыс — перпендикуляр мӧд дорыслы.	Сы йыв пыр нуӧтӧм кык веськыт визь, ӧтыс перпендикуляра ӧт пельӧс боклӧн, мӧдыс перпендикуляра пельӧсісь мӧд боклӧн.	Солэн йыл пыртӥз кык шонеръёс ортчытэмын, одӥгез ог пал дурызлы перпендикулярной, мукетэз мукет дурызлы перпендикулярной.
Определить угол между этими перпендикулярными прямыми.	Тӧдмавны тайӧ перпендикуляръяс костса пельӧссӧ.	Адззӧ мый ыжда лоӧ пельӧс эна перпендикуляррез коласын.	Со перпендикулярной шонеръёс куспысь сэрегез тодоно.
10. Что называется биссектрисой угла?	10. Мый шусьӧ пельӧс биссектрисаӧн?	10. Мый шусьӧ пельӧс биссектрисаӧн?	10. Сэреглэн биссектрисаез шуыса мар нимаське?
11. Дан угол в 40°50′.	11. Сетӧма 40°50′-са пельӧс.	11. Сетӧм пельӧс 40°50′.	11. 40° 50′ сэрег сётэмын.
Через вершину его проведена прямая, перпендикулярная к одной из его сторон.	Йыв пырыс нуӧдӧма веськыд визь, коді перпендикулярнӧй сійӧ ӧти дорлы.	Сы йыв пыр нуӧтӧм ӧтік бок бердӧ перпендикуляр.	Сэрег йылэз пыртӥ одӥг пал дураз перпендикулярной шонер ортчытэмын.
Определить угол между этой прямой и биссектрисой данного угла.	Тӧдмавны сетӧм пельӧс биссектриса да тайӧ веськыд визь костса пельӧссӧ.	Колӧ адззыны мый ыжда сы коласын и биссектриса коласын пельӧс.	Сётэм сэреглэн биссектрисаез но со шонер вискысь сэрегез тодоно.
§ 5. Секторные диаграммы.	5 §. Секторнӧй диаграммаяс.	§ 5. Сектора диаграммаэз.	§ 5. Сектор диаграммаос.
Мы уже рассмотрели столбчатые или прямоугольные диаграммы, рассмотрим теперь секторные диаграммы.	Ми видлалім нин столба либӧ веськыдпельӧса диаграммаяс, ӧні видзӧдлам секторнӧй диаграммаяс.	Видзӧтім ни ми столбчатӧй либо веськытпельӧса диаграммаэз, пондам видзӧтны ӧні секторнӧй диаграммаэз.	Асьмеос шонер сэрегъем яке юбо выллем диаграммаосыз учким ини, табере секторо диаграммаосыз учком.
Задача.	Задача.	Задача.	Задача.
Изобразить наглядно социальный состав учащихся данной группы в 40 учащихся, из которых детей рабочих 22, детей крестьян 14 и детей служащих 4.	Петкӧдлыны диаграммаӧн велӧдчысьяслысь социальнӧй составсӧ; группаын 40 морт, на пытшкысь рабочӧйяслӧн челядь 22, крестьяна челядь 14 да служащӧйяслӧн челядь 4.	Группаын велӧтчиссез 40, кытӧн рабочӧйезлӧн челядь 22, крестьяналӧн челядь 14 и служащӧйезлӧн 4. Эта социальнӧй состав йылісь чертитӧ диаграмма.	Группаын 40 мурт дышетскисьёс, соос пӧлысь 22 ужасьёслэн нылпиоссы, 14 кресьян нылпиос, 4 служащойёслэн нылпиоссы. Со дышетскисьёсыз улэм-вылэмзыя суредаса диаграммаен возьматоно.
Решение.	Решитӧм.	Керӧм.	Лыдъянэз.
Дети рабочих составляют 22/40 = 0,55 всего состава, или 55%	Рабочӧйяслӧн челядь 22/40 = 0,55 ставсьыс = 55%	Рабочӧйезлӧн челядь 22/40 = 0,55 быдса составись .... 55%	Ужасьёслэн нылпиоссы 22/40 = 0,55 яке 55%
„ крестьян „ 14/40 = 0,35 „ „ „ 35%	Крестьяналӧн „ 14/40 = 0,35 „ = 35%	Крестьяналӧн „ 14/40 = 0,35 „ „ .... 35%	Кресьянъёслэн 14/40 = 0,35 яке 35%
„ служащих „ 4/40 = 0,10 „ „ „ 10%	Служащӧйяслӧн „ 4/40 = 0,10 „ = 10%.	Служащӧйезлӧн „ 14/40 = 0,35 „ „ .... 10%	Служащойёслэн 4/40 = 0,10 яке 10%
Возьмем круг произвольного радиуса, например, в 5 см.	Босьтам произвольнӧй радиуса, шуам 5 см, круг.	Босьтам гӧгыль кытшӧм либо радиуса, шуам 5 см.	Эркын радиусэн котрет басьтом, кылсярысь 5 см радиусэн.
Разделим круг на 100 равных секторов по транспортиру.	Юкам кругсӧ транспортирӧн 100 ӧтгырся сектор вылӧ.	Транспортир сьӧрті гӧгыльсӧ юкам ӧтыжда 100 секторрез вылӧ.	Котретэз транспортирен 100 ог кадесь секторъёслы люком.
Угол каждого сектора будет содержать 360° : 100 = 3,6°, затем строим один сектор в 3,6° · 55 = 198°, второй в 3,6° · 35 = 126°, третий в 3,6° · 10 = 36° (рис. 83).	Быд секторлӧн пельӧсыс лоӧ 360° : 100 = 3,6°; сэсся вӧчам ӧти сектор — 3,6° · 55 = 198°, мӧдӧс — 3,6° · 35 = 126°, коймӧдӧс 3,6° · 10 = 36° (83-ӧд серпас).	Быд секторлӧн пельӧсыс лоас 360° : 100 = 3,6°, сыбӧрын строитам ӧтік сектор 3,6° · 55 = 198°, мӧдік 3,6° · 35 = 126°, куимӧт 3,6° · 10 = 36° (83 рис.).	Котькуд секторъёслэн сэрегзы 360° : 100 = 3,6° возёз, собере одӥг 3,6° · 55 = 198° сектор лэсьтӥськом, кыкетӥзэ 3,6° · 35 = 126°, куинетӥзэ 3,6° · 10 = 36° (83 сур.).
Отдельные секторы можно заштриховать разной штриховкой или выкрасить в разные цвета.	Торъя секторъяссӧ позьӧ сьӧдӧдны (штрихуйтны) разнӧй ногӧн либӧ краситны разнӧй рӧмӧн.	Секторресӧ тшӧк виззезӧн позьӧ серӧтны либо мичӧтны быд рӧмӧ.	Нимаз секторъёсыз пӧртэм тусо буяны луоз.
Такая диаграмма дает наглядную картину социального состава данной группы.	Татшӧм диаграммаыс син водзын петкӧдлӧ сетӧм группаыслысь социальнӧй составсӧ.	Сэтшӧм диаграммаыс сетӧ социальнӧй состав понда эта группаись ятнӧй картина.	Сыӵе диаграмма сётэм группалэсь улэм-вылэмзы сярысь син азьын суредэн возьматэ.
Для вычерчивания секторных диаграмм удобнее всего пользоваться кругом, предварительно разделенным на 100 равных секторов.	Секторнӧй диаграммаяс вӧчигӧн медся лӧсьыд пӧльзуйтчыны 100 ӧтгырся сектор вылӧ юкӧм кругӧн.	Секторнӧй диаграммаэсӧ буражык лоӧ чертитны гӧгыльӧн, кӧдія одзжык юкӧм ӧтыжда 100 сектор вылӧ.	Секторо диаграмма гожъян понна, нырись ик 100 ог кадесь секторъёслы люкем котретэн ужаны умой.
Такой круг называется процентным кругом.	Татшӧм кругыс шусьӧ прӧчента кругӧн.	Сэтшӧм гӧгыльыс шусьӧ процентнӧй гӧгыльӧн.	Сыӵе котрет проценто котрет шуыса нимаське.
Вместо процентного круга можно пользоваться и процентным транспортиром (рис. 84).	Прӧчента кругӧн пыдди позьӧ пӧльзуйтчыны и прӧчента транспортирӧн (84-ӧд серпас).	Процентнӧй гӧгыль туйӧ позьӧ чертитны процентнӧй транспортирӧн (84 рис.).	Проценто котрет интые, проценто транспортирез но уже кутыны луэ (84 сур.).
В таком случае дуга транспортира (полукруга) делится на 50 равных частей.	Прӧчента транспортирлӧн (кругджынлӧн) дугаыс юксьӧ 50 ӧтгырся юкӧн вылӧ.	Сэк транспортирлӧн дугаыс юксьӧ ӧтыжда 50 тор вылӧ.	Сыӵе учыре транспортирлэн букоез (ӝыны котретлэн) 50 ог кадесь люкемъёслы люкиське.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Начертить прямые АВ, СО, EF и точку М (рис. 85).	1. Чертитны веськыд визьяс, AB, CD, EF, да М чут (85-ӧд серпас).	1. Чертитӧ AB, CD, EF веськыт виззез и M чут. (85 рис.).	1. АВ, CD, EF шонер гожъёс но M точка лэсьтоно (85 сур.).
Провести через точку М прямые, перпендикулярные к первой, ко второй и к третьей прямой (с помощью треугольника).	Нуӧдны М чут пырыс веськыд визьяс, первой, мӧд да коймӧд веськыд визьяслы перпендикуляръяс (куимпельӧса отсӧгӧн).	Нуӧтӧ M чут пыр перпендикуляррез ӧтік дынӧ, мӧдік дынӧ и куимӧт визь дынӧ (чертёжнӧй куимпельӧса приборӧн).	М точка пыр нырысетӥ, кыкетӥ но куинетӥ шонеръёс доре (треугольникен ужаса) перпендикулярной шонер ортчытоно.
2. Один из двух углов составляет 50% другого.	2. Кык пельӧс пытшкысь ӧтиыс лоӧ 50% мӧдыслӧн.	2. Сетӧм кык пельӧс. Ӧтік пельӧсыс мӧдік пельӧс сьӧрті лоӧ 50% ыжда.	2. Кык сэреглэн одӥгез мукетэзлэсь 50% луэ.
Разность этих углов равна 30°.	Тайӧ пельӧсъясыслӧн разносьтыс лоӧ 30°.	Коляныс ны коласын 30° ыжда.	Со сэрегъёслэн кылемзы 30° ӵоша.
Чему равен каждый из них и чему равна их сумма?	Ыджыд-ӧ лоӧ быд пельӧс да ыджыд-ӧ лоӧ налӧн суммаыс?	Мый ыждаӧсь нія янын и мый ыжда нылӧн ӧтлас.	Соос пӧлысь котькудӥз малы ӵоша? Соослэн суммазы малы ӵоша?
Построить эти углы и их сумму.	Вӧчны тайӧ пельӧсъяссӧ да налысь суммасӧ.	Строитӧ энӧ пельӧссэсӧ и нылісь ӧтлассӧ.	Со сэрегъёсыз но соослэсь суммазэс лэсьтоно.
3. Построить произвольный угол и разделить его на 4 равные части: 1) транспортиром и 2) циркулем и линейкой.	3. Вӧчны произвольнӧй пельӧс да юкны сійӧс ӧтгырся 4 юкӧн вылӧ: 1) транспортирӧн, 2) циркульӧн да 3) линейкаӧн.	3. Строитӧ мый ыжда кӧ пельӧс да юкалӧ сійӧ ӧтыжда 4 торрез вылӧ: 1) транспортирӧн и 2) циркульӧн и линейкаӧн.	3. Эркын сэрег лэсьтоно но, сое 1) транспортирен 2) циркулен но линейкаен 4 ог кадесь люкетъёслы люконо.
4. Разделить развернутый угол пополам с помощью циркуля и линейки.	4. Юкны паськӧдӧм пельӧс шӧри циркуль да линейка отсӧгӧн.	4. Юкалӧ шӧри дзикӧдз паськӧтӧм пельӧс циркульӧн и линейкаӧн.	4. Сэрттэм сэрегез циркулен но линейкаен ужаса шори люконо.
5. Из 35 учеников группы работу по математике написали хорошо 14 человек, удовлетворительно написали 14 человек и неудовлетворительно 7 человек.	5. Группаын 35 велӧдчысь пытшкысь математикаысь удж вӧчисны хорошо вылӧ 14 морт, удовлетворительно вылӧ 14 морт да неудовлетворительно вылӧ 7 морт.	5. Группаын 35 велӧтчись. Сэтісь математика ӧддьӧн бура тӧдӧны 14 морт, удовлетворительнӧя 14, и умӧля — 7 морт.	5. 35 мурт дышетскисьёс пӧлысь математикаен ужзэс 14 мурт умой, 14 мурт — шоро-куспо, 7 мурт урод гожтӥллям.
Составить секторную диаграмму.	Вӧчны секторнӧй диаграмма.	Сы сьӧрті чертитӧ секторнӧй диаграмма.	Секторо диаграмма лэсьтоно.
6. В колхозе 1250 га земли; из них 240 га леса, 600 га пахотной земли, 400 га лугов, остальное занято под постройки и негодной землей.	6. Колхозын 1250 га му; сы пытшкысь 240 га вӧр, 600 га кӧдза му, 400 га видзьяс, мукӧдыс стрӧйбаяс улын да шогмытӧм муяс.	6. Колхозын быдӧс му 1250 га; сэтісь 240 га вӧр увтын, 600 га гӧран му, 400 га видззез, ӧстальнӧйыс постройкаэз увтын и негӧран му.	6. Колхозлэн музъемез 1250 га, соос пӧлысь 240 га нюлэс, 600 гаез гырон инты, 400 гаез возьёс, кылемез гидкуа улын но гырыны ярантэм музъем.
Составить диаграмму.	Вӧчны диаграмма.	Эта сьӧрті керӧ диаграмма.	Диаграмма лэсьтоно.
VII. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКОВ И МНОГОУГОЛЬНИКОВ.	VII. КУИМПЕЛЬӦСАЯСЛЫСЬ ДА УНАПЕЛЬӦСАЯСЛЫСЬ ПЛӦЩАДЬЯС АРТАЛӦМ	VII. КУИМПЕЛЬӦССЭЗЛІСЬ ДА УНАПЕЛЬӦССЭЗЛІСЬ ПЛОЩАДДЕЗ ЛЫДДЬӦМ.	VII. КУИНЬСЭРГООСЛЭСЬ НО ТРОССЭРГООСЛЭСЬ ПЛОЩАДЬЗЭС ЛЫДЪЯН
§ 1. Треугольник.	1 §. Куимпельӧса.	§ 1. Куимпельӧс.	§ 1. Куиньсэрго.
1. Треугольником называется часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, состоящей из трех отрезков (рис. 86).	1. Куимпельӧсаӧн шусьӧ куим вундӧга чегласьӧм визьӧн ограничитӧм плоскосьтлӧн юкӧн (86-ӧд серпас).	Куимпельӧсӧн шусьӧ плоскость тор, кӧда кутӧм куим чегӧм орӧтокӧн (86 рис).	1. Куинь вандэтлэсь луэм тӥям гожъёсын котыртэм ӵошкеслэн люкетэз куиньсэрго шуыса нимаське (86 сур.).
Отрезки АВ, ВС и СА называются сторонами треугольника, а углы А, В и С — углами треугольника.	AB, BC да CA вундӧгъяс лоӧны куимпельӧсалы доръясӧн, а A, B да C пельӧсъясыс — куимпельӧсалӧн пельӧсъяс.	Орӧтоккез AB, BC да CA, шусьӧны куимпельӧслӧн боккезӧн, а пельӧссэз A, B да C — куимпельӧслӧн пельӧссэз.	АВ, ВС но СА вандэтъёс, куиньсэрголэн дуръёсыз шуыса нимасько нош А, В но С сэрегъёс, куиньсэрголэн сэрегъёсыз шуыса нимасько.
Вершины углов называются и вершинами треугольника.	Пельӧсъяслӧн йывъясыс шусьӧны куимпельӧса йывъясӧн.	Пельӧс йыввез шусьӧны куимпельӧслӧн йыввезӧн.	Сэрегъёслэн йылъёсыз куиньсэрголэн но йылъёсыз шуиське.
У треугольника 3 стороны и 3 угла.	Куимпельӧсалӧн 3 дор да 3 пельӧс.	Куимпельӧслӧн куим бок да куим пельӧс.	Куиньсэрголэн 3, дурез но 3 сэрегез.
Слово треугольник принято обозначать знаком ∆.	«Куимпельӧса» кывсӧ пасйӧны ∆ пасӧн.	Кыв куимпельӧс босьтӧм пасъявны пасӧн ∆.	Куиньсэрго кылэз ∆ пусэн пусйыны тупатэмын.
Одну из сторон треугольника обычно называют основанием треугольника, например, СА; тогда другие две стороны называются боковыми сторонами его (АВ и ВС).	Куимпельӧсалӧн ӧти дор шусьӧ куимпельӧса подувтасӧн, шуам, CA; сэки мукӧд кык дорыс шусьӧны бокӧвӧй доръясӧн (AB да BC).	Куимпельӧслісь ӧтік бок босьтӧмась шуны куимпельӧс подӧн, шуам, CA; сэк мӧдік кык бокыс шусьӧны сылӧн боккезӧн (AB да BC).	Куиньсэрголэсь одӥгзэ дурзэ пыдэс шуыса нимало, кылсярысь СА; соку кык кылем дуръёсыз (АВ но ВС) урдэс дур шуыса нимасько.
2. Треугольник, в котором все углы острые, как на рисунке 86, называется остроугольным.	2. Куимпельӧса, кӧні став пельӧсыс ёсьӧсь (кыдзи 86-ӧд серпас вылын), шусьӧ ёсь пельӧсаӧн.	2. Куимпельӧс, кӧдалӧн быд пельӧсыс ёсяӧсь, кыдз 86 рисунок вылас, шусьӧ векнит пельӧсаӧн.	2. Куиньсэрголэн вань сэрегъёсыз 86 суредын кадь йылсоесь ке, йылсо сэрегъем куиньсэрго шуыса нимало.
Треугольник, в котором один из углов прямой, называется прямоугольным (рис. 87).	Куимпельӧсалӧн кӧ ӧти пельӧс веськыд, шусьӧ веськыд пельӧса куимпельӧсаӧн (87-ӧд серпас).	Куимпельӧс, кӧдалӧн ӧтік пельӧс веськыт, шусьӧ веськыт пельӧсаӧн (87 рис.).	Куиньсэрголэн одӥгез сэрегез шонер ке, шонер сэрегъем куиньсэрго шуыса нимаське (87 сур.).
Стороны, заключающие прямой угол, а именно СВ и СА, называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.	Веськыд пельӧс вӧчысь доръясыс — CB да CA — шусьӧны катетъясӧн, а веськыд пельӧсыслы паныда дорыс шусьӧ гипотенузаӧн.	Боккес, кӧдна керӧны веськыт пельӧс, шуам CB да CA, шусьӧны катеттэзӧн, а бокыс, кӧда куйлӧ паныт веськыт пельӧскӧт шусьӧ гипотенузаӧн.	СВ но СА, куспазы шонер сэрег пӧрмытӥсь дуръёс, катетъёс шуыса нимасько, нош шонер сэрег вадьсын кыллись дур — гипотенуза шуыса нимаське.
Треугольник, в котором один из углов тупой, называется тупоугольным (рис. 88).	Куимпельӧса, кодлӧн ӧти пельӧс тшӧтшыд, шусьӧ тшӧтшыд пельӧсаӧн (88-ӧд серпас).	Сэтшӧм куимпельӧс, кӧдалӧн ӧтік пельӧсыс ныж, шусьӧ ныж пельӧсаӧн (88 рис.).	Куиньсэрголэн одӥг сэрегез мырк сэрег ке луэ, сыӵе куиньсэрго мырк сэрегъем куиньсэрго шуыса нимаське (88 сур.).
3. Принято обозначать длину стороны АВ буквой с, так что АВ = с, точно так же ВС = a и CA = b (рис. 86).	3. AB дорлысь кузьтасӧ пасйӧны C шыпасӧн, сідзкӧ AB = c; тадзи жӧ BC = a, CA = b (86-ӧд серпас).	3. AB боклісь кузясӧ босьтӧм пасйыны c шыпасӧн, сідз што AB = c; сідз жӧ BC = а и CA = b (86 рис.);	3. AB дурез с букваен гожтыны тупатэмын, соку AB = c, озьы ик ВС = а но СА = b (86 сур.).
Значит, в прямоугольном треугольнике (рис. 87) длина катетов будет обозначаться буквами а и b, а длина гипотенузы буквой с.	Сідзкӧ, веськыд пельӧса куимпельӧсаын (87-ӧд серпас) катетъясыслӧн кузьтаыс кутас пасйыссьыны a да b шыпасъясӧн, а гипотенузалӧн кузьтаыс c шыпасӧн.	катеттэзлӧн кузяыс пондас пасъясьны а да b шыпассэзӧн, а кузя гипотенузалӧн c шыпасӧн.	Озьы бере шонер сэрегъем куиньсэргоын (87 сур.) катетъёсызлэн кузьдалазы с а но b букваосын, гипотенузаезлэн кузьдалаез с букваен гожтӥськозы.
Следует заметить, что против стороны с лежит ∠С, против стороны а лежит ∠А и против стороны b лежит ∠В.	Колӧ шуны, мый c дорлы паныда лоӧ ∠C, a дорлы паныда лоӧ ∠A, b дорлы паныда лоӧ ∠B.	Колӧ висьтавны, што c бок паныт куйлӧ ∠C и b бок паныт куйлӧ ∠B и а бок паныт куйлӧ ∠A.	Чакланы кулэ, c дур вадьсын ∠C, а дур вадьсын ∠A, b дур вадьсын ∠В кыллё.
4. Проведем в треугольнике АВС из вершины В к его основанию перпендикуляр ВD (рис. 89).	4. Нуӧдам ABC куимпельӧсаын B йывсяньыс подувтасыслы перпендикуляр BD (89-ӧд серпас).	4. ABC куимпельӧсын B йывсянь сы подӧ нуӧтам перпендикуляр BD (89 рис.).	4. АВС куиньсэрголэн В йылысеныз солэн пыдэсаз BD перпендикуляр ортчытом (89 сур.).
Перпендикуляр ВD является высотою треугольника.	BD перпендикулярыс лоӧ куимпельӧсалӧн судта.	BD перпендикуляр лоас куимпельӧслӧн сувда.	BD перпендикуляр — куиньсэрголэн ӝуждалаез луэ.
Таким же образом можно провести высоты и из вершин A и С.	Тадзи жӧ позьӧ нуӧдны судтаяс (перпендикуляръяс) A да C йывъяссянь.	Сідз жӧ туйӧ нуӧтны сувдаэз и A да C йывсянь.	Озьы ик А но С йылъёсысен но ӝуждала ортчытыны луоз.
В треугольнике могут быть проведены 3 высоты.	Куимпельӧсаын позьӧ нуӧдны 3 судта.	Куимпельӧсын позьӧ нуӧтны сувдаэз 3-ӧ.	Куиньсэргоын куинь ӝуждала ортчытыны луэ.
В прямоугольном треугольнике катеты являются его высотами (рис.	Веськыд пельӧса куимпельӧсаын катетъясыс лоӧны сылы судтаясӧн (90-ӧд серпас);	Веськытпельӧса куимпельӧсын катеттэз лоӧны сылӧн сувдаэзӧн (90 рис.);	Шонер сэрегъем куиньсэргоын катетъёсыз солэн ӝуждалаосыз луо (90 сур.);
90); катет ВС — высота к основанию СА и катет СА — высота к основанию ВС; из вершины прямого угла проводится к основанию АВ, т. е. к гипотенузе, третья высота СD.	BC катет лоӧ AC подувтаслы судта, а CA катет лоӧ BC подувтаслы судта; веськыд пельӧс йывсяньыс AB подувтас вылӧ — гипотенуза вылӧ — нуӧдсьӧ коймӧд судта — CD.	BC — катет сувда CA под дынӧ, а катет CA сувда BC под дынӧ; веськыт пельӧс йывсяняс AB под дынӧ, гипотенуза дынӧ, веськыта нуӧтсьӧ куимӧт сувда — CD.	ВС катет СА пыдэслы ӝуждала луэ, СА катет ВС пыдэслэн ӝуждалаез; шонер сэрег йылысь АВ пыдэс доре, мукет сямен гипотенуза доре, куинетӥ ӝуждала СА ортче.
В тупоугольном треугольнике (рис. 91) из вершины A проводится перпендикуляр только к продолжению основания ВС за вершину С;	Тшӧтшыд пельӧса куимпельӧсаын (91-ӧд серпас) A йывсяньыс перпендикуляр нуӧдсьӧ сӧмын BC подувтассӧ C йыв саяс нюжӧдӧм бӧрын;	Ныжпельӧса куимпельӧсын (91 рис.) A йывсянь нуӧтсьӧ перпендикуляр токо BC под содтӧт дынӧ C йыв сайӧ;	Мырк сэрегъем куиньсэргоын (91 сур.) А йылысь ВС гожез С сьӧре кузятэм дорозь перпендикуляр ортчытӥське.
точно так же и из вершины В можно провести высоту только к продолжению стороны АС за вершину С.	сідз жӧ и B йывсянь судтасӧ позьӧ нуӧдны сӧмын AC дорсӧ C йыв саяс нюжӧдӧм бӧрын.	сідз жӧ позьӧ нуӧтны сувда токо AC бок содтӧт дынӧ C йыв сайӧ.	Озьы ик В йылысь АС гожез С сьӧре кузятэм дорозь гинэ ӝуждала ортчытыны луэ.
Третью же высоту можно провести из вершины С непосредственно к стороне АВ.	Коймӧд судтасӧ позьӧ нуӧдны C йывсянь AB дор вылас.	Куимӧт сувдасӧ позьӧ нуӧтны C йывсянь веськыта AB бок дынӧ.	Куинетӥ ӝуждалазэ С йылысь АВ дур доре ортчытыны луоз.
Следует обратить внимание на то, что все три высоты пересекаются в одной точке.	Колӧ торйӧн урчитны, мый став куимнан судтаыс вомӧнасьӧны ӧти чутын.	Колӧ тіянлӧ висьтавны, што быдӧн куим сувда крестасьӧны ӧтік чутын.	Куинезлэсь ик ӝуждалаослэсь одӥг точкаын ик вожвылскемзэ чакланы кулэ.
В остроугольном треугольнике (рис. 89) точка пересечения высот лежит внутри треугольника (точка О).	Ёсь пельӧса куимпельӧсаын (89-ӧд серпас) судтаясыслӧн вомӧнасян чутыс лоӧ куимпельӧса пытшкас (O чут).	Векнитпельӧса куимпельӧсын (89 рис.) сувдаэзлӧн крестасян чут куйлӧ куимпельӧс пытшкын (O чутын).	Йылсо сэрегъем куиньсэргоын (89 сур.) ӝуждалаосызлэн вожвылскон точказы куиньсэрголэн пушказ кылле (О точка).
В прямоугольном треугольнике она совпадает с вершиной С прямого угла (рис. 90), а в тупоугольном треугольнике (рис. 91) она лежит вне треугольника.	Веськыд пельӧса куимпельӧсаын сійӧ вевсяасьӧ веськыд пельӧс C йывкӧд (90-ӧд серпас), а тшӧтшыд пельӧса куимпельӧсаын сійӧ лоӧ куимпельӧса саяс, ортсын (91-ӧд серпас).	Веськытпельӧса куимпельӧсын сія усьӧ ӧтлаӧ веськыт пельӧс C йывкӧт (90 рис.), а ныжпельӧса куимпельӧсын (91 рис.) сія куйлӧ куимпельӧс сайын.	Шонер сэрегъем куиньсэргоын, со шонер сэреглэн С йылэныз тупа (90 сур.), нош мырк сэрегъем куинь сэрегоын (91 суред) педпалаз кылле.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Что называется треугольником?	1. Мый шусьӧ куимпельӧсаӧн?	1. Мый шусьӧ куимпельӧсӧн?	1. Мае куиньсэрго шуыса нимало?
2. Сколько у треугольника сторон? углов?	2. Кымын дор, кымын пельӧс куимпельӧсалӧн?	2. Кыным куимпельӧслӧн бок? Кыным пельӧс?	2. Куиньсэрголэн кӧня дурез? Сэрегез?
3. Какой треугольник называется прямоугольным? тупоугольным?	3. Кутшӧм куимпельӧса шусьӧ веськыд пельӧсаӧн? тшӧтшыд пельӧсаӧн?	3. Кытшӧм куимпельӧс шусьӧ веськытпельӧсаӧн? Ныжпельӧсаӧн?	3. Кыӵе куиньсэрго шонер сэрегъем шуыса нимаське? мырк сэрегъем?
4. Как называются стороны прямоугольного треугольника?	4. Кыдзи шусьӧны доръясыс веськыд пельӧса куимпельӧсалӧн?	4. Кыдз шусьӧны веськытпельӧса куимпельӧслӧн боккез?	4. Шонер сэрегъем куиньсэрголэн дуръёсыз кызьы нимасько?
5. Что называется высотою треугольника?	5. Мый шусьӧ судтаӧн куимпельӧсаын?	5. Мый шусьӧ куимпельӧслӧн сувдаӧн?	5. Куиньсэрголэн ӝуждалаез шуыса мар нимаське?
6. Сколько высот можно провести в треугольнике?	6. Кымын судта позьӧ нуӧдны куимпельӧсаын?	6. Кынымӧ сувдаэсӧ туйӧ нуӧтны куимпельӧсын?	6. Куиньсэргоын кӧня ӝуждала ортчытыны луэ?
7. Построить тупоугольный треугольник и провести все три высоты его.	7. Вӧчны тшӧтшыд пельӧса куимпельӧса да нуӧдны сэні куимнан судтасӧ.	7. Керны ныжпельӧса куимпельӧс да нуӧтны сылісь куимнан сувдасӧ.	7. Мырк сэрегем куиньсэрго лэсьтоно но, солэсь вань куинь ӝуждалаоссэ ик гожтоно.
Продолжить высоты до их взаимного пересечения.	Нуӧдны судтаяссӧ мӧда-мӧдныскӧд вомӧнасьтӧдз.	Нюжӧтӧ сувдасӧ ны ӧтамӧд крестасьӧм дынӧдз.	Соослэсь ӝуждалаоссэс ваче вожвылскытозязы ортчытоно.
§ 2. Площадь треугольника и многоугольника.	2 §. Куимпельӧсалӧн да унапельӧсалӧн плӧщадь.	§ 2. Куимпельӧслӧн да уна пельӧслӧн площадь.	§ 2. Куиньсэрголэн но троссэрголэн площадез.
1. На рисунке 92 дан прямоугольник ABCD и A₁B₁C₁D₁ квадрат.	1. 92-ӧд серпас вылын сетӧма веськыдпельӧса ABCD да квадрат A₁B₁C₁D₁.	1. 92 рисунок вылын сетӧм ABCD веськыт пельӧс да A₁B₁C₁Д₁ квадрат.	1. 92 суредын ABCD прямоугольник но A₁B₁C₁D₁ квадрат сётэмын.
В каждом из них проведена прямая, соединяющая вершины двух противолежащих углов: АС и A₁C₁.	Кыкнанас нуӧдӧма веськыд визь, коді ӧтлаалӧ кык паныда пельӧсъясыслысь йывъяссӧ: AC да A₁C₁.	Быдын ныын нуӧтӧм веськыт визь, кӧда ӧтлаалӧ кык ордчӧн куйлан пельӧссэзлісь йыввесӧ: AC да А₁C₁.	Котькудаз соослэн кык ваче пумит сэрегъёссэс огазеясь АС но B₁D₁ шонер гож ортчытэмын.
Прямые эти называются диагоналями.	Тайӧ веськыд визьясыс шусьӧны диагональясӧн.	Эна веськыт виззез шусьӧны диагоналлезӧн.	Со шонер гожъёс диагональ шуыса нимасько.
Если вырезать прямоугольник (или квадрат) и разрезать его по диагонали, то получим два равных треугольника: они при наложении совпадают.	Вундыны кӧ доръясӧдыс веськыдпельӧсасӧ (либӧ квадратсӧ) да сэсся вундыны сійӧс диагональӧдыс, миян лоӧ кык ӧтыджда куимпельӧса: мӧда-мӧд вылас пуктігӧн найӧ вевсяасьӧны.	Вундыштны кӧ веськыт пельӧссӧ (либо квадратсӧ) диагональ кузя, сэк лоасӧ кык ӧтыжда куимпельӧс.	Прямоугольник (яке квадрат) вандыса, соосыз диагональ кузяз шори вандыса, кык ог кадесь куиньсэргоос шедьтом; соосыз огзы вылэ огзэс поныса ваче тупало.
Диагональ прямоугольника (или квадрата) делит его на два равных треугольника.	Веськыдпельӧсалӧн (либӧ квадратлӧн) диагональыс юкӧ сійӧс кык ӧтыджда куимпельӧса вылӧ.	Веськыт пельӧслӧн (либо квадратлӧн) диагональ юкӧ сійӧ кык ӧтыжда куимпельӧс вылӧ.	Прямоугольниклэн (яке квадратлэн) диагоналез, сое кык ог кадесь куиньсэрголы люке.
Следовательно, площадь ∆АВС = площади ∆ADC = пл. □ АВСВ / 2.	Сідзкӧ, ABC∆ плӧщадь = ADC∆ плӧщадьлы = ABCD пл. / 2.	ABC ∆ площадь = ADC ∆ площадькӧт = ABСD □ пл. / 2.	Озьы бере, ∆АВС площадез = ∆ADC площадьлы = пл. □ АВСВ / 2.
2. На рисунке 93 изображены 6 прямоугольных треугольников.	2. 93-ӧд серпас вылын петкӧдлӧма 6 веськыд пельӧса куимпельӧса.	2. 93 рисунок вылын мыччалӧмась 6 веськытпельӧса куимпельӧс.	2. 93 суредын шонер сэрегъем 6 куиньсэргоос возьматэмын.
Все они дополнены до прямоугольников, и каждый из прямоугольников таким образом состоит из двух равных треугольников.	Найӧс ставнысӧ содтӧма веськыдпельӧсаясӧдз, да быд веськыдпельӧсаын лоӧма кык ӧтыджда куимпельӧса.	Быдӧнныс нія содтӧмась веськыт пельӧсӧдз, а сійӧн лоӧ, быд веськыт пельӧс, керӧм кык ӧтыжда куимпельӧсісь.	Ваньзы ик соос прямоугольникозь тырмытэмын, озьы котькудӥз прямоугольникъёс кык ог кадесь куиньсэргоослэсь луо.
Если площадь прямоугольника равна а · b, то площадь прямоугольного треугольника равна 1/2 ab, т. е. половине произведения основания на высоту (или половине произведения катетов).	Веськыдпельӧсалӧн кӧ плӧщадьыс лоӧ a · b, сэк веськыд пельӧса куимпельӧсалӧн плӧщадьыс лоӧ ½ ab, мӧд ног кӧ, подувтассӧ судта вылӧ ӧктӧмысь лоан джын произведенньӧ ыджда (либӧ катетъясысь лоан джын произведенньӧ ыджда).	Веськыт пельӧслӧн кӧ площадьыс a · b ыжда, сэк веськытпельӧса куимпельӧслӧн площадьыс лоӧ ab ½ ыжда, мӧднёж: под сувда вылӧ ӧксян джын (либо катеттэзлӧн ӧксян джын).	Прямоугольниклэн площадез а · b ӵоша ке, соку шонер сэрегъем куиньсэрголэн площадез ½ab ӵоша, мукет сямен, пыдэссэ ӝуждалаезлы уноямлэн ӝыныезлы ӵоша (яке катетъёслэн произведениезлэн ӝыныезлы).
abu	abu	S ∆ = аb ½.	S∆ = ½ab.
3. На рисунке 94 мы имеем три остроугольных треугольника, в каждом из которых проведено по одной высоте.	3. 94-ӧд серпас вылын миян лоӧ куим ёсь пельӧса куимпельӧса, быд куимпельӧсаын нуӧдӧма ӧти судта.	3. 94 рисунок вылын эмӧсь куим векнитпельӧса куимпельӧс, кӧдналӧн быдӧнныслӧн нуӧтӧм ӧтік сувдаӧн.	3. 94 суредысь асьмелэн куинь йылсо сэрегъем куиньсэргоосмы вань, отын котькудаз быдэн одӥг ӝуждалаос ортчытэмын.
Этой высотой треугольник делится на два прямоугольных треугольника, каждый из которых дополнен до прямоугольника.	Тайӧ судтанас куимпельӧсаыс юксьӧ кык веськыд пельӧса куимпельӧса вылӧ, быд веськыд пельӧса куимпельӧсаӧс содтӧма веськыдпельӧсаӧдз.	Эта нуӧтӧм сувдаэзӧн куимпельӧссэз юкасьӧны кык веськытпельӧса куимпельӧс вылӧ, ныись быдыс содтӧм веськытпельӧс дынӧдз.	Со ӝуждалаен куиньсэрго кык шонер сэрегъем куиньсэргоослы люкиське, соос пӧлысь котькудӥз прямоугольникозь будэтэмын.
Площадь одного из них составляет половину площади одного прямоугольника, площадь другого — половину площади другого прямоугольника;	Ӧти куимпельӧсаыслӧн плӧщадьыс лоӧ ӧти веськыдпельӧса плӧщадь джын ыджда, мӧдыслӧн — мӧд веськыдпельӧса плӧщадь джын ыджда;	Площадьыс ӧтіклӧн ны коласісь, эм ӧтік веськытпельӧс площадьлӧн джын, мӧдіклӧн площадь — площадь джын мӧдік веськытпельӧслӧн;	Соос пӧлысь одӥгезлэн площадез одӥгезлэн прямоугольниклэн ӝыны площадезлы ӵоша, мукетэзлэн площадез мукет прямоугольникезлэн ӝыны площадезлы ӵоша.
площадь треугольника составляет половину площади прямоугольника с основанием, равным основанию треугольника, и высотою, равною высоте треугольника.	куимпельӧсалӧн плӧщадьыс лоӧ веськыдпельӧса плӧщадь джын ыджда, кодлӧн (веськыдпельӧсаыслӧн) подувтасыс ӧтыджда куимпельӧса подувтаскӧд, а судтаыс ӧтыджда куимпельӧса судтакӧд.	куимпельӧслӧн площадь лоӧ веськытпельӧслӧн джын площадь подыс, да сувдаыс куимпельӧс подкӧт да сувдакӧт ӧтыждаӧсь.	Прямоугольниклэн пыдэсэз но ӝуждалаез куиньсэрголэн пыдэсэныз но ӝуждалаеныз ог кадесь ке; со куиньсэрголэн площадез прямоугольниклэн ӝыны площаденыз ог кадь луэ.
Итак: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.	Тадз: куимпельӧсалӧн плӧщадьыс равняйтчӧ подувтассӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан джын произведенньӧлы.	И сідз: куимпельӧслӧн площадь лоӧ сылӧн под сувда вылӧ ӧксян джын	Озьы: куиньсэрголэн площадез — ӝуждалазэ пыдэсэзлы уноям произведенилэн ӝыныезлы ӵоша.
abu	S∆ = ½ab.	S ∆ = аb ½.	abu
4. Возьмем, наконец, тупоугольный треугольник АВС (рис. 95), проведем его высоту AD.	4. Босьтам сэсся тшӧтшыд пельӧса куимпельӧса ABC (95-ӧд серпас), нуӧдам сылысь судтасӧ — AD.	4. Медбӧрын босьтам ныжпельӧса ABC куимпельӧс (95 рис), нуӧтам сылісь сувда AD.	4. Мырк сэрегъем куиньсэрго АВС (95 сур.) басьтыса, AD ӝуждалазэ ортчытом.
Треугольник ABD — прямоугольный, треугольник ACD — тоже прямоугольный.	Куимпельӧса ABD — веськыд пельӧса, куимпельӧса ACD — сідзжӧ веськыд пельӧса.	ABD куимпельӧс — веськытпельӧса. АCD куимпельӧс — тожӧ веськытпельӧса.	ABD куиньсэрго шонер сэрегъем луэ, ACD но озьы ик шонер сэрегъем.
Если от площади треугольника ABD отнять площадь треугольника ACD, то останется площадь треугольника АВС.	ABD куимпельӧса плӧщадьсьыс кӧ чинтыны ACD куимпельӧсалысь плӧщадьсӧ, кольӧ ABC куимпельӧсалӧн плӧщадь.	ABD куимпельӧс площадь дынісь кӧ босьтны АCD куимпельӧслісь площадь, сэк кольччас площадь ABC куимпельӧслӧн	ABD куиньсэрголэсь площадьысьтыз ACD куиньсэрголэсь площадьзэ куштыса, АВС куиньсэрголэн площадез кылёз, на.
SABD − SACD = SABC.	SABD − SACD = SABC	Sabc= Sabd - Sacd.	SABC = SABD − S ACD
Но площадь треугольника ABD равна половине площади прямоугольника AFBD и площадь треугольника ACD равна половине площади прямоугольника AECD.	Но ABD куимпельӧсалӧн плӧщадьыс лоӧ AFBD веськыдпельӧса плӧщадь джын ыджда, а ACD куимпельӧсалӧн плӧщадьыс AECD веськыдпельӧса плӧщадь джын ыджда.	ABD куимпельӧслӧн площадь лоӧ AFBD веськытпельӧслӧн джын площадь, а АCD куимпельӧслӧн площадь лоӧ AECD веськытпельӧслӧн джын площадь.	Нош ABD куиньсэрголэн площадез AFBD прямоугольниклэн ӝыны площадезлы ӵоша, ACD куиньсэрголэн площадез AECD прямоугольниклэн ӝыны площадезлы ӵоша.
Значит, площадь треугольника ABC равна полуразности площадей прямоугольников AFBD и AECD, иначе — половине площади прямоугольника BCEF, стороны которого а и b.	Сідзкӧ ABC куимпельӧсалӧн плӧщадьыс лоӧ AFBD да AECD веськыдпельӧса плӧщадьяс разносьт джын ыджда, мӧд ногӧн кӧ, BCEF веськыдпельӧса плӧщадь джын ыджда, кодлӧн (веськыдпельӧсаыслӧн) доръясыс a да b.	А сійӧн, ABC куимпельӧслӧн площадь ӧтыждасьӧ AFBD да АFCD веськытпельӧс площаддез джын колянӧ, мӧднёж: BCЕF веськытпельӧс джын площадьӧ, боккес кӧдалӧн а да b.	Озьыен АВС куиньсэрголэн площадез AFBD но AECD прямоугольникъёслэн кылемзылэн ӝыны площадезлы ӵоша, мукет сямен, а но b дуро BCEF прямоугольниклэн ӝыны площадезлы.
Запишем это так:	Гижам тайӧс тадзи:	Гижам этӧ сідз:	Сое тазьы гожтом:
SABD = ½ S AFBD	SABD = ½ S AFBD	S ABD = ½ S AFBD	SABD = ½ S AFBD
SACD = ½ SAECD	SACD = ½ SAECD	S АCD = ½ S AECD	SACD = ½ SAECD
SABD − SACD = ½(SAFBD − SAECD)	SABD − SACD = ½(SAFBD − SAECD)	S ABD −S АCD = ½ (S AFBD − S AECD)	SABD − SACD = ½(SAFBD − SAECD)
или:	либӧ:	Либо:	яке:
SABC = ½ SBCEF = ½ ab.	SABC = ½ SBCEF = ½ ab.	S ABC = ½ S BCЕF = ½ аb.	SABC = ½ SBCEF = ½ ab.
Во всех трех случаях площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.	Куимнан случаяс куимпельӧсалӧн плӧщадьыс равняйтчӧ подувтассӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан джын произведенньӧлы.	Быдӧн куимнан кадас куимпельӧслӧн площадь лоӧ сылӧн под сувда вылӧ ӧксян джын.	Ваньмаз ик куинь учыръёсын куиньсэрголэн площадез ӝуждалазэ пыдэсызлы уноям произведенилэн ӝыныезлы ӵоша.
S∆ = ½ a·b (кв. единиц).	S∆ = ½ a·b (кв. единица)	S∆ = ½ а·b (кв. ӧтса).	S∆ = ½ a · b (кв. единицаос).
5. Всякий многоугольник, например ABCDEF, можно разбить диагоналями, как показано на рисунке 96, на треугольники.	5. Быд унапельӧсаӧс, шуам ABCDEF, позьӧ торйӧдлыны диагональясӧн, кыдзи петкӧдлӧма 96-ӧд серпас вылын, куимпельӧсаяс вылӧ.	5. Быд унапельӧс, шуам ABCDEF, туйӧ торйӧтны диагоналлезӧн, кыдз мыччалӧм 96 рисунок вылын, куимпельӧссэз вылӧ.	5. Котькыӵе троссэрго, кылсярысь ABCDEF 96 суредын возьматэм сямен, диагональёсын куиньсэргоослы люкылыны луоз.
Следовательно, измерив диагонали и соответствующие высоты треугольников, мы можем вычислить площади всех треугольников и, взяв сумму их площадей, мы найдем площадь многоугольника.	Сідзкӧ, куимпельӧсаясыслысь диагональяссӧ да судтаяссӧ мурталӧмӧн ми вермам артавны плӧщадьяссӧ став куимпельӧсаясыслысь, а сэсся корсьны налысь суммасӧ, сійӧ и лоӧ унапельӧсалӧн плӧщадьыс.	Меряйтам кӧ диагоналлез да быдкодь куимпельӧссэзлісь сувдаэсӧ мийӧ вермам лыддьыны быд куимпельӧслісь площаддез, да босьтам кӧ ны площаддезісь ӧтлассӧ мийӧ адззам унапельӧслісь площадь.	Озьы бере куиньсэргоослэсь диагональёссэ но кулэ тупась ӝуждалаоссэ мертаса асьмеос вань куиньсэргоослэсь площадьёссэс лыдъяны быгатом, собере со куиньсэргоослэсь площадьёссэс басьтыса асьмеос троссэрголэсь но площадьзэ шедьтом.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Чему равна площадь треугольника?	1. Мыйлы равняйтчӧ куимпельӧсалӧн плӧщадьыс?	1. Мый ыжда лоӧ куимпельӧслӧн площадь?	1. Куиньсэрголэн площадез малы ӵоша?
2. Участок земли имеет форму четырехугольника ABCD (рис. 97), углы которого В и D — прямые.	2. Му пласт ABCD нёльпельӧса формаа (97-ӧд серпас), B да D пельӧсъясыс сылӧн веськыдӧсь.	2. Му участок видзӧ ABCD (97 рис.) нёльпельӧслісь форма, B да D пельӧссэс кӧдалӧн — веськытӧсь.	2. Музъем участок ABCD ньыль сэрегъем тусо (97 сур.), солэн В но D сэрегъёсыз — шонересь.
Стороны его: АВ = 560 м, ВС = 330 м, CD = 160 м и AD = 630 м.	Доръясыс сылӧн: AB = 560 м, BC = 330 м, CD = 160 м да AD = 630 м.	Сылӧн боккез: AB = 560 м, BC = 330 м, CD = 160 м и AD = 630 м.	Солэн дуръёсыз АВ = 560 м, ВС = 330 м, CD = 160 м но AD = 630 м.
Вычислить площадь этого участка.	Артавны плӧщадьсӧ тайӧ му пластыслысь.	Колӧ адззыны эта участоклісь площадь.	Со участоклэсь площадьзэ лыдъяно.
3. Начертить какой-нибудь треугольник; измерить его стороны.	3. Чертитны кутшӧмкӧ куимпельӧса; муртавны сылысь доръяссӧ.	3. Чертитны кытшӧм-либо куимпельӧс; меряйтны сылісь боккез.	3. Кыӵе ке но куиньсэрго лэсьтыса, солэсь дуръёссэ мертано.
Провести его высоты; измерить их и найти затем площадь треугольника, принимая последовательно одну из сторон его за основание, затем другую и третью.	Нуӧдны сылысь судтаяссӧ; муртавны найӧс, сэсся корсьны плӧщадьсӧ куимпельӧсаыслысь, подувтас пыддиыс босьтны войдӧр кутшӧмкӧ ӧти дорсӧ, сэсся мӧдсӧ, сэсся коймӧдсӧ.	Нуӧтны сылісь сувда; меряйтны нійӧ, а сыбӧрын адззыны площадь, куимпельӧслісь сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн босьтӧмӧн ӧтікӧ боккезсис под туйӧ, сыбӧрын мӧдік бок и куимӧт бок.	Солэсь ӝуждалаоссэ ортчытоно; мертано соосыз но собере куиньсэрголэсь бӧрсе-бӧрсе одӥг дурзэ пыдэс интые басьтыса, собере кыкетӥзэ но куинетӥзэ площадьзэ шедьтоно.
Сравнить между собою результаты вычислений.	Ӧтластитны мӧда-мӧдыскӧд арталӧм результатъяссӧ.	Сыбӧрын лыддьӧм результаттэсӧ ордчӧн сувтӧтны.	Лыдъямлэсь результатъёссэ куспазы ӵошатоно.
4. Найти площадь треугольника, основание которого равно 3,5 м и высота равна 3,5 м.	4. Корсьны плӧщадьсӧ куимпельӧсалысь, подувтасыс кӧ сылӧн 3,5 м, судтаыс — 3,5 м.	4. Адззыны куимпельӧслісь площадь, подыс кӧдалӧн 3,5 м и сувдаыс 3,5 м.	4. Ӝуждалаез 3,5 м но пыдэсэз 3,5 м ӵошась куиньсэрголэсь площадьзэ шедьтоно.
5. Площадь треугольника равна 16,5 м².	5. Куимпельӧсалӧн плӧщадьыс 16,5 м².	5. Куимпельӧслӧн площадь лоӧ 16,5 м².	5. Куиньсэрголэн площадез 16,5 м² ӵоша.
Высота его равна 4,4 м.	Судтаыс сылӧн 4,4 м.	Сувда сылӧн 4,4 м.	Ӝуждалаез солэн 4,4 м.
Найти его основание.	Корсьны сылысь подувтассӧ.	Адззӧ сылісь под.	Пыдэссэ шедьтоно.
6. Треугольник и квадрат равновелики (т, е. площади их одинаковы); сторона квадрата равна 4,8 м, сторона треугольника равна 6,4 м.	6. Куимпельӧса да квадрат ӧтгырсяӧсь (плӧщадьясыс налӧн ӧтыдждаӧсь); квадратыслӧн дорыс 4,8 м, куимпельӧсалӧн дорыс — 6,4 м.	7. Квадрат да куимпельӧс ӧтыждаӧсь (площаддез ӧтыждаӧсь); квадратлӧн бокыс 4,8 м кузя, куимпельӧслӧн бокыс 6,4 м кузя.	6. Квадрат но куиньсэрго ог быдӟаесь (мукет сямен, соослэн площадьёссы ог кадесь), квадратлэн дурез 4,8 м, куиньсэрголэн дурез 6,4 м.
Найти высоту треугольника, соответствующую данной его стороне.	Корсьны куимпельӧсалысь сетӧм дорыслы соответствуйтысь судтасӧ.	Адззӧ куимпельӧслісь сувда, сы бок сетӧм сьӧрті.	Куиньсэрголэсь солэн дуръёсызлы тупась ӝуждалазэ шедьтоно.
VIII. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.	VIII. ВЕСЬКЫД ПРИЗМАЛӦН ВЕРКӦС ДА ОБЪЁМ.	VIII. ВЕСЬКЫТ ПРИЗМАЛӦН ОБЪЁМ ДА ВЕВДӦР.	VIII. ШОНЕР ПРИЗМАЛЭН ОБЪЁМЕЗ НО ВЫЛТЫРЕЗ.
§ 1. Поверхность прямой треугольной призмы.	1 §. Куимпельӧса веськыд призмалӧн веркӧс.	§ 1. Веськыт куимпельӧса призмалӧн вевдӧр.	§ 1. Шонер куиньсэрегъем призмалэн вылтырез.
На рисунке 98 дан прямоугольный параллелепипед, или брус, т. е. шестигранник, боковые грани которого — прямоугольники, а основания (A₁B₁C₁D₁ и A₂B₂C₂D₂) — равные прямоугольники.	98-ӧд серпас вылын сетӧма веськыд пельӧса параллелепипед, либӧ квайт граня брус; бок граньясыс сылӧн веськыдпельӧсаяс, а подувтасъясыс (A₁B₁C₁D₁ да A₂B₂C₂D₂) — ӧтыджда веськыдпельӧсаяс.	98 рисунок вылын сетӧм веськытпельӧса параллелепипед, либо брус, кватьграня, бокись граньыс кӧдалӧн — веськыт пельӧс, а поддэс (A₁B₁C₁D₁ да A₂B₂C₂D₂) — тшӧтшӧтӧм веськыт пельӧссэз.	98 суредын шонер сэрегъем параллелепипед сётэмын, яке брус, мукет сямен куать гранё, солэн урдэс граньёсыз прямоугольникъёс, пыдэсъёсыз нош (A₁B₁C₁D₁ но A₂B₂C₂D₂) — ог кадесь прямоугольникъёс.
Проведем диагонали оснований D₁B₁ и D₂B₂ и представим себе, что параллелепипед разрезан по заштрихованной плоскости пополам.	Нуӧдам подувтасъясас диагональяс — D₁B₁ да D₂B₂ — да мӧвпыштам, быттьӧкӧ параллелепипедсӧ сьӧдӧдӧминтіыс вундӧма шӧри.	Нуӧтам под диагоналлез D₁B₁ да D₂B₂ да кыдз бы думайтам, што параллелепипед тшӧк визя плоскость кузя шӧри вундыштӧм.	Пыдэсъёсазы D₁B₁ но D₂B₂ диагональёс ортчытом но параллелепипед сьӧдмам ӵошкесэтӥ шори вандэмын шуыса чаклалом.
Полученные части называются треугольными прямыми призмами, и каждая из них составляет половину параллелепипеда.	Лоӧм юкӧнъясыс — куим пельӧса веськыд призмаяс, быд призма лоӧ параллелепипедыслӧн джынйыс.	Лоӧм торрез шусьӧны куимпельӧса веськыт призмаэзӧн, быдыс ныись лоӧ параллелепипедлӧн джын.	Шедьтэм люкетъёс куиньсэрегъем шонер призмаос шуыса нимасько, соос пӧлысь котькудӥз параллелепипедлэсь ӝынызэ кылдыто.
Основаниями обеих призм служат прямоугольные треугольники, а боковые грани их — прямоугольники.	Кыкнан призмаыслӧн подувтасъясыс лоӧны веськыд пельӧса куимпельӧсаяс, а бокӧвӧй граньясыс налӧн — веськыдпельӧсаяс.	Кыкнан призма поддэзын эмӧсь веськытпельӧса куимпельӧссэз, а нылӧн бокись граннез веськыт пельӧссэз.	Кыкезлэн ик призмаослэн пыдэсъёссы шонер сэрегъем куиньсэргоос луо, нош соослэн урдэс граньёссы — прямоугольникъёс.
Сумма площадей боковых граней (прямоугольников) называется боковой поверхностью призмы; если к ней прибавить площади обоих оснований, то мы получим полную поверхность призмы.	Бокӧвӧй грань плӧщадьяслӧн (веськыдпельӧсаяслӧн) суммаыс шусьӧ призма бокӧвӧй веркӧсӧн; содтыны кӧ сы дінӧ кыкнан подувтасыслысь плӧщадьяссӧ, миян лоӧ тыр веркӧс призмалӧн.	Бокся граннезлӧн (веськыт пельӧссэзлӧн) площадь ӧтласыс шусьӧ призмалӧн бокся вевдӧрӧн; содтыны кӧ кыкнан подлісь площаддез, сэк миян лоас призмалӧн быдса вевдӧр.	Урдэс граньёслэн прямоугольникъёслэн площадьёссылэн суммазы призмалэн урдэс вылтырез шуыса нимаське; со вылэ кык пыдэсэзлэсь ик площадьёссэс огазеям ке, соку асьмеос призмалэсь быдэс вылтырзэ шедьтом.
Обозначив три измерения параллелепипеда через а, b и с, диагональ через d, мы таким образом будем иметь: боковая поверхность призмы равна: ah + bh + dh = (a + b + d) · h = P · h, где P — периметр основания призмы, a H — высота призмы; полная поверхность призмы равна: (a + b + d) h + ab.	Пасъям параллелепипедлысь куим (A₁B₁, A₁D₁ да A₁A₂) муртассӧ a, b да h шыпасъясӧн, диагональсӧ (B₁D₁) — d шыпасӧн, миян лоӧ: призмалӧн бокӧвӧй веркӧс: ah + bh + dh = (a + b + d) · h = P · h, кӧні P — призма подувтаслӧн периметр, а h — призмалӧн судта; тыр веркӧсыс призмалӧн: (a + b + d) h + ab.	Параллелепипедлісь куимнан мерасӧ пасъям кӧ a, b да c пассэз пыр, а диагональсӧ d пас пыр, сэк миян призмалӧн бокся вевдӧр лоас: аh + bh + dh = (а + b + d) · с = P · h, кытӧн P — призма подлӧн периметр, а H — призмалӧн сувда; быдса вевдӧр призмалӧн лоӧ: (а + b + d) · с + аb.	Параллелепипедлэсь куинь мертанзэ а, b но с тодмояса диагональзэ d букваен тодмояса, соку асьмелэн луоз: призмалэн урдэс вылэз ӵоша: ac + bc + dc = (a + b + d) · c = P · H, татын Р — призмалэн пыдэсэзлэн периметрез, нош Н призмалэн ӝуждалаез; призмалэн быдэс вылтырез ӵоша: (a + b + d) c + 2ab.
Основанием прямой треугольной призмы может быть и любой треугольник, не только прямоугольный.	Куимпельӧса веськыд призмалы подувтасӧн вермас лоны любӧй куимпельӧса, не сӧмын веськыд пельӧса куимпельӧса.	Веськыт куимпельӧса призма подын вермас лоны быд куимпельӧс, не токо веськытпельӧса.	Куинь сэрегъем шонер призмалэн пыдэсэз шонер сэрегъем гинэ уг луы, котькыӵе куиньсэрго но луоз.
Поверхность ее вычисляется так же, как в предыдущем случае.	Веркӧсыс сылӧн артавсьӧ сідзи жӧ, кыдзи и воддза случаяс.	Вевдӧрыс сылӧн лыддисьӧ сідз жӧ, кыдз и ӧні лыддим.	Солэн вылтырез азьвыл учыре кадь ик лыдъяське.
Основанием прямой призмы может быть любой четырехугольник или вообще многоугольник.	Веськыд призма подувтасӧн вермас лоны любӧй нёльпельӧса либӧ унапельӧса.	Веськыт призма подын вермас лоны быдкодь нёльпельӧс либо унапельӧс.	Шонер призмалэн пыдэсэз котькыӵе ньыльсэрго но яке огъя тырос сэрего луоз.
Итак: боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на ее высоту.	Сідз: веськыд призмалӧн бокӧвӧй веркӧсыс равняйтчӧ призмалысь подувтас периметрсӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.	Сідз: Веськыт призмалӧн бокся вевдӧр лоӧ призма под периметр сы сувда вылӧ ӧксян.	Озьы: шонер призмалэн урдэс вылтырез — пыдэсэзлэсь периметрзэ солэн ӝуждалаезлы уноям произведенилы ӵоша.
§ 2. Объем треугольной призмы.	2 §. Куим пельӧса веськыд призмалӧн объём.	§ 2. Куимпельӧса призмалӧн объём.	§ 2. Куинь сэрегъем призмалэн объёмез.
Объем прямоугольного параллелепипеда V = а · b · с, где а, b и с — три измерения параллелепипеда, или же V = Q · h, где Q — площадь основания и h — высота параллелепипеда.	Веськыд пельӧса параллелепипедлӧн объёмыс V = a · b · h, кӧні a, b да h — параллелепипедлӧн куим муртас, либӧ V = Q · h, кӧні Q — подувтасыслӧн плӧщадьыс да параллелепипедлӧн судтаыс.	Веськытпельӧса параллелепипедлӧн объём V = а · b · c, кытӧн а, b да c — параллелепипедлӧн куим меряйтӧм, либо сідз V = Q · h, кытӧн Q — подлӧн площадь, а h — параллелепипедлӧн сувда.	Шонер сэрегъем параллелепипедлэн объёмез V = а · b · с луэ, татын а, b но с — параллелепипедлэн куинь мертанъёсыз яке V = Q · h. Татын Q пыдэсэзлэн площадез но g — параллелепипедлэн ӝуждалаез.
Прямая треугольная призма, основание которой — прямоугольный треугольник (рис. 99), составляет половину объема прямоугольного параллелепипеда.	Куим пельӧса веськыд призма, кодлӧн подувтасыс — веськыд пельӧса куимпельӧса (99-ӧд серпас), лоӧ веськыд пельӧса параллелепипед объёмлӧн джынйыс.	Веськыт куимпельӧса призма, подыс кӧдалӧн — веськытпельӧса куимпельӧс (99 рис.), лоӧ веськытпельӧса параллелепипедлӧн джын объём.	Куинь сэрегъем шонер призма, кудӥзлэн ке пыдэсэз шонер сэрегъем куиньсэрго (99 сур) шонер сэрегъем параллелепипедлэн объёмезлэсь ӝынызэ пӧрмытэ.
Значит, объем V = ½ abh = (½ ab) · h,	Сідзкӧ объём V = ½ abh = (½ ab) · h.	Объём лоӧ V = ½ аbh = (½ аb) · h.	Озьы бере, объём V = ½abc = (½ab) · с,
т. е. объем треугольной призмы, основание которой прямоугольный треугольник (с катетами а и b) и высота которой h, равен произведению площади ее основания (½ ab) на высоту (h).	Куим пельӧса призмалӧн объёмыс, кодлӧн (призмаыслӧн) подувтасыс веськыд пельӧса куимпельӧса (a да b катетъясӧн), а судтаыс h, равняйтчӧ сійӧ подувтас плӧщадьсӧ (½ ab) судтаыс (h) вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.	Объём куимпельӧса призмалӧн кӧдалӧн подыс веськытпельӧса куимпельӧс (а да b катеттэзӧн) и сувдаыс кӧдалӧн h, лоӧ сы под площадь (½ аb) сувда вылӧ (h) ӧксян.	мукет сямен, куинь сэрегъем призмалэн объёмез, кудӥзлэн пыдэсэз шонер сэрегъем куиньсэрго (а но b катетъёсын) ке, нош ӝуждалаез h ке, солэн пыдэсэзлэсь площадьзэ (½ab) ӝуждалаезлы (h) уноямлэн произведениезлы ӵоша.
Итак, чтобы вычислить объем призмы, следует сначала вычислить площадь ее основания и полученное число умножить на высоту.	Сідзкӧ медым артавны объём призмалысь, войдӧр колӧ артавны призма подувтасыслысь плӧщадьсӧ да лоӧм лыдсӧ ӧктыны судта вылас.	И сідз, медбы лыддьыны призмалісь объём, медодз колӧ лыддьыны сы подлісь площадь, ӧксьӧмсӧ босьтны сувда вылӧ.	Озьы призмалэсь объёмзэ лыдъян понна, азьлон пыдэсэзлэсь площадьзэ лыдъяно но, шедьтэм лыдэз ӝуждалаезлы унояно.
Рассмотрим треугольную призму, основанием которой служат произвольные (но одинаковые) треугольники (рис. 100).	Видзӧдлам куим пельӧса призма, кодлӧн подувтасъясыс лоӧны произвольнӧй (но ӧткодь) куимпельӧсаяс (100-ӧд серпас).	Видзӧтам куимпельӧса призма, поддэзас кӧдалӧн босьтӧмӧсь кытшӧм-либо (но ӧткодьӧсь) куимпельӧссэз (100 рис.).	Куинь сэрегъем призмаез эскером. Солэн пыдэсъёсыз эркынэсь (нош ог кадесь) куиньсэргоос (100 сур) луо.
Проведем из вершины большего угла каждого треугольника по высоте C₁D₁ и C₂D₂ и соединим D₁ и D₂ прямою.	Нуӧдам быд куимпельӧсаын медыджыд пельӧс йывсяньыс судтаяс — B₁D₁ да B₂D₂ да ӧтлаалам D₁ да D₂ веськыд визьӧн.	Быд куимпельӧсын ыджыт пельӧс йывсяняс нуӧтам B₁D₁ и B₂D₂ сувдаэз да D₁D₂-кӧт ӧтлаалам веськытӧн.	Котькудӥзлэн куиньсэрголэн йылысеныз бадӟым сэрегысен В₁D₁ но В₂D₂ ӝуждалаос ортчытыса D₁ но D₂ шонерен огазеялом.
Тогда данная призма плоскостью прямоугольника C₁D₁D₂C₂ рассекается на две треугольные призмы, основания которых — прямоугольные треугольники.	Сэки тайӧ призмаыс B₁D₁D₂B₂ веськыдпельӧса плоскосьтӧн вундыссьӧ куимпельӧса кык призмаӧ, кодлӧн подувтасъясыс веськыдпельӧса куимпельӧсаяс.	Сэк сетӧм призма веськытпельӧса B₁D₁D₂B₂ плоскостьӧн керассьӧ кык куимпельӧса призма вылӧ, поддэс кӧдналӧн веськытпельӧса куимпельӧссэз.	Соку сётэм призма В₁D₁В₂D₂ прямоугольниклэн ӵошкесэныз куинь сэрегъем кык призмаослы ӵогиське, соослэн пыдэсъёссы шонер сэрегъем куиньсэргоос луо.
Объем первой призмы V₁ = Q₁ · h, и объем второй призмы V₂ = Q₂ · h.	Ӧти призмалӧн объёмыс V₁ = Q₁ · h, мӧд призмаыслӧн объёмыс V₂ = Q₂ · h.	Медодзза призмалӧн объём В₁ = Q₁ · h, мӧдік призмалӧн объём В₂ = Q₂ · h.	Нырысетӥ призмалэн объёмез V₁ = Q₁ h, но кыкетӥ призмалэн объёмез V₂ = Q₂ h.
Значит, объем всей призмы: V = V₁ + V₂ = Q₁h + Q₂h = (Q₁ + Q₂) · h.	Сідзкӧ, став призмаыслӧн объёмыс: V = V₁ + V₂ = Q₁h + Q₂h = (Q₁ + Q₂) · h.	Объём быдса призмалӧн лоӧ: V = В₁ + В₂ = Q₁h + Q₂h = (Q₁ + Q₂) · h.	Озьыен, быдэс призмалэн объёмез: V = V₁ + V₂ = Q₁h + Q₂h = (Q₁ + Q₂) · h.
Q₁ + Q₂ — площадь треугольника А₁B₁C₁.	Q₁ + Q₂ — лоӧ А₁B₁C₁ куимпельӧсалӧн плӧщадь.	Q₁ + Q₂ — A₁B₁C₁ куимпельӧслӧн площадь.	Q₁ + Q₂ — А₁B₁C₁ куиньсэрголэн площадез.
Обозначим ее через Q.	Пасъям сійӧс Q-ӧн.	Пасъям сійӧ Q пыр.	Сое Q пыр тодмоялом,
Следовательно, V = Q · h (куб. единиц),	Сідзкӧ, V = Q · h (куб. единица).	Лоас, V = Q · h (куб. ӧтсаэз):	озьы бере, V = Q · h (куб. един.),
т. е, объем любой прямой треугольной призмы (в куб. единицах) равен произведению площади ее основания (в кв. единицах) на высоту (в линейных единицах).	Любӧй куим пельӧса веськыд призмалӧн объёмыс (куб. единицаясӧн) равняйтчӧ призма подувтас плӧщадьсӧ (кв. единицаясӧн) судтаыс (линейнӧй единицаясӧн) вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.	Под (кв. ӧтсаэзын) площадь босьтӧм сувда (визя ӧтсаэзын) вылӧ лоас быдкодь веськыт куимпельӧса призмалӧн (куб. ӧтсаэзын) объём.	мукет сямен, котькыӵе шонер куиньсэрго призмалэн объёмез (куб. единицаен) пыдэсэзлэсь площадьзэ (квадратной единицаен) ӝуждалаезлы (кузьдала единицаен) уноям лыдлы ӵоша.
Примечание.	Примечанньӧ.	Примечаннё.	Валэктон.
Все отрезки, служащие для определения объема, площади, должны быть одного наименования; тогда поверхность (площадь) выразится в квадратных единицах и объем — в кубических единицах того же наименования.	Объём, плӧщадь мурталӧм вылӧ босьтсьӧны ӧти нима муртасъяс; сэки веркӧсыс (плӧщадь) тӧдмассяс квадратнӧй единицаясӧн, а объёмыс сійӧ жӧ нима кубическӧй единицаясӧн.	Быд орӧток, кӧднаӧн колӧ лыддьыны объём, площадь, колӧ босьтны ӧтік нимаэзӧ, сэк вевдӧрыс (площадь) висьтассяс квадрата ӧтсаэзӧн и объёмыс — куба ӧтсаэзын сія жӧ нимӧн.	Объёмез, площадез тодматӥсь мертан вандэтъёс ваньмыз ик одӥг нимъем мед луозы; соку вылтыр (площадь) квадрат единицаен луоз, объёмез нош со нимъянэн ик — куб. единицаен вераськоз.
§ 3. Объем многоугольной прямой призмы.	3 §. Уна пельӧса веськыд призмалӧн объём.	§ 3. Унапельӧса веськыт призмалӧн объём.	§ 3. Трос сэрегъем шонер призмалэн объёмез.
Дана какая-нибудь многоугольная прямая призма, например шестиугольная (рис. 101).	Сетӧма кутшӧмкӧ уна пельӧса веськыд призма, шуам, квайт пельӧса (101-ӧд серпас).	Сетӧм кытшӧм-либо веськыт унапельӧса призма, шуам кватьпельӧса (101 рис.).	Трос сэрегъем кыӵе ке но шонер призма сётэмын, кылсярысь куать сэрегъем (101 сур.).
Проведем из одной вершины основания (многоугольника) диагонали, которые разобьют шестиугольник на 4 треугольника.	Нуӧдам подувтас (унапельӧса) ӧти йывсянь диагональяс; найӧ торйӧдасны квайтпельӧсасӧ 4 куимпельӧса вылӧ.	Нуӧтам (унапельӧс) ӧтік под йывсянь диагоналлез, кӧдна торйӧтасӧ кватьпельӧссӧ 4 куимпельӧс вылӧ.	Троссэреглэн одӥг пыдэс йылысеныз диагональёс ортчытом, соос куатьсэргоез ньыль куиньсэрголы векчиятозы.
То же самое сделаем и с другим основанием и разобьем шестиугольную призму на 4 треугольных призмы.	Тадзи жӧ вӧчам и мӧд подувтасыскӧд да торйӧдам квайт пельӧса призмасӧ 4 куим пельӧса призма вылӧ.	Сійӧ жӧ керам мӧдік подыскӧт и торйӧтам кватьпельӧса призмасӧ 4 куимпельӧса призмаэз вылӧ.	Озьы ик мукет пыдэсэныз но лэсьтом но, куатьсэрго призмаез 4 куиньсэрегъем призмаослы люкылом.
Обозначим объемы призм через V₁, V₂, V₃, V₄, площади их оснований — через Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, а их общую высоту — через H.	Призмаясыслысь объёмъяссӧ пасъям: V₁, V₂, V₃, V₄, подувтас плӧщадьяссӧ налысь: Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, а ӧтувъя судтасӧ налысь — H пыр.	Призмаэзлісь объёммес В₁, В₂, В₃, В₄, пас пыр, под площаддесӧ — Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, пас пыр, а быдса сувдасӧ — H пас пыр.	Призмаослэсь объёмъёссэс V₁, V₂, V₃, V₄ пыр тодмоялом, пыдэсъёссылэсь площадьёссэс Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ пыр, нош соослэсь огъя ӝуждалаоссэс Н пыр гожтом.
Тогда объем всей призмы: V = V₁ + V₂ + V₃ + V₄ = Q₁H + Q₂H + Q₃H + Q₄H = (Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄) H.	Сэки призмаыслӧн став объёмыс: V = V₁ + V₂ + V₃ + V₄ = Q₁H + Q₂H + Q₃H + Q₄H = (Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄) H.	Сэк быдса призмалӧн объём: V = В₁ + В₂ + В₃ + В₄ = Q₁H + Q₂H + Q₃H + Q₄H = (Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄) H.	Соку быдэс призмалэн объёмез V = V₁ + V₂ + V₃ + V₄ = Q₁H + Q₂H + Q₃H + Q₄H = (Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄) H.
Обозначив площадь основания шестиугольника через Q, получим: V = QH (куб. единиц),	Пасъям квайтпельӧсалысь подувтас плӧщадьсӧ Q-ӧн, лоӧ: V = QH (куб. единица).	Пасъям кӧ кватьпельӧслісь под площадь Q пыр, лоас: V = QH (куб. ӧтсаэз)	Куатьсэрголэн пыдэсэзлэсь площадьзэ Q пыр тодмояса, шедьтом: V = QH (куб. единицаос),
т. е. объем любой прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.	Сідзкӧ, любӧй веськыд призмалӧн объёмыс равняйтчӧ сійӧ подувтас плӧщадьсӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.	Под площадь босьтӧм сувда вылӧ лоас быдкодь веськыт призмалӧн объём.	м. с. котькыӵе шонер призмалэн объёмез пыдэсэзлэсь площадезлэсь ӝуждалаезлы уноямлэн произведениезлы ӵоша.
Вопросы а упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ	Юанъёс но ужъёс.
1. Начертить развертку боковой поверхности прямой треугольной призмы, основания которой — прямоугольные треугольники с катетами в 3 см и 4 см и гипотенузой в 5 см. Высота призмы H = 6 см.	1. Гижтыны куим пельӧса веськыд призма бокӧвӧй веркӧслысь павтыртас; призмаыслӧн подувтасыс веськыд пельӧса куимпельӧса, кодлӧн катетъясыс 3 см да 4 см, гипотенузаыс 5 см; судтаыс H = 6 см.	1. Чертитӧ веськыт куимпельӧса формаа призмалісь бокся вевдӧр развёртка поддэс кӧдалӧн — веськытпельӧса куимпельӧса фигураэз 3 см да 4 см ыжда катеттэзӧн и 5 см гипотенузаӧн. Призмалӧн сувдаыс H = 6 см.	1. Куинь шонер сэрегъем призмалэсь сэрттэтсэ гожтоно, солэн пыдэсъёсыз 3 см но 4 см катетъёсын 5 см луись гипотенузаен шонер сэрегем куиньсэргоос. Призмалэн ӝуждалаез Н = 6 см.
2. Как вычислить боковую поверхность и объем прямой призмы?	2. Кыдзи артавны боковӧй веркӧссӧ да объёмсӧ веськыд призмалысь?	2. Кыдз лыддьыны веськыт призмалісь бокса вевдӧрсӧ да объёмсӧ?	2. Шонер призмалэсь урдэс вылтырзэ но объёмзэ кызьы лыдъяно?
3. Угол между скатами двускатной крыши (рис. 102) — прямой; ширина каждого ската равна 3,0 м, длина крыши равна 12 м.	3. Кык ската вевт лэбъяс костын пельӧсыс веськыд (102-ӧд серпас); пасьтаыс быд лэблӧн 3,0 м, вевтыслӧн кузьтаыс 12 м.	3. Кык ската крышалӧн скаттэс коласын пельӧс (102 рис.) — веськыт; быд скатыс 3,0 м пасьта, кузяыс 12 м ыжда.	3. Нялмыто кык липетлэн кусыпаз (102 сур.) сэрегез — шонер сэрег; котькудӥзлэн нялмытэзлэн пасьталаез 3,0 м, липетлэн кузьдалаез 12 м.
Найти объем чердака под крышей.	Корсьны вевтувса чардакыслысь объёмсӧ.	Колӧ адззыны крыша увт вышкалісь объём.	Липет улысь сигезлэсь объёмзэ шедьтоно.
Указание.	Индӧд.	Висьталӧм.	Возьматон.
Чердак представляет собой прямую треугольную призму, высота которой равна 12 м, а основание — прямоугольный треугольник с катетами в 3 м и 3 м.	Чардакыс лоӧ куимпельӧса веськыд призма, судтаыс сылӧн 12 м, а подувъясыс веськыд пельӧса куимпельӧса, кодлӧн катетъясыс — 3 м да 3 м.	Вышкаыс веськыт куимпельӧса кодь 12 м сувда, а подыс — веськытпельӧса куимпельӧса фигура 3 м да 3 м катеттэзӧн.	Сиг — шонер куинь сэрегъем призма тусъем луэ, солэн ӝуждалаез 12 м, нош пыдэсэз — 3 м но 3 м катетъёсын шонер сэрегъем куиньсэрго.
4. Высота двускатной крыши сарая h = 4,0 м, расстояние между стропильными ногами а = 8,0 м, длина каждого ската b = 10 м, высота сарая с = 5,0 и.	4. Кык ската сарай вевтлӧн судтаыс h = 4,0 м, стрӧпилӧ кокъяс костыс (вевтыслӧн пасьтаыс) a = 8,0 м, быд скатлӧн кузьтаыс b = 10 м, сарайыслӧн вевтӧдзыс судтаыс c = 5,0 м.	4. Кык ската крыша сарайлӧн сувдаыс h = 4,0 м, стропилоэс коласыс а = 8,0 м, быд скатлӧн кузяыс b = 10 м; сарайлӧн сувдаыс c = 5,0.	4. Сарайлэн кык нялмыт липетэзлэн ӝуждалаез h = 4,0 м, ачама кукъёслэн виссы а = 8,0 м, котькудӥзлэн нялмытэзлэн кузьдалаез b = 10 м, сарайлэн ӝуждалаез с = 5,0 м.
Найти объем сарая.	Корсьны сарайыслысь объёмсӧ.	Адззӧ сарайлісь объём.	Сарайлэсь объёмзэ шедьтоно.
IX. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА.	IХ. КЫТШВИЗЬЛӦН КУЗЬТА ДА КРУГЛӦН ПЛӦЩАДЬ.	IX. ГӦГРӦСЛӦН КУЗЯ ДА ГӦГЫЛЬЛӦН ПЛОЩАДЬ.	IX. КОТЫРГОЖЛЭН КУЗЬДАЛАЕЗ НО КОТРЕТЛЭН ПЛОЩАДЕЗ.
§1. Длина окружности.	1 §. Кытшвизьлӧн кузьта.	§ 1. Гӧгрӧслӧн кузя.	§ 1. Котыргожлэн кузьдалаез.
Измерить длину окружности способом, которым мы измеряли длину отрезка, нельзя, так как окружность — кривая линия и не содержит ни одного отрезка прямой.	Муртавны кытшвизьлысь кузьтасӧ сідзи жӧ, кыдзи ми муртавлім вундӧглысь кузьта, оз позь, кытшвизьыд ӧд шыгыра визь, сылӧн абу ньӧти веськыд вундӧг.	Гӧгрӧслісь кузясӧ меряйтны сідз, кыдз мийӧ меряйтім орӧтоклісь кузясӧ, оз туй. Гӧгрӧсыс — чукыля визь и сы бердісь он адззы ӧтік веськыт орӧток.	Шонер гожез мертан сямен, котыргожез мертаны уг луы, котыргож кырыж гож, солэн шонер вандэтэз чик ӧвӧл.
Однако, если бы окружность была гибкой нитью, то, разрезав ее и выпрямив, мы могли бы измерить длину выпрямленной нити.	Кытшвизь кӧ эськӧ вӧлі небыдик сиӧн, сійӧс эськӧ позис вундыны да веськӧдны, а сэсся муртавны кузьтасӧ веськӧдӧм сиыслысь.	Но, гӧгрӧсыс кӧ вӧлі бы кӧстасян сунис кодь, сэк вермим бы мийӧ вундыштны, веськӧтны (нюжӧтны) да меряйтны сылісь кузясӧ.	Котыргож — куасалъяськись сӥньыс ке луысал, асьмеос сое вандыса шонератысалмы но, шонертэм сӥньыслэсь кузьдалазэ мертаны быгатысалмы.
Для измерения длины окружности мы поступаем так: возьмем несколько деревянных цилиндров различных диаметров.	Кытшвизьлысь кузьтасӧ мурталігӧн ми вӧчам тадзи: босьтам кымынкӧ разнӧй диаметра пу цилиндр.	Медбы меряйтны гӧгрӧслісь кузясӧ, мийӧ керамӧ сідз: босьтамӧ неӧткодь диаметра кынымкӧ пуовӧй цилиндра.	Котыргожлэсь кузьдалазэ мертан понна асьмеос тазьы кариськом: пӧртэм диаметро кӧня ке пу цилиндръёс басьтом.
Обернем каждый цилиндр вплотную бумажной лентой так, чтобы один конец ленты приходился на другой, и сделаем прокол булавкой в месте перекрытия.	Быд цилиндр топыда шымыртам бумага лентаӧн сідзи, медым лентаыслӧн ӧти помыс воис мӧд пом вылас, лента помъяс ӧтлаасянінсӧ сутшкам булавкаӧн.	Быд цилиндрсӧ зэлыта каттьыштам бумагаовӧй йыӧн, медбы йыыслӧн ӧт помыс лоис мӧд йы пом вылас.	Собере котькуд цилиндрез тач-тач бумага лентаен бинялтом, со ленталэн пумъёсыз огез вылэ мукетэз мед тупалоз, собере ваче вуон интыез венен бышкалтом.
Булавка наметит 2 точки на ленте.	Булавкаыс вӧчас лента вылас 2 чут.	Сія местаӧт, кытӧн йы поммес вевсьӧн лоисӧ, бытшкам булавкаӧн, булавкаыс пятнайтас йы вылас кык чут.	Вень лента вылэ кык точка тодмо кароз.
Если выпрямить ленту, то расстояние между уколами определит длину окружности.	Сэсся лентасӧ веськӧдам, кык розь костыс и петкӧдлас кытшвизьыслысь кузьтасӧ.	Ӧні веськӧтны кӧ йысӧ, то бытшкӧминнэзлӧн коласыс мыччалас, мый кузя гӧгрӧс.	Лентаез шонертӥд ке, лента вылысь бышкалтэм кусыпъёс котыргожлэсь кузьдалазэ тодытоз.
Проделаем это с каждым из цилиндров.	Тадзи вӧчам быд цилиндркӧд.	Меряйтам этадз быд цилиндрсӧ.	Сое цилиндръёсын котькудӥныз лэсьтом.
Затем измерим диаметр каждого цилиндра.	Сэсся мурталам диаметрсӧ быд цилиндрлысь	Сыбӧрын меряйтам быд цилиндрлісь диаметр.	Собере котькудӥзлэсь цилиндрлэсь диаметрзэ мерталом.
Вычислив, во сколько раз длина окружности больше своего диаметра, мы получим во всех случаях одно и то же число, приблизительно 3,14.	да арталам, кымын пӧв кытшвизьыслӧн кузьтаыс ыджыдджык диаметрсьыс; быд случайын миян лоӧ ӧткодь лыд — 3,14 гӧгӧр.	И лыддям кӧ, кынымись гӧгрӧслӧн кузяыс аслас диаметрся ыджытжык, миян петас пыр и пыр ӧтік лыддьӧс — 3,14 гӧгӧр.	Котыргожлэн кузьдалаез аслаз диаметрезлэсь кӧня пол бадӟым шуыса лыдъям ке, асьмеос вань учыръёсаз ик ог кадесь 3,14 ёрос лыд шедьтом.
Это значит, что длина окружности больше своего диаметра в 3,14 раза.	Тайӧ петкӧдлӧ, мый кытшвизьлӧн кузьтаыс ыджыдджык аслас диаметрысь 3,14 пӧв.	Сідзкӧ, лоӧ: гӧгрӧслӧн кузяыс аслас диаметрся 3,14-ись ыджытжык.	Со луэ ни, котыргожлэн кузьдалаез аслаз диаметрезлэсь 3,14 пол бадӟым.
Если длину окружности обозначим через С, а диаметр ее через D, то получим формулу: С = 3,14D.	Кузьтасӧ кӧ кытшвизьлысь пасъям C-ӧн, а диаметрсӧ сылысь D-ӧн, миян лоӧ формула:	Гӧгрӧслісь кӧ кузясӧ пасъям C шыпасӧн, а диаметрсӧ сылісь D шыпасӧн, сэк петас формула: C = 3,14D.	Котыргожлэсь кузьдалазэ С тодмоям ке нош диаметрзэ D пыр ке карим, соку шедьтом формула: C = 3,14D.
Из этой формулы имеем: D = С/3,14.	C = 3,14 D.	Эта формулаись лоӧ D = C/3,14	Та формулаысь: D = С/3,14 шедьтом.
Последнюю формулу можно записать иначе: D = C · 1/3,14.	Тайӧ формулаысь петӧ: D = C/3,14.	Медбӧрья формуласӧ позьӧ гижны мӧднёж: D = C · 1/3,14.	Берпум формулаез мукет сяменгес гожтыны луоз: D = C · 1/3,14.
Если выполнить деление 1 : 3,14, то мы получим приблизительно 0,318, или 0,32; значит: D = 0,32 C.	Вӧчны кӧ тайӧ юкӧмсӧ — 1 : 3,14, миян лоӧ 0,318 гӧгӧр, либӧ 0,32; сідзкӧ: D = 0,32 C.	Юкны кӧ 1 : 3,14, то миян петас 0,318, либо 0,32; сідз кӧ: D = 0,32 C.	1 : 3,14 люконэз быдэстыса асьмеос 0,318 ёрос шедьтом, яке 0,32; озьыен: D = 0,32 C.
Пример 1.	1-ой пример.	1. Пример:	1 пример.
Диаметр дна бочки равен 0,60 м.	Бӧчка пыдӧслӧн диаметрыс 0,60 м.	Бочка пыдӧслӧн диаметрыс 0,60 м.	Бекче пыдэслэн диаметрез 0,60 м ӵоша.
Найти длину окружности дна.	Корсьны пыдӧс кытшвизьлысь кузьтасӧ.	Адззӧ пыдӧс гӧгрӧслісь кузясӧ.	Пыдэс котыргожлэсь кузьдалазэ шедьтоно.
C = 3,14 · 0,60 = 1,9 м.	C = 3,14 · 0,60 = 1,9 м.	C = 3,14 · 0,60 = 1,9 м.	C = 3,14 · 0,60 = 1,9 м.
Пример 2.	2-ӧд пример.	2. Пример:	2 пример.
Окружность ствола дерева равна 150 см.	Керлӧн кытшвизьыс 150 см.	Пулӧн гӧгрӧсыс 150 см.	Пу модослэн котыргожез 150 см ӵоша,
Найти диаметр дерева.	Корсьны керйыслысь диаметрсӧ.	Адззӧ сылісь диаметра.	пулэсь диаметрзэ шедьтоно.
D = 0,32 · 150 = 48 см.	D = 0,32 · 150 = 48 см.	D = 0,32 · 150 = 48 см.	D = 0,32 · 150 = 48 см.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Ужъёс но юанъёс.
1. Чему равна длина окружности, диаметр которой D?	1. Кутшӧм лоӧ кузьтаыс кытшвизьлӧн, диаметрыс кӧ сылӧн D?	1. Мый кузя гӧгрӧс, диаметрыс кӧ сылӧн D?	1. (D) диаметро луись котыргожлэн кузьдалаез малы ӵоша?
2. Как по данной длине окружности С найти ее диаметр? ее радиус?	2. Кыдзи сетӧм кытшвизь кузьта (C) серти корсьны сылысь диаметрсӧ? Сылысь радиуссӧ?	2. Кыдз C гӧгрӧс кузя сьӧрті адззыны гӧгрӧслісь диаметр? Радиус?	2. Кызьы сётэм котыргожлэн С кузьдалаезъя солэсь диаметрзэ но радиуссэ шедьтоно?
3. Длина окружности С = 28,6 см.	3. Кузьтаыс кытшвизьлӧн C — 28,6 см.	3. Гӧгрӧслӧн кузяыс C = 28,6 см.	3. Котыргожлэн кузьдалаез С = 28,6 см.
Найти длину ее дуги, содержащей 50°.	Корсьны сійӧ 50°-са дугалысь кузьтасӧ.	Тӧдӧ, мый кузя дуга, кӧдаын 50°.	50° возись буколэсь кузьдалазэ шедьтоно.
4. Даны две концентрические окружности; диаметр одной D₁ = 15 см, диаметр другой D₂ = 25 см.	4. Сетӧма кык концентрическӧй кытшвизь; ӧтиыслӧн диаметрыс D₁ = 15 см, мӧдыслӧн диаметрыс D₂ = 25 см.	4. Эмӧсь кык концентрическӧй гӧгрӧс, ӧтыслӧн диаметрыс D₁ = 15 см, мӧдыслӧн диаметрыс D₂ = 25 см.	4. Вылысьтыз вылаз кык котыр гожъёс сётэмын; огезлэн диаметрез D₁ = 15 см, кыкетӥезлэн диаметрез D₂ = 25 см.
Определить длину дуги в 10° каждой окружности.	Тӧдмавны быд кытшвизьысь 10°-са дугалысь кузьтасӧ.	Тӧдӧ, мый кузя быд гӧгрӧсын 10° дуга?	Котькуд котыргожлэсь 10° букоезлэсь кузьдалазэ тодоно.
5. Сколько оборотов делает велосипедное колесо диаметром в 750 мм на протяжении 1 км?	5. Кымынысь бергӧдчӧ 1 км кузьта туй мунігӧн велосипед кӧлеса, сылӧн кӧ диаметрыс 750 мм?	5. Кынымись бергӧтчӧ 1 км ылына мунікӧ велосипедлӧн 750 мм диаметра колесо?	5. Велосипедлэн 750 мм диаметро питранэз 1 км мыныса кӧня берытскон лэсьтоз?
6. Ведущее колесо паровоза сделало 290 оборотов на протяжении 1450 м.	6. Паровоз кӧлеса бергӧдчис 290-ысь 1450 м кузьтаын.	6. 1450 м ылына мунікӧ паровозлӧн нуан колесо бергӧтчис 290-ись.	6. Паровозлэн нуись питранэз 1450 м кузяе мыныса 290 пол берытскем.
Найти диаметр колеса (скольжение в расчет не принимается).	Корсьны кӧлесаыслысь диаметрсӧ.	Адззӧ колесолісь диаметр.	Питранлэсь диаметрзэ тодоно (гылӟонэз лыдэ уг басьтӥськы).
7. Принимая длину экватора Земли равной 40 000 км, вычислить диаметр Земли.	7. Мулысь экватор кузьтасӧ 40000 км туйӧ босьтӧмӧн, артавны Муыслысь диаметрсӧ.	7. Мулӧн экваторыс 40 000 км кузя. Тӧдӧ Мулісь диаметрсӧ.	7. Музъем экваторлэсь кузьдалазэ 40 000 км кутыса, музъемлэсь диаметрзэ лыдъяно.
8. Диаметр арены цирка равен 15 м.	8. Диаметрыс цирк ареналӧн 15 м.	8. Цирк ареналӧн диаметрыс 15 м.	8. Цирклэн аренаезлэн диаметрез 15 м.
Найти окружность арены.	Корсьны аренаыслысь кытшвизьсӧ.	Мый кузя ареналӧн гӧгрӧсыс?	Ареналэсь котыргожзэ шедьтоно.
§ 2. Площадь круга.	5 §. Круглӧн плӧщадь.	§ 2. Гӧгыльлӧн площадь.	§ 2. Котретлэн площадез.
Начертим круг (рис. 103) и разделим его на 4 равных сектора двумя взаимноперпендикулярными диаметрами.	Гижтам круг (103-ӧд серпас) да юкам сійӧс 4 ӧтыджда сектор вылӧ мӧда-мӧдыслы перпендикулярнӧй кык диаметрӧн.	Чертитам гӧгыль (103 рис.) и юкам сійӧ 4 ӧткодь секторӧ ӧтамӧдкӧт перпендикулярнӧй кык диаметрӧн.	Котрет гожтыса (103 сур.), сое кык ваче перпендикулярной диаметръёсын 4 ог кадесь секторъёслы люком.
Разделим затем каждый сектор на 4 равные части.	Сэсся быд сектор юкам 4 ӧтыджда юкӧн вылӧ.	Юкам сыбӧрын быд секторсӧ 4 ӧткодь торйӧ.	Собере котькуд секторъёсыз 4 ог кадесь люкетъёслы люком.
Таким образом, весь круг будет разделен на 16 равных секторов.	Тадзи став кругыс юксяс 16 ӧтыджда секторӧ.	Сідз, быдӧс гӧгыльыс юкӧма 6 ӧткодь секторӧ.	Озьы быдэс котрет 16 ог кадесь секторъёслы люкиськоз.
Вырезав круг и разрезав его на секторы, разрежем еще один из них пополам и расположим их так, как показано на рисунке 103.	Вундам кругсӧ да вундалам секторъяссӧ, ӧти сектор нӧшта вундам шӧри; сэсся пукталам найӧс сідзи, кыдзи петкӧдлӧма 103-ӧд серпас вылын.	Вундыштам гӧгыль бердсис быдӧс секторресӧ, а сыбӧрын ӧтік сектор шӧри орӧтам да тӧдам нійӧ сідз, кыдз мыччалӧма 103 рисунок вылын.	Котрет вандыса, сое секторъёслы вандылыса нош ик соос пӧлысь огзэ шори вандом на, собере 103 суредын возьматэм сямен тыром.
Получается фигура, весьма похожая на прямоугольник.	Лоӧ веськыдпельӧса кодь фигура.	Шогмӧ фигура, кӧда бура вачкисьӧ веськытпельӧса фигуралань.	Соку прямоугольниклы кельшись фигура потэ.
Основание этого прямоугольника равно половине длины окружности, а высота равна радиусу, или половине диаметра.	Подувтасыс сылӧн лоӧ кытшвизьджын кузьта, а судтаыс радиусыс ыджда, либӧ диаметр джын ыджда.	Эта веськытпельӧса фигуралӧн подыс джынгӧгрӧс кузя, а вылынаыс радиус, либо диаметра джын ыжда.	Со прямоугольниклэн пыдэсэз котыргожлэн кузьдалаезлэн ӝыныезлы ӵоша, ӝуждалаез нош радиусэзлы ӵоша яке диаметрлэн ӝыныезлы ӵоша.
Если разделить круг на 32 равных сектора и расположить их так, как показано на рисунке 103, а, то снова получим фигуру, еще более близкую к прямоугольнику.	Юкны кӧ кругсӧ 32 ӧтыджда сектор вылӧ да пуктавны найӧс сідзи, кыдзи петкӧдлӧма 103-ӧд серпас а вылын, сэки миян бара артмас нӧшта на веськыдпельӧсаджык кодь фигура.	Гӧгыльсӧ кӧ юкны 32 ӧткодь секторӧ да тэчны нійӧ сідз, кыдз мыччалӧма 103 а рисунок вылын, то бӧра миян лоас фигура, кӧда эшӧ буражык вачкисьӧ веськытпельӧса фигуралань.	Котретэз 32 ог кадесь секторъёслы люкыса, соосыз 103, а, суредын возьматэм сямен тырыса, вильысь уката но прямоугольниклы матэ тупась фигура шедьтом.
Поэтому площадь круга принимается равной площади прямоугольника, основание которого полуокружность (C/2), а высота — радиус (D/2).	Та понда круглысь плӧщадьсӧ лыддьӧны веськыдпельӧса плӧщадькӧд ӧтыдждаӧн, кодлӧн (веськыдпельӧсаыслӧн) подувтасыс кытшвизьджын (C/2), а судтаыс — радиус (D/2).	Сійӧн гӧгыльлісь площадьсӧ пуктӧны сы ыждаӧ, мый ыжда площадьыс веськытпельӧса фигуралӧн, подыс кӧдалӧн джынгӧгрӧс (C/2), а вылынаыс — радиус (D/2).	Соин ик котретлэн площадез прямоугольниклэн площадезлы ӵошась, кудӥзлэн ке пыдэсэз ӝыныё котыргож (C/2),нош ӝуждалаез — радиусэз (D/2) басьтӥське.
Обозначив площадь круга через K, мы, таким образом, будем иметь: K = C/2 · D/2 = C·D / 4 = 1/4 C · D.	Пасъям круг плӧщадьсӧ K-ӧн, сэки миян лоӧ: K = C/2 · D/2 = C·D / 4 = 1/4 C · D.	Пасъям кӧ гӧгыль площадьсӧ K шыпасӧн, миян лоас: K = C/2 · D/2 = C · D / 4 = 1/4 C · D.	Котретлэсь площадьзэ К пыр тодмояса, асьмелэн со сямен луоз: K = C/2 · D/2 = C · D / 4 = 1/4 C · D.
Но С=3,14D, значит K = 3,14 D² /4 = 0,785 D² (кв. ед.).	Но C = 3,14 D, сідзкӧ, K = 3,14 D² /4 = 0,785 D² (кв. ед.).	Но C = 3,14 D, сідз кӧ K = 3,14 D² /4 = 0,785 D² (кв. ӧтса).	Нош: С = 3,14D, озьы бере K = 3,14 D² /4 = 0,785 D² (единицаос).
Но R = D/2, а потому K = C/2 · D/2 = 3,14 R · R = 3,14 R² (кв. единиц).	Но R = D/2, а сы вӧсна K = C/2 · D/2 = 3,14 R · R = 3,14 R² (кв. единица).	Но R = D/2, а сійӧн K = C/2 · D/2 = 3,14 R · R = 3,14 Р² (кв. ӧтса);	Нош R = D/2, соин ик K = C/2 · D/2 = 3,14 R · R = 3,14 R² (кв. ед.),
Т. е. площадь круга равна одной четверти длины окружности, умноженной на диаметр, или площадь круга равна квадрату радиуса, умноженному на 3,14.	Сідзкӧ, круглӧн плӧщадьыс равняйтчӧ диаметр вылӧ ӧктӧм кытшвизь кузьта нёльӧд юкӧнлы, либӧ круглӧн плӧщадьыс равняйтчӧ 3,14 вылӧ ӧктӧм радиус квадратлы.	висьтавны: гӧгыльлӧн площадьыс сымда, мымда лоӧ гӧгрӧс кузяись ӧтік нёльӧт тор диаметрӧн босьтӧмсянь, либо гӧгыльлӧн площадьыс сымда, мымда лоӧ радиус квадрат 3,14 вылӧ босьтӧмсянь.	мукет сямен, котретлэн площадез котыргожлэсь одӥг черык кузьдалазэ диаметрезлы уноямлы ӵоша, яке котретлэн площадез радиуслэсь квадратсэ 3,14 уноямлы ӵоша.
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Чему равна площадь круга?	1. Мыйлы равняйтчӧ круглӧн плӧщадьыс?	1. Мый ыжда гӧгыльлӧн площадьыс?	1. Котретлэн площадез марлы ӵоша?
2. Площадь круга K = 240 см². Чему равна площадь его сектора, дуга которого содержит 80°? 120°?	2. Круглӧн плӧщадьыс K = 240 см². Ыджыд-ӧ лоӧ плӧщадьыс секторыслӧн, дугаыс кӧ сылӧн 80°? 120°?	2. Гӧгыльлӧн площадьыс K =240 см². Мый ыжда площадьыс сы секторлӧн, кӧдалӧн дугаын 80°? 120°?	2. Котретлэн площадез K = 240 см², В букоез 80° но 120° возе ке, солэн секторезлэн площадез малы ӵоша?
3. Диаметр круглого железа равен 25 мм.	3. Гӧгрӧс кӧртлӧн диаметрыс 25 мм.	3. Гӧгыля кӧртлӧн диаметрыс 25 мм.	3. Быгылес кортлэн диаметрез 25 мм ӵоша.
Найти площадь поперечного сечения.	Корсьны плӧщадьсӧ поперечнӧй сеченньӧыслысь.	Кытшӧм площадь лоӧ поперег вундыштӧминын?	Вамен ӵогемлэсь площадьзэ шедьтоно.
4. Дан круг и его диаметр АВ = 10 см.	4. Сетӧма круг да сылысь диаметрсӧ AB = 10 см.	4. Эм гӧгыль, кӧдалӧн диаметрыс BA = 10 см.	4. Котрет сётэмын но солэн диаметрез 10 см.
Внутри его построены на радиусах полуокружности (рис. 104) по разные стороны диаметра.	Круг пытшкас радиусъяс вылын вӧчӧма кругджынъяс (104-ӧд серпас) — диаметрсяньыс ӧтар-мӧдарас.	Пытшкас сы радиуссэз вылӧ керӧмась джынгӧгрӧссэз (104 рис.).	Солэн пушказ радиусъёсыз вылэ диаметрезлы кыкна палаз ик ӝыны котыргожъёс лэсьтылэмын (104 сур.).
Определить периметр заштрихованной фигуры и ее площадь.	Тӧдмавны сьӧдӧдӧм фигураыслысь периметрсӧ да плӧщадьсӧ.	Тӧдӧ пемдӧтӧм фигуралісь периметр да площадь.	Сьӧдмам фигуралэсь площадьзэ но периметрзэ тодоно.
5. Внутренний диаметр трубы равен 12 мм, наружный диаметр ее равен 16 мм.	5. Трубалӧн пытшкӧсса диаметрыс 12 мм, ортсыса диаметрыс сылӧн 16 мм.	5. Трубалӧн пытш диаметрыс 12 мм; ӧтӧр диаметрыс 16 мм.	5. Турбалэн пуш диаметрез 12 мм, педпал диаметрез 16 мм.
Найти площадь поперечного сечения трубы.	Корсьны плӧщадьсӧ труба поперечнӧй сеченньӧлысь.	Адззӧ, кытшӧм трубалӧн поперег вундыштӧминын площадьыс.	Турбалэн вамен ӵогиськемезлэсь площадьзэ шедьтоно.
Дать рисунок.	Вӧчны серпас.	Керӧ рисунок.	Суред лэсьтыса сётоно.
X. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА.	Х. ЦИЛИНДРЛӦН ВЕРКӦС ДА ОБЪЁМ.	Х. ЦИЛИНДРЛӦН ВЕВДӦР ДА ОБЪЁМ.	X. ЦИЛИНДРЛЭН ВЫЛТЫРЕЗ НО ОБЪЁМЕЗ
§ 1. Поверхность цилиндра.	1 §. Цилиндрлӧн веркӧс.	§ 1. Цилиндрлӧн вевдӧр.	§ 1. Цилиндрлэн вылтырез.
Возьмем цилиндр (рис. 105) и обернем его бумагой, плотно прилегающей к его поверхности.	Босьтам цилиндр (165-ӧд серпас) да топыда шымыртам сійӧс бумагаӧн.	Босьтам цилиндр (105 рис) да каттьыштам зэв сійӧ бумагаӧн.	Цилиндр басьтыса (105 сур.), сое вылтырез бордэ лач-лач бумагаен бинялтӥм.
Разрежем затем острием ножа по линейке бумагу (линейка должна вплотную прилегать к поверхности) и развернем ее на плоскости.	Сэсся пурт йылӧн вундам бумагасӧ линейка кузя (линейкаыс медым топыда вӧлі водӧма веркӧс вылас) да павтыртам сійӧс плоскӧй веркӧс вылын.	Вундалам сыбӧрын пурт йылӧн линейка сьӧрті бумагасӧ (линейкаыс мед топыта куйліс вевдӧр вылас) и паськӧтам сійӧ плоскость вылӧ.	Собере лэчыт пурт йылэн линейка вӧзэтӥ бумагазэ вандом, (линейка вылтырез бордын лач-лач мед луоз), собере сое ӵошкесъёслы сэрттом.
Она представляет собою прямоугольник, площадь которого равна боковой поверхности цилиндра.	Миян лоӧ веськыдпельӧса, плӧщадьыс сылӧн лоӧ цилиндр бокӧвӧй веркӧс ыджда.	Бумагаыс лоас веськытпельӧса кодь, кӧдалӧн площадьыс цилиндр бок вевдӧр ыжда.	Со бумага цилиндрлэн вылтырезлэн площадезлы ӵошась прямоугольник кадь луоз, площадез цилиндрлэн урдэс вылтырезлы ӵошалоз.
Основание прямоугольника равно длине окружности С основания цилиндра, а высота равна высоте Н цилиндра.	Веськыдпельӧсалӧн подувтасыс лоӧ цилиндр подувтас C кытшвизь кузьта, а судтаыс — цилиндр H судта.	Веськытпельӧса фигуралӧн подыс ӧтыжда цилиндра под C гӧгрӧс кузякӧт, а сувдаыс ӧтыжда цилиндр H сувдакӧт.	Прямоугольниклэн пыдэсэз цилиндрлэн котыргожезлэн С кузьдалаезлы ӵоша, нош ӝуждалаез цилиндрлэн Н ӝуждалаезлы ӵоша.
Следовательно, боковая поверхность цилиндра равна окружности его основания, умноженной на высоту цилиндра.	Сідзкӧ, цилиндрлӧн бокӧвӧй веркӧсыс лоӧ сійӧ судта вылӧ ӧктӧм подувтас кытшвизь ыджда.	Сідзкӧ, Цилиндрлӧн бок вевдӧрыс ӧтыжда цилиндр под гӧгрӧскӧт, кӧда босьтӧма цилиндр сувда вылӧ.	Озьы бере, цилиндрлэн урдэс вылтырез — цилиндрлэсь пыдэс котыргож кузьдалаез цилиндрлэн ӝуждалаезлы уноямлы ӵоша.
Sбок = C · H = 3,14 · D · H = 6,28 RH (кв. единиц).	бокS = C · H = 3,14 · D · H = 6,28 RH (кв. единица).	S бок. = C · H = 3,14 · D · H = 6,28 РH (кв. ӧтса).	S урд. = C · H = 3,14 · D · H = 6,28 RH (квадрат единица).
Для вычисления полной поверхности цилиндра надо к боковой поверхности его прибавить площади обоих оснований.	Цилиндрлысь тыр веркӧссӧ арталігӧн сійӧ бок веркӧс дінӧ колӧ содтыны кыкнан подувтасыслысь плӧщадьяссӧ.	Медбы тӧдны цилиндрлісь быдса вевдӧр, колӧ сы бок вевдӧр дынӧ содтыны кыкнан подлісь площадь.	Цилиндрлэсь быдэс вылтырзэ лыдъян понна, кык пыдэсъёсызлэсь ик площадьёссэ урдэс вылтыр бордаз огазеяно.
Пример.	Пример.	Пример.	Пример.
Диаметр основания цилиндра равен 20,0 см, а высота его равна 55,0 см.	Цилиндр подувтаслӧн диаметрыс 20,0 см, а судтаыс сылӧн 55,0 см.	Цилиндр подлӧн диаметрыс 20,0 см, а сувдаыс сылӧн 55,0 см.	Цилиндрлэн пыдэсэзлэн диаметрез 20,0 см ӵоша, нош ӝуждалаез солэн 55,0 см ӵоша.
Вычислить его поверхность.	Артавны сылыс веркӧссӧ.	Лыддьӧ сылісь вевдӧрсӧ.	Солэсь вылтырзэ лыдъяно.
Боковая поверхность равна 3,14 · 20 · 55 = 3450 = 3450 см².	Бок веркӧсыс лоӧ 3,14 · 20 · 55 = 3454 ≈ 3450 см².	Бок вевдӧр ӧтыжда 3,14 · 20 · 55 = 3450 = 3 450 см².	Урдэс вылтырез 3,14 · 20 · 55 = 3450 = 3450 см² ӵоша.
Площадь основания (круга) равна 3,14 · 10² = 314 см².	Подувтасыслӧн (круглӧн) плӧщадьыс — 3,14 · 10² = 314 см².	Подлӧн (гӧгыльлӧн) площадьыс 3,14 · 10² = 314 см².	Пыдэсэзлэн (котретлэн) площадез 3,14 · 102 = 314 см² ӵоша.
Значит полная поверхность цилиндра Sполн. = 3450 + 2 · 314 = 3450 + 628 = 4078 ≈ 4080 см².	Сідзкӧ тыр веркӧсыс цилиндрлӧн тырS = 3450 + 2 · 314 = 3450 + 628 = 4078 ≈ 4080 см².	Сідз кӧ, цилиндрлӧн быдса вевдӧрыс S быдса = 3450 + 2 · 314 = 3450 + 628 = 4078 ≈ 4080 см².	Озьыен, цилиндрлэн быдэс вылтырез S быд. = 3450 + 2 · 314 = 3450 + 628 = 4078 ≈ 4080 см².
§ 2. Объем цилиндра.	2 §. Цилиндрлӧн объём.	§ 2. Цилиндрлӧн объём.	§ 2. Цилиндрлэн объёмез.
Дан цилиндр (рис. 106).	Сетӧма цилиндр (106-ӧд серпас).	Эм цилиндр (106 рис.).	Цилиндр сётэмын (106 сур.).
Выделим внутри его небольшую призму, основание которой — треугольник или четырехугольник, а высота равна высоте цилиндра.	Торйӧдам сы пытшкын неыджыд призма; подувтасыс призмаыслӧн — куимпельӧса либӧ нёльпельӧса, а судтаыс — цилиндр судта.	Торйӧтам сы пытшкись неыджыт призма, кӧдалӧн подыс куимпельӧса либо нёльпельӧса фигура, а сувдаыс цилиндр сувда ыжда.	Солэн пушказ пичигес гинэ призма люком. Солэн призмалэн пыдэсэз куиньсэрго яке ньыльсэрго луоз, ӝуждалаез нош — цилиндрлэн ӝуждалаезлы ӵошалоз.
Объем призмы равен площади ее основания, умноженной на высоту.	Призмалӧн объёмыс — сійӧ подувтас плӧщадь да судта произведенньӧ ыджда.	Призмалӧн объёмыс сы сувдаӧн под площадьсӧ босьтӧм ыжда.	Призмалэн объёмез солэсь пыдэссэ ӝуждалаезлы уноямлы ӵоша.
Вообразим себе, что весь цилиндр заполнен такими призмами, и тогда объем цилиндра равен сумме объемов всех этих призм.	Мӧвпыштам, быттьӧкӧ став цилиндрсӧ тыртӧма татшӧм призмаясӧн, сэки цилиндрлӧн объёмыс лоӧ тайӧ став призма объёмъяс сумма ыджда.	Шуам аслыным, быдӧс цилиндрыс тыртӧма сэтшӧм призмаэзӧн, сэк цилиндрлӧн объёмыс лоӧ сымдаыс, объём мымда быдӧс эна призмаэслӧн.	Быдэсак цилиндр сыӵе призмаосын пыртэмын шуыса малпалом, соку цилиндрлэн объёмез призмаослэсь объёмзэс огазеямлы ӵошалоз.
У всех этих призм одна и та же высота.	Тайӧ став призмаясыслӧн судтаыс ӧти (ӧткодь).	Быд призмалӧн сувдаыс ӧткодь.	Та призмалэн ваньмызлэн ик ӝуждалазы одӥг кадесь.
Итак, нужно сложить площади оснований всех призм, их сумма равна площади основания цилиндра, и умножить эту площадь на высоту.	Сідзкӧ колӧ содтыны (босьтны) став призма подувтасъясыслысь плӧщадьяссӧ — суммаыс налӧн лоӧ цилиндр подувтас плӧщадь ыджда — да ӧктыны тайӧ плӧщадьсӧ судта вылас.	Сідз кӧ, колӧ ӧтлаавны быд призмалісь под площадьсӧ, нылӧн площадьыс цилиндр под площадькӧт ӧтыжда, и босьтны этӧ площадьсӧ сувда вылӧ.	Озьы призмаослэсь пыдэс площадьёссэс огазеяны кулэ. Соослэн суммазы цилиндрлэн пыдэс площадезлы ӵошалоз. Собере со площадез ӝуждалаезлы унояно.
Значит, объем цилиндра равен площади его основания, умноженной на его высоту.	Сідзкӧ, цилиндрлӧн объёмыс равняйтчӧ сійӧ подувтас плӧщадьсӧ судтаыс вылӧ ӧктӧмысь лоан произведенньӧлы.	Сідзкӧ, Цилиндрлӧн объёмыс — сувда вылӧ под площадь босьтӧм ыжда.	Озьыен, цилиндрлэн объёмез пыдэсэзлэсь площадьзэ ӝуждалаезлы уноям лыдлы ӵоша.
abu	B = Q · h = 3,14 R²H (куб. единица).	abu	abu
Вопросы и упражнения.	Юасьӧмъяс да упражненньӧяс.	ЮАСЯННЭЗ ДА УПРАЖНЕННЁЭЗ.	Юанъёс но ужъёс.
1. Что представляет собою развертка боковой поверхности цилиндра?	1. Кутшӧм фигура артмӧдӧ цилиндрлӧн бокӧвӧй веркӧс павтыртасыс?	1. Кытшӧм фигура лоӧ, кӧр мийӧ цилиндрлісь бок вевдӧрсӧ паськӧтам плоскость вылӧ?	1. Цилиндрлэн сэрттэм урдэс вылтырез кыӵе луэ?
2. Чему равна боковая поверхность цилиндра?	2. Мыйлы равняйтчӧ цилиндрлӧн бокӧвӧй веркӧсыс?	2. Мый ыжда цилиндрлӧн бок вевдӧрыс?	2. Цилиндрлэн урдэс вылтырез малы ӵоша?
3. Чему равен объем цилиндра?	3. Мый ыджда лоӧ цилиндрлӧн объёмыс?	3. Мый ыжда цилиндрлӧн объёмыс?	3. Цилиндрлэн объёмез малы ӵоша?
4. Диаметр основания цилиндра D = 20 см.	4. Цилиндр подувтаслӧн диаметрыс D = 20 см.	4. Цилиндр подлӧн диаметрыс D = 20 см.	4. Цилиндрлэн пыдэсэзлэн диаметрез 0 = 20 см.
Высота цилиндра Н = 40 см.	Цилиндрлӧн судтаыс H = 40 см.	Цилиндрлӧн сувдаыс 40 см.	Цилиндрлэн ӝуждалаез H = 40 см.
Найти полную поверхность цилиндра.	Корсьны цилиндрлысь тыр веркӧссӧ.	Адззӧ цилиндрлісь быдса вевдӧр.	Цилиндрлэсь быдэс вылтырзэ шедьтоно.
5. Размеры цилиндра: D = 1,2 м и Н = 1,5 м.	5. Цилиндрлӧн ыдждаясыс: D = 1,2 м, H = 1,5 м.	5. Цилиндрлӧн ыждаыс: D = 1,2 м и H = 1,5 м.	5. Цилиндрлэн бадӟымлыкъёсыз: D = 1,2 м но H = 1,5 м.
Вычислить объем цилиндра.	Артавны цилиндрлысь объёмсӧ.	Тӧдӧ цилиндрлісь объём.	Цилиндрлэсь объёмзэ лыдъяно.
6. Прямоугольник со сторонами в 3,0 дм и 4,5 дм свернули в цилиндр.	6. 3,0 дм да 4,5 дм доръяса веськыдпельӧсаӧс кусыньтісны цилиндрӧ.	6. 3,0 дм да 4,5 дм ладора веськытпельӧса фигураись каттьыштісӧ цилиндр.	6. 3,0 дм но 4,5 дм дуръёсын прямоугольникез цилиндрлы бинялтӥзы.
Вычислить объем цилиндра (два случая).	Артавны цилиндрыслысь объёмсӧ (кык случай).	Тӧдӧ цилиндрлісь объёмсӧ (кык нёж).	Цилиндрлэсь объёмзэ лыдъяно (кык учыр).
ТАБЛИЦА МЕР.	МУРТӦСЪЯС ТАБЛИЧА.	МЕРАЭЗЛӦН ТAБЛИЦА.	МЕРТЭТ ТАБЛИЦА.
I. Меры длины	I. Кузьта муртӧсъяс	I. Кузя мераэз	I. Кузьдала мертанъёс
1 километр (км) = 1 000 метрам (м)	1 километр (км) = 1000 метрлы (м)	1 километр (км) = 1 000 метркӧт (м)	1 километр (км) = 1000 метрлы (м)
1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм	1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм	1 м = 10 дм = 100 см = 1 000 мм	1 м = 10 дм = 100 см = 1 000 мм
1 дм = 10 см = 100 мм	1 дм = 10 см = 100 мм	1 дм = 10 см = 100 мм	1 дм = 10 см = 100 мм
1 см = 10 мм	1 см = 10 мм	1 см = 10 мм	см = 10 мм
II. Меры поверхности.	II. Веркӧс муртӧсъяс	II. Вевдӧр мераэз.	II. Вылтыр мертанъёс
1 км² = 1 000 000 м² = 100 гектарам (га)	1 км² = 1 000 000 м² = 100 гектарлы (га)	1 км² = 1 000 000 м² = 100 гектаркӧт (га)	1 км² = 1 000 000 м² = 100 гектарлы (га)
1 га = 100 а = 10 000 м²	1 га = 100 а = 10 000 м²	1 га = 100 а = 10 000 м²	1 га = 100 а = 10 000 м²
1 а = 100 м²	1 а = 100 м²	а = 100 м²	1 а = 100 м²
1 м² = 100 дм² = 10 000 см²	1 м² = 100 дм² = 10 000 см²	1 м² = 100 дм² = 10 000 см²	1 м² = 100 дм² = 10 000 см²
1 дм² = 100 см²	1 дм² = 100 см²	1 дм² = 100 см²	1 дм² = 100 см²
1 см² = 100 мм²	1 см² = 100 мм²	1 см² = 100 мм²	1 см² = 100 мм²
III. Меры объема.	III. Объём муртӧсъяс	III. Объём мераэз	III. Объёмез мертанъёс
1 м³ = 1 000 дм³ = 1 000 000 см³	1 м³ = 1000 дм³ = 1 000 000 см³	1 м³=1000 дм³= 1000000 см³	1 м³ = 1 000 дм³ = 1 000 000 см³
1 дм³ = 1 000 см³ = 1 0 0 000 мм³	1 дм³ = 1000 см³ = 1 000 000 мм³	1 дм³= 1000 см³ = 1 000 000 мм³	1 дм³ = 1 000 см³ = 1 0 0 000 мм³
1 см³ = 1 000 мм³	1 см³ = 1000 мм³	1 см³ = 1 000 мм³.	1 см³ = 1 000 мм³
IV. Меры веса.	IV. Сьӧкта муртӧсъяс	IV. Ӧшлісян мераэз	IV. Секытлык мертанъёс
1 метрич. тонна (т) = 10 центнерам (ц) = 1000 кг	1 метрич. тонна (т) = 10 центнер (c) = 1000 кг	1 метрич. тонна (т) = 10 центнер (c) = 1 000 кг	1 метрич. тонна (т) = 10 центнерлы (ц) = 1 000 кг
1 ц = 100 кг	1 ц = 100 кг	1 c = 100 кг	1 ц = 100 кг
1 кг = 1 000 г	1 кг = 1000 г.	1 кг = 1 000 г	1 кг = 1 000 г
V. Меры объема сыпучих и жидких тел.	V. Сыпучӧй да кизьӧр телӧяс объём муртӧсъяс	V. Киськасян да кизер вывтыррез объёмлӧн мераэз.	V. Кизер но пызырес мугоръёслэсь объёмзэс мертанъёс
1 литр (л) — объем 1 дм³,	1 литр (л) — объёмыс 1 дм³	1 литр (л) — объём 1 дм³;	1 литр — 1 дм³ объёмез;
1 гектолитр (гл) = 100 л	1 гектолитр (гл) = 100 л.	1 гектолитр (гл) = 100 л	1 гектолитр (гл) = 100 л.
ОТВЕТЫ	ӦТВЕТЪЯС	ОТВЕТТЭЗ.	ОТВЕТЪЁС.
К стр. 8.	7 лист боклы.	7 листбок.	8 бамлы.
4. Сходство: 1) оба ограничены 6 гранями, 2) у обоих имеется 12 ребер и 8 вершин; различие: грани куба — квадраты и все равны, грани прямоугольного параллелепида& — прямоугольники и попарно равны; измерения куба все равны, измерения параллелепипеда разные.	4. Ӧтсямалун (сходство): 1) кыкнансӧ ограничитӧма 6 граньӧн, 2) кыкнаныслӧн 12 дорыш да 8 йыв; торъялӧм: кублӧн граньяс — квадратъяс, ставыс ӧтыдждаӧсь, веськыдпельӧса параллелепипедлӧн граньяс — веськыдпельӧсаяс да гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь; кублӧн став муртасыс ӧтыджда, параллелепипедлӧн муртасъясыс разнӧйӧсь.	4. Ӧткодьыс: 1) кыкнанныс янсӧтӧмась 6 граньӧн. 2) кыкнанныслӧн 12 дорыш и 8 йыв; неӧткодьыс: кублӧн граннес — квадраттэз и быдӧнныс ӧтыждаӧсь, веськытпельӧса параллелепипеддэзӧн граннес веськытпельӧса фигураэз и параэзӧн ӧтыждаӧсь; кублӧн мераас быдӧнныс ӧтыждаӧсь, параллелепипедлӧн мераэс неӧтыждаӧсь.	4. Кельшон: 1) кыкез ик 6 граньёсын котыртэмын, 2) кыкезлэн ик 12 урдэз но 8 йылэз; пӧртэмез: кублэн граньёсыз — квадратъёс но ваньзы ог кадесь, шонер сэрег параллелепипедлэн граньёсыз — шонер сэрегоесь но соос кузэн ог кадесь; кублэн мертаськонъёсыз ваньмыз ог кадесь, параллелепипедлэн мертанъёсыз пӧртэмесь.
Куб — частный случай параллелепипеда.	Куб — параллелепипедлӧн частнӧй случай.	Куб сэтшӧм жӧ параллелепипед, токо сылӧн куимнан мераыс ӧтыждаӧсь.	Куб — параллелепипедлэн куд ог луись учырез.
5. Сходство: оба четырехугольники и углы их все равны; различие: стороны квадрата все равны, стороны прямоугольника попарно равны.	5. Ӧтсямалун: кыкнаныс нёльпельӧсаяс, пельӧсъясыс налӧн ставыс ӧтыдждаӧсь; торъялӧм: квадратлӧн став дорыс ӧтыджда, веськыдпельӧсалӧн доръясыс гозйӧн ӧтыдждаӧсь.	5. Ӧткодьыс: кыкнаныс нёльпельӧсаэз и пельӧссэз нылӧн ӧтыждаӧсь; неӧткодьыс: квадратлӧн ладоррес быдӧнныс ӧтыждаӧсь, веськытпельӧслӧн ладоррес параӧн ӧтыждаӧсь.	5. Кельшон: кыкез ик ньыльсэргоос но соослэн вань сэрегъёссы ог кадесь, портэмъёсыз: квадратлэн дуръёсыз ваньмыз ог кадесь, прямоугольниклэн дуръёсыз кузэн ог кадесь.
Квадрат — частный случай прямоугольника.	Квадрат — веськыдпельӧсалӧн частнӧй случай.	Квадрат — сэтшӧм веськытпельӧс, токо сылӧн быдӧс ладоррес ӧтыждаӧсь.	Квадрат — прямоугольниклэн куд ог луись учырез.
7. Да, так как брус — частный случай призмы, а куб как частный случай бруса есть и частный случай призмы.	7. Да, брус — сійӧ частнӧй случай призмалӧн, а куб, кыдзи частнӧй случай бруслӧн, лоӧ и призмалӧн частнӧй случай.	7. Туйӧ, эд брусыс сэтшӧм жӧ призма, а куб кыдз сэтшӧм жӧ брус, сэтшӧм жӧ и призма.	7. Озьы брус призмалэн куд ог луись учырез бере, нош куб бруслэн куд ог луись учырез но, призмалэн куд ог луись учырез.
9. У шестиугольной призмы 8 граней: 6 боковых и 2 основания;	9. Квайт пельӧса призмалӧн 8 грань: 6 бокӧвӧй грань да 2 подувтас грань;	9. Кватьпельӧса призмалӧн 8 грань: 6 бок грань и 2 под;	9. Куать сэрегъем призмалэн 8 гранез: 6 урдэсэз но кык пыдэсэз;
18 ребер: 6 боковых и по 6 ребер у каждого основания, и 12 вершин: по 6 вершин у каждого основания.	18 дорыш: 6 бокӧвӧй дорыш да 6 дорышӧн быд подувтаслӧн, да 12 йыв: 6 йылӧн быд подувтаслӧн.	18 дорыш: 6 бокись дорыш и 6 дорышӧн кыкнан под дынӧт 12 йыв, 6 йылӧн под дынын	18 урдэз: 6 урдэсоез но, коть куд пыдэсаз быдэн 6 урдэз, 12 йылъёсыз: коть куд пыдэсаз быдэн 6 йыл.
К стр. 17.	15 лист боклы.	16 листбок.	17 бамлы.
1. а + b = 9,9 см = 99 мм.	1. a + b = 9,9 см = 99 мм.	—	1. а + b = 9,9 см = 99 мм
2. а + b + b = 8,9 см.	2. a + b + b = 8,9 см.	17 листбок.	2. а + b + b = 8,9 см,
6. Если а > b, то разность будет а − b; если а < b, то разность будет b − а.	6. a > b, сэки разносьтыс лоӧ a − b; a < b, сэки разносьтыс лоӧ b − a.	6. Кыдзи а > b, то колян лоас а − b; кыдзи а < b, то ӧткодьтӧм лоас b − а.	6. а > b ке, соку кылемез а − b луоз; а < b ке, соку кылемез b − a луоз.
7. Отрезок b содержится в отрезке а 4,4 раза.	7. b вундӧг a вундӧгын лоӧ 4,4 пӧв.	7. b орӧток сюрӧны а орӧтокын 4,4-ись.	7. 6 вандэт а вандэтын 4,4 пол возиське.
13. a = (n + m)/2; b = (n − m)/2.	13. a = (n + m)/2; b = (n − m)/2.	13. а = (n + m)/2; b = (n − m)/2.	13. a = (n + m)/2; b = (n − m)/2.
К стр. 20.	18−19 лист боклы.	20-21 листбок.	20 бамлы.
2. 1 а = 100 кв. м, а потому сторона соответствующего квадрата равна 10 м.	2. 1 а = 100 кв. м, а сідзкӧ, соответствуйтысь квадратыслӧн дорыс — 10 м.	2. 1 а = 100 кв. м, а сійӧн сэтшӧм квадратлӧн ладорыс 10 м кузя.	2. 1а = 100 кв. м, соин ик тупась квадратлэн дурез 10 м ӵоша.
1 га = 10 000 кв. м, а потому сторона соответствующего квадрата равна 100 м.	1 га = 10 000 кв. м, сідзкӧ, соответствуйтысь квадратыслӧн дорыс лоӧ 100 м.	1 га = 10 000 кв. м, а сійӧн сэтшӧм квадратлӧн ладорыс 100 м кузя.	1 га = 10000 кв. м, соин ик тупась квадратлэн дурез 100 м ӵоша.
4. При увеличении h в 2 раза, площадь увеличится в 2 раза; при уменьшении А в 3 раза, площадь уменьшится в 3 раза.	4. Ыдждӧдны кӧ h-сӧ 2 пӧв, сэк плӧщадьыс ыдждӧ 2 пӧв; ичӧтмӧдны кӧ h-сӧ 3 пӧв, плӧщадьыс ичӧтмӧ 3 пӧв жӧ.	4. Ыждӧтамӧ кӧ h кыкись площадьыс ыждас кыкись жӧ, чинтам кӧ h куимись, площадьыс чинас куимись.	4. h-эз 2 пол будэтыса, площадез 2 пол будоз; h-эз 3 пол пичиятыса, площадез но 3 пол пичиомоз.
7. 1) 13,5 кв. см;	7. 1) 13,5 кв. см;	7. 1) 13,5 кв. см;	7. 1) 13,5 кв. см;
2) 2,23 кв. м;	2) 2,23 кв. м;	2) 2,23 кв. м;	2) 2,23 кв. м;
3) 112 кв. мм = 110 кв. мм;	3) 112 кв. мм ≈ 110 кв. мм;	3) 112 кв. мм = 110 кв. мм;	3) 112 кв. мм = 110 кв. мм;
4) 0,17 кв. м;	4) 0,17 кв. м;	4) 0,17 кв. м;	4) 0,17 кв. м;
5) 25 000 кв. м = 250 а = 2,5 га;	5) 25 000 кв. м = 250 а = 2,5 га;	5) 25 000 кв. м = 250 а = 2,5 га;	5) 25.000 кв. м = 250 а = 2,5 га;
6) 2,158 кв. км.	6) 2,158 кв. км.	6) 2,158 кв. км.	6) 21,58 кв. м.
8. 1008 а.	8. 1008 а.	8. 1008 а.	8. 1008 а.
9. 250 м.	9. 250 м.	9. 250 м.	9. 250 м.
10. Периметр квадрата 600 м, периметр прямоугольника равен 650 м. следовательно он на 50 м больше периметра квадрата, значит и забор для прямоугольного участка длиннее на 50 м.	10. Квадратлӧн периметрыс = 600 м, веськыдпельӧсалӧн периметрыс 650 м, сідзкӧ сійӧ 50 м-ӧн ыджыдджык квадрат периметрысь, сідзкӧ и потшӧсыс веськыдпельӧса му пластыслы ковмас кузьджык 50 м-ӧн.	10. Квадратлӧн периметра = 600 м, веськыт пельӧс периметра = 650 м. сідзкӧ сія 50 м-ӧн квадрат периметрся ыджытжык; сійӧн и веськытпельӧса участоклӧн заборыс 50 метрӧн кузьжык.	10. Квадратлэн периметрез = 600 м, прямоугольниклэн периметрез 650 м ӵоша, озьы бере, со квадрат периметрлэсь 50 м-лы бадӟым, озьыен прямоугольной участоклэн заборез но 50 м-лы кузь.
11. 1) 56 кв. см;	11. 1) 56 кв. см;	11. 1) 56 кв. см;	11. 1) 56 кв. см;
2) 29,8 см;	2) 29,8 см;	2) 29,8 см;	2) 29,8 см;
3) 4 мм;	3) 4 мм;	3) 4 мм;	3) 4 мм;
4) 192 кв. см;	4) 192 кв. см;	4) 192 кв. см;	4) 192 кв. см;
5) 50 м.	5) 50 м.	5) 50 м.	5) 50 м.
12. 1) 6 м;	12. 1) 6 м;	12. 1) 6 м;	12. 1) 6 м;
2) 15 см;	2) 15 см;	2) 15 см;	2) 15 см;
3) 1,2 м.	3) 1,2 м.	3) 1,2 м.	3) 1,2 м.
13. 1,2 кв. м.	13. 1,2 кв. м.	13. 1,2 кв. м.	13. 1,2 кв. м.
К стр. 26.	22−23 лист боклы.	25 листбок	25 бамлы.
1. 1) Sb = 36 кв. см;	1. 1) Sb = 36 кв. см;	1. 1) Sb = 36 кв. см;	1. 1) Sb = 36 кв. см;
St = 54 кв. см;	St = 54 кв. см;	Sn = 54 кв. см;	St = 54 кв. см;
2) Sb = 400 кв. см;	2) Sb = 400 кв. см;	2) Sb = 400 кв. см;	2) Sb = 400 кв. см;
St = 600 кв. см;	St = 600 кв. см;	Sn — 600 кв. см,	St = 600 кв. см;
3) Sb = 4n² кв. см;	3) Sb = 4n² кв. см;	3) Sb = 4 n² кв. см;	3) Sb = 4n² кв. см;
St = 6n² кв. см.	St = 6n² кв. см.	Sn = 6 n² кв. см;	St = 6n² кв. см.
3. 2 · (8 + 5) · 3 = 78 кв. см, или 2 · (8 + 3) · 5 = 110 кв. см, или 2 · (5 + 3) · 8 = 128 кв. см.	3. 2 · (8 + 5) · 3 = 78 кв. см, либӧ 2 · (8 + 3) · 5 = 110 кв. см, либӧ 2 · (5 + 3) · 8 = 128 кв. см.	3. 2 · (8 + 5) · 3 = 78 кв. см, либо 2 · (8 + 3) · 5 = 110 кв. см. либо 2 · (5 + 3) · 8 = 123 кв. см.	3. 2 · (8 + 5) · 3 = 78 кв. см, яке 2 · (8 + 3) · 5 = 110 кв. см, яке 2 · (5 + 3) · 8 = 128 кв. см.
4. 1) ≈ 270 кв. см; ≈ 420 кв. см;	4. 1) ≈ 270 кв. см; ≈ 420 кв. см;	4. 1) ~ 270 кв. см; ~420 кв. см;	4. 1) ≈ 270 кв. см; ≈ 420 кв. см;
2) ≈ 1,5 кв. м; ≈ 2,2 кв. м;	2) ≈ 1,5 кв. м; ≈ 2,2 кв. м;	2) ~ 1,5 кв. м; ~ 2,2 кв. м;	2) ≈ 1,5 кв. м; ≈ 2,2 кв. м;
3) ≈ 7,3 кв. м; ≈ 15,4 кв. м;	3) ≈ 7,3 кв. м; ≈ 15,4 кв. м;	3) ~ 7,3 кв. м; ~ 15,4 кв. м;	3) ≈ 7,3 кв. м; ≈ 15,4 кв. м;
4) ≈ 60 кв. см; ≈ 65 кв. см;	4) ≈ 60 кв. см; ≈ 65 кв. см;	4) ~ 50 кв. см; ~ 65 кв. см;	4) ≈ 60 кв. см; ≈ 65 кв. см;
5) ≈ 20 кв. м; ≈ 36 кв. м.	5) ≈ 20 кв. м; ≈ 36 кв. м.	5) ~ 20 кв. м; = 36 кв. м.	5) ≈ 20 кв. м; ≈ 36 кв. м.
К стр. 28.	24−25 лист боклы.	27-28 листбок.	28 бамлы.
3. 2160 куб. см; ≈ 2,2 куб. дм.	3. 2160 куб. см; ≈ 2,2 куб. дм.	3. 2160 куб. см; ~2,2 куб. дм;	3. 2160 куб. см; ≈ 2,2 куб. дм.
5. Уменьшатся (увеличатся) в 16 раз.	5. Чинасны (содасны) 16 пӧв.	5. Чинасӧ (ыждасӧ) 16 мымдаись.	5. 16 пол. пичиялозы (бадӟымалозы).
6. 729 куб. см	8. 729 куб. см.	6. 729 куб. см.	6. 729 куб. см.
7. 64 кв. см;	7. 64 кв. см;	7. 64 кв. см;	7. 64 кв. см;
96 кв. см;	96 кв. см.	96 кв. см.	96 кв. см;
8. 3 м.	8. 3 м.	8. 3 м.	8. 3 м.
9. 4104 куб. см; ≈ 4100 куб. см.	9. 4104 куб. см; ≈ 4100 куб. см.	9. 4 104 куб. см; ~ 4 100 куб. см.	9. 4104 куб. см; ≈4100 куб. см.
10. 0,70 куб. м.	10. 0,70 куб. м.	10. 0,70 куб. м.	10. 0,70 куб. м.
11. ≈ 280 кг.	11. ≈ 280 кг.	11. = ~ 280 га.	11. 280 кг.
12. ≈ 2200 коробок.	12. ≈ 2200 кӧрӧб.	12. ~ 2200 коробка.	12. ≈ 2200 коробкаос.
13. 30 л.	14. 30 л.	13. 30 л.	13. 30 л.
14. 1) 1000 куб. см;	13. 1) 1000 куб. см;	14. 1) 1000 куб. см;	14. 1) 1000 куб. см;
2) 4 куб. дм;	2) 4 куб. дм;	2) 4 куб. дм;	2) 4 куб. дм;
3) 1000 л.	3) 1000 л.	3) 1 000 л.	3) 1000 л.
15. 90 гл.	15. 90 гл.	15. 90 гл.	15. 90 гл.
16. Длина зала 50 м; высота 5 м.	18. Залыслӧн кузьтаыс 50 м; судтаыс 5 м.	16. зал кузяыс 50 м; сувда — 5 м.	16. Заллэн кузьдалаез 50 м; ӝуждалаез 5 м.
К стр. 32.	28 лист боклы.	31 листбок.	32 бамлы.
2. 3,3 см.	2. 3,3 см.	2. 3,3 см.	2. 3,3 см.
3. Точки, расстояние которых от центра равно 6 см, лежат вне окружности; точки, расстояние которых от центра равно 3 см, лежат внутри окружности, и точки, расстояние которых,от центра равно 4 см, лежат на окружности.	3. Чутъяс, кодъяслӧн костыс шӧрчутсяньыс 6 см, лоӧны кытшвизь саяс; шӧрчутсяньыс 3 см коста чутъяс лоӧны кытшвизь пытшкас, шӧрчутсяньыс 4 см коста чутъяс лоӧны кытшвизь вылас.	3. Чуттэз, кӧдна центрсянь 6 см ылына, куйлӧны гӧгрӧс сайын; чуттэз, кӧдна центрсянь 3 см ылына, куйлӧны гӧгрӧс пытшкын, и чуттэз, кӧдна центрсянь 4 см ылына, куйлӧны гӧгрӧс вылын.	3. Точкаос, кудӥзлэн ке шор точкаысен кусыпсы 6 см-лы ӵоша, соос котыргожлэн пед палаз кыллё; точкаос, кудӥзлэн ке шор точкаысен кусыпсы 3 см ӵоша, соос котыргож пушкын кыллё, нош точкаос, кудӥзлэн ке шор точкаысен кусыпсы 4 см ӵоша ке, котыргож вылын кыллё.
К стр. 34.	29−30 лист боклы.	33 листбок.	34 бамлы.
1. 7,8 см;	1. 7,8 см;	1. 7,8 см;	1. 7,8 см;
19,5 см.	19,5 см.	19,5 см.	19,5 см.
2. На шесть равных дуг.	2. Квайт ӧтыджда дуга вылӧ.	2. Квать ӧтыжда дуга вылӧ.	2. Куать ог кадесь букоослы.
Шестиугольник.	Квайтпельӧса.	Кватьпельӧса фигура.	Куатьсэрго.
3. Бесчисленное множество диаметров.	3. Помтӧм уна диаметр.	3. Уна, он вермы и лыддьыны, сымда диаметр.	3. Лыдтэм трос диаметръёс.
Все диаметры равны между собой,	Став диаметрыс мӧда-мӧдныскӧд ӧтыдждаӧсь.	Быдӧс диаметррез ӧтыждаӧсь ӧтамӧд коласын.	Ваньмыз ик диаметръёс асьсэ куспын ог кадесь.
4. Два диаметра делят друг друга пополам.	4. Кык диаметр юкӧны мӧда-мӧднысӧ шӧри.	4. Кык диаметр ӧтамӧдсӧ юкӧны шӧри.	4. Кык диаметръёс огзэс огзы шори люко.
6. Наибольшая хорда равна 21 см.	6. Медыджыд хордаыс лоӧ 21 см.	5. Ыджытжык хордаыс 21 см.	6. Бадӟымез хорда 21 см ӵоша.
7. 6 см.	7. 6 см.	7. 6 см.	7. 6 см.
К стр. 39.	33−34 лист боклы.	38 листбок.	39 бамлы.
1. Острый угол; прямой угол; тупой угол; развернутый угол.	1. Ёсь пельӧс; веськыд пельӧс; тшӧтшыд пельӧс; паськӧдӧм пельӧс.	1. Йыла пельӧс; веськыт пельӧс; ныж пельӧс; паськӧтӧм пельӧс.	1. Йылсо сэрег; шонер сэрег; мырк сэрег; сэрттэм сэрег.
6. Прямоугольник или квадрат.	6. Веськыдпельӧса либӧ квадрат.	6. Веськытпельӧса либо квадрат.	6. Прямоугольник яке квадрат.
К стр. 42.	36 лист боклы.	41 листбок.	42 бамлы.
4. 1/90 прямого угла называется угловым градусом.	4. 1/90 веськыд пельӧслӧн шусьӧ пельӧс градусӧн.	4. Веськыт пельӧс 1/90 шусьӧ пельӧс градусӧн.	4. Шонер сэреглэн 1/90 сэрег градус шуыса нимаське.
6. 1) 30°;	6. 1) 30°;	6. 1) 30°;	6. 1) 30°;
2) 150°.	2) 150°.	2) 150°.	2) 150°.
К стр. 47.	40 лист боклы.	46 листбок.	47 бамлы,
4. 22°30′.	4. 22°30′.	4. 22°30'.	4. 22°30′.
5. 45°25′ и 33°5′.	5. 45°25′, да 33°5′.	5. 45°25' и 33°5'	5. 45°25′ но 33°5′.
6. 50°5′ и 39°55′.	6. 50°5′ да 39°55′.	6. 50°5' и 39°55'.	6. 50°5′ но 39°55′.
7. 40° и 140°.	7. 40° да 140°.	7. 40° и 140°.	7. 40° но 140°.
8. 59°20′ и 120°40′.	8. 59°20′ да 120°40′.	8. 59° 20' и 120° 40'	8. 59°20′ но 120°40′.
9. 40° или 140°.	9. 40° либӧ 140°.	9. 40° либо 140°.	9. 40° яке 140°.
11. 69°35′ и 110°25′.	11. 69°35′ да 110°25′.	11. 69° 35' да 110° 25'.	11. 69°35′ но 110°25′.
К стр. 48.	42 лист боклы.	47 листбок.	48 бамлы.
2. 60° и 30°, 90°.	2. 60° да 30°, 90°.	2. 60° и 30°, 90°.	2. 60° но 30°, 90°.
К стр. 53.	46 лист боклы.	53 листбок.	53 бамлы.
2. 1428 а.	2. 1428 а.	2. 1428 а.	2. 1428а.
4. ≈ 6,1 кв. м.	4. ≈ 6,1 кв. м.	4. ~ 6,1 кв. м	4. ≈ 6,1 кв. м.
6. 7,2 м.	6. 7,2 м	6. 7,2 м.	6. 7,2 м.
К стр. 57.	49 лист боклы.	56 листбок.	57 бамлы.
3. 54 куб. м.	3. 54 куб. м.	3. 54 куб. м.	3. 54 куб. м.
4. 560 куб. м.	4. 560 куб. м.	4. 560 куб. м.	4. 560 куб. м
К стр. 58.	50 лист боклы.	57 листбок.	58 бамлы.
3. ≈ 4,0 см.	3. ≈ 4,0 см.	3. ~ 4,0 см.	3. ≈ 4,0 см.
4. 1,3 см и 2,2 см.	4. 1,3 см да 2,2 см.	4. 1,3 см и 2,2 см.	4. 1,3 см но 2,2 см.
5. 400 с лишним (425).	5. 400-ысь уна (425).	5. 400-ся унажык (425).	5. 400 мултэсэн (425).
6. 1,6 м.	6. 1,6 м.	6. 1,6 м.	4. 1,6 м.
7. 12 720 км.	7. 12 730 км.	7. 12 720 км.	7. 12720 км.
8. 47 м.	8. 47 м	8. 47 м.	8. 47 м.
К стр. 60.	52 лист боклы.	59 листбок.	60 бамлы.
2. 53 кв. см;	2. 53 кв. см;	2. 53 кв. см;	2. 53 кв. см;
80 кв. см. 3. 4,9 кв. см.	80 кв. см.	80 кв. см.	80 кв. см.
4	3. 4,9 кв. см.	3. 4,9 кв. см.	3. 4,9 кв. см.
Периметр равен длине окружности 3,1 см; площадь — половине площади круга 3,9 кв. см.	4. Периметрыс равняйтчӧ кытшвизь кузьталы 31 см, плӧщадьыс — круг плӧщадь джын ыджда 3,9 кв. см.	4. Периметрыс ӧткузя 3,1 см гӧгрӧс кузякӧт; площадьыс ӧтыжда 3,9 кв. м гӧглян джын площадькӧт	4. Периметр котыргожлэн кузьдалаезлы 3,1 см ӵоша; площадез — котретлэн ӝыны площадезлы 3,9 кв. см ӵоша.
5. 28 π кв. мм.	5. 28 π кв. мм.	5. 28 π кв. мм.	5. 28 π кв. мм.
К стр. 61.	53 лист боклы.	60 листбок	61 бамлы.
4. 1000 π кв. см.	4. 1000 π кв. см.	4. 1000 π кв. см.	4. 1000 π кв. см.
5. 540 π куб. дм.	5. 540 π куб. дм.	5. 540 π куб. дм.	5. 540 π куб. дм.
6. 3,2 куб. дм; 4,9 куб. дм.	6. 3,2 куб. дм, 4,9 куб. дм.	6. 3,2 куб. дм; 4,9 куб м.	6. 3,2 куб. дм; 4,9 куб. дм.
ОГЛАВЛЕНИЕ.	ЮРИНДАЛЫСЬ	ПЫТШКӦС.	ЙЫРЪЯН
Стр.	Листб.	Листбок.	Бам
I. Основные геометрические понятия.	І. Геометрическӧй основнӧй вежӧртасъяс	I. Геометрия вежӧртассэз.	I. Геометриез нырысетӥ валанъёс.
§ I. Физическое и геометрическое тело .... 3	§ 1. Физическӧй да геометрическӧй телӧ .... 3	§ 1. Физика да геометрия вывтыррез .... 3	§ 1. Физика но геометри мугор .... 3
§ 2. Куб, прямоугольный параллелепипед, прямая призма. 5	§ 2. Куб, веськыдпельӧса, параллелепипед, веськыд призма .... 5	§ 2. Куб, веськытпельӧса параллелепипед, веськыт призма .... 5	§ 2. Куб, шонер сэрегъем параллелепипед, шонер призма .... 5
II. Прямая линия.	II. Веськыд визь.	II. Веськыт визь.	II. Шонер гож.
§ 1. Прямая линия. Луч. Отрезок Ломаная .... 8	§ 1. Веськыд визь. Луч. Вундӧг. Чегласьӧм визь .... 7	§ 1. Веськыт визь. Югӧр. Орӧток. Чегласьӧм .... 8	§ 1. Шонер гож. Луч. Вандэт. Тӥяськем гож .... 8
§ 2. Измерение отрезков. Масштабная линейка .... 11	§ 2. Вундӧгъяс мурталӧм. Масштабнӧй линейка .... 10	§ 2. Орӧток меряйтӧм. Масштаба линейка .... 11	§ 2. Вандэтъёсыз мертан масштабо линейка .... 11
§ 3. Сравнение отрезков... 13	§ 3. Вундӧгъясӧс ӧтластитӧм .... 11	§ 3. Орӧтоккез ордчӧн сувтӧтӧм .... 12	§ 3. Вандэтъёсыз ӵошатон .... 12
§ 4. Сложение отрезков .... 14	§ 4. Вундӧгъясӧс содтӧм .... 12	§ 4. Орӧтоккез содтӧм .... 13	§ 4. Вандэтъёсыз огазеян .... 14
§ 5. Вычитание отрезков... 15	§ 5. Вундӧгъясӧс чинтӧм .... 13	§ 5. Орӧтоккез чинтӧм .... 14	§ 5. Вандэтъёсыз кулэстон .... 14
§ 6. Умножение отрезка на целое число —	§ 6. Вундӧгӧс тыр лыд вылӧ ӧктӧм .... 13	§ 6. Быдса лыддьӧс вылӧ орӧтоккез босьтӧм .... 15	§ 6. Вандэтэз быдэс лыдлы уноян .... 15
§ 7. Деление отрезков .... 16	§ 7. Вундӧгъясӧс юкӧм .... 14	§ 7. Орӧтоккез юкӧм .... —	§ 7 Вандэтъёсыз люкон .... 15
III. Измерение площади квадрата и прямоугольника.	III. Квадратлысь да веськыдпельӧсалысь площадь мурталӧм.	III. Квадратлісь да веськытпельӧслісь площадь меряйтӧм.	III. Квадратлэсь но прямоугольниклэсь площадьзэс мертан.
§ 1. Измерение площадей .... 18	§ 1. Площадьяс мурталӧм .... 16	§ 1. Площадь меряйтӧм .... 17	§ 1. Площадьёсыз мертан .... 17
§ 2. Площадь прямоугольника и квадрата .... 19	§ 2. Веськыдпельӧсалӧн да квадратлӧн площадь .... 17	§ 2. Веськыт пельӧслӧн да квадратлӧн площадь .... 18	§ 2. Квадратлэн но прямоугольниклэн площадез .... 18
§ 3. Прямоугольные диаграммы .... 22	§ 3. Веськыдпельӧса диаграммаяс .... 19	§ 3. Веськытпельӧса диаграммаэз .... 21	§ 3. Шонер сэрегъем диаграммаос .... 21
IV. Поверхность и объем куба и прямоугольного параллелепипеда.	IV. Кублӧн да веськыд пельӧса параллелепипедлӧн веркӧс да объём.	IV. Веськытпельӧса параллелепипедлӧн, кублӧн вевдӧр да объём	IV. Кублэн но шонер сэрегъем параллелепипедлэн вылтырез но объёмез.
§ 1. Развертка и поверхность куба и прямоугольного параллелепипеда .... 23	§ 1. Кублӧн да веськыдпельӧса параллелепипедлӧн павыртас да веркӧс .... 20	§ 1. Веськытпельӧса параллелепипедлӧн, кублӧн вевдӧр да развёртка .... 23	§ 1. Кублэн но шонер сэрегъем параллелепипедлэн сэрттэмез но вылтырез .... 23
§. Объем куба и прямоугольного параллелепипеда .... 26	§ 2. Кублӧн да веськыдпельӧса параллелепипедлӧн объём .... 23	§ 2. Кублӧн да веськытпельӧса параллелепипедлӧн объём .... 25	§ 2. Кублэн, шонер сэрегъем параллелепипедлэн объёмзы .... 26
V. Цилиндр. Окружность. Круг.	V. Цилиндр. Кытшвизь. Круг.	V. Цилиндр. Гӧгрӧс. Гӧгыль.	V. Цилиндр. Котыргож. Котрет.
§ 1. Цилиндр .... 29	§ 1. Цилиндр .... 25	§ 1. Цилиндр .... 28	§ 1. Цилиндр .... 26
§ 2. Окружность и круг .... 30	§ 2. Кытшвизь да круг .... 26	§ 2. Гӧгрӧс да гӧгыль .... 29	§ 2. Котыргож но котрет .... 30
§ 3. Дуга. Хорда. Диаметр Сектор. 32	§ 3. Дуга. Хорда. Диаметр. Сектор .... 28	§ 3. Дуга. Хорда. Диаметр. Сектор .... 31	§ 3. Буко. Хорда. Диаметр. Сектор .... 32
VI. Углы.	VI. Пельӧсъяс	VI. Пельӧссэз	VI. Сэрегъёс.
§ 1. Окружность и угол. Прямой угол .... 34	§ 1. Пельӧс. Веськыд пельӧс. Ёсь да тшӧтшыд пельӧс .... 30	§ 1. Гӧгрӧс да пельӧс. Веськыт пельӧс .... 33.	§ 1. Котыргож но сэрег. Шонер сэрег .... 34
§ 2. Измерение угла. Транспортир .... 39	§ 2. Пельӧс мурталӧм. Транспортир .... 34	§ 2. Пельӧс меряйтӧм. Транспортир .... 38	§ 2. Сэрегез мертан. Транспортир .... 39
§ 3. Построение угла. Сравнение углов .... 42	§ 3. Пельӧс вӧчӧм. Пельӧсъяс ӧтластитӧм .... 36	§ 3. Пельӧссэз строитӧм. Пельӧс тшӧтшӧтӧм .... 41.	§ 3. Сэрег лэсьтон. Сэрегъёсыз ӵошатон .... 42
§ 4. Действия с углами .... 44	§ 4. Пельӧсъяскӧд действиеяс .... 38	§ 4. Мый позьӧ керны пельӧссэзӧн .... 43	§ 4. Сэрегъёсын действиос .... 44
§ 5. Секторные диаграммы .... 47	§ 5. Секторнӧй диаграммаяс .... 41	§ 5. Сектора диаграммаэз .... 46	§ 5. Сектор диаграммаос .... 47
VII. Вычисление площадей треугольников и многоугольников.	VII. Куимпельӧсалысь да унапельӧсалысь площадьяс арталӧм.	VII. Куимпельӧссэзлісь да унапельӧссэзлісь площаддез лыддьӧм	VII. Куиньсэргоослэсь не троссэргоослэсь площадьзэс лыдъян.
§ 1. Треугольник .... 49	§ 1. Куимпельӧса .... 42	§ 1. Куимпельӧс .... 48	§ 1. Куиньсэрго .... 49
§ 2. Площадь треугольника и многоугольника .... 51	§ 2. Куимпельӧсалӧн да унапельӧсалӧн площадь .... 44	§ 2. Куимпельӧслӧн да унапельӧслӧн площадь .... 50	§ 2. Куиньсэрголэн но троссэрголэн площадез .... 51
VIII. Поверхность и объем прямой призмы.	VIIІ. Веськыд призмалӧн веркӧс да объём.	VIIІ. Веськыт призмалӧн объём да вевдӧр.	VIII. Шонер призмалэн объёмез но вылтырез.
§ 1. Поверхность прямой треугольной призмы .... 54	§ 1. Куимпельӧса веськыд призмалӧн веркӧс .... 46	§ 1. Веськыт куимпельӧса призмалӧн вевдӧр .... 53	§ 1. Шонер куиньсэрегъем призмалэн вылтырез .... 54
§ 2. Объем треугольной призмы .... 55	§ 2. Куимпельӧса веськыд призмалӧн объём .... 47	§ 2. Куимпельӧса призмалӧн объём .... 54	§ 2. Куинь сэрегъем призмалэн объёмез .... 55
§ 3. Объел многоугольной прямой призмы .... 56	§ 3. Унапельӧса веськыд призмалӧн объём .... 48	§ 3. Унапельӧса веськыт призмалӧн объём .... 55 .... 55	§ 3. Трос сэрегъем шонер призмалэн объёмез .... 56
IX. Длина окружности и площадь круга.	IX. Кытшвизьлӧн кузьта да круглӧн площадь.	IX. Гӧгрӧслӧн кузя да гӧгыльлӧн площадь.	IX. Котыргожлэн кузьдалаез но котретлэн площадез.
§ 1. Длина окружности .... 57	§ 1. Кытшвизьлӧн кузьта .... 49	§ 1. Гӧгрӧслӧн кузя .... 56	§ 1. Котыргожлэн кузьдалаез .... 57
§ 2. Площадь круга .... 58	§ 2. Круглӧн площадь .... 51	§ 2. Гӧгыльлӧн площадь .... 57	§ 2. Котретлэн площадез .... 58
X. Поверхность и объем цилиндра.	X. Цилиндрлӧн веркӧс да объём.	X. Цилиндрлӧн вевдӧр да объём.	X. Цилиндрлэн вылтырез но объёмез.
§ 1. Поверхность цилиндра .... 60	§ 1. Цилиндрлӧн веркӧс .... 52	§ 1. Цилиндрлӧн вевдӧр .... 59	§ 1. Цилиндрлэн вылтырез .... 60
§ 2. Объем цилиндра .... 61	§ 2. Цилиндрлӧн объём .... 53	§ 2. Цилиндрлӧн объём .... 60	§ 2. Цилиндрлэн объёмез .... 61
XI. Таблица мер .... 61	Муртӧсъяс таблица .... 53	Мераэзлӧн таблица .... 61	Ответъёс .... 52
ХII. Ответы .... 62	Ӧтветъяс .... 54	Ответтэз .... 62	Вӧзан .... 65
abu	ПӦЛЬЗУЙТЧЫНЫ УДЖ ВЫЛЫН.	УДЖЫН ВИДЗНЫ.	УЖАДЫ ЯРАНО МАКЕОС.
abu	Процентнӧй транспортир, обыкновеннӧй транспортир да линейка клейтны картон вылӧ да вундавны.	Процентнӧй транспортир, обыкновеннӧй транспортир да линейка лякӧтны картон вылӧ и вундыштны.	Проценто транспортирез, огшоры транспортирез но линейкаез картон вылэ лякыса вандэ.